1、- 1 -1 分类加法计数原理和分步乘法计数原理第 1 课时1.某一数学问题可用综合法和分析法两种方法证明,有 5 名同学只会用综合法证明,有 3名同学只会用分析法证明,现从这些同学中任选 1 名同学证明这个问题,不同的选法种数为( )A.8 B.15 C.18 D.30解析:共有 5+3=8 种不同的选法 .答案:A2.从 A 地到 B 地要经过 C 地和 D 地,从 A 地到 C 地有 3 条路,从 C 地到 D 地有 2 条路,从 D 地到 B 地有 4 条路,则从 A 地到 B 地不同的走法有( )A.9 种 B.1 种 C.24 种 D.3 种解析:由分步乘法计数原理知,从 A 地到
2、 B 地不同走法有 234=24(种) .答案:C3.从集合0,1,2,3,4,5,6中任取两个互不相等的数 a,b 组成复数 a+bi,其中虚数有( )A.30 个 B.42 个 C.36 个 D.35 个解析:要完成这件事可分两步,第一步确定 b(b0)有 6 种方法,第二步确定 a 有 6 种方法,故由分步乘法计数原理知共有 66=36 个虚数,故选 C.答案:C4.某公共汽车上有 10 名乘客,沿途有 5 个车站,乘客下车的可能方式有( )A.510种 B.105种 C.15 种 D.50 种解析:每名乘客都有在 5 个车站中的任何一个车站下车的可能,由分步乘法计数原理得,下车的可能方
3、式有 5555555555=510种 .答案:A5.有 4 位教师在同一年级的 4 个班中各教一个班的数学,在数学检测时要求每位教师不能在本班监考,则监考的方法有( )A.8 种 B.9 种 C.10 种 D.11 种解析:设四位监考教师分别为 A,B,C,D,所教班分别为 a,b,c,d,假设 A 监考 b,则余下三人监考剩下的三个班,共有 3 种不同方法,同理 A 监考 c,d 时,也分别有 3 种不同方法,由分类加法计数原理得监考的方法共有 3+3+3=9(种) .答案:B6.满足 a,b -1,0,1,2,且关于 x 的方程 ax2+2x+b=0 有实数解的有序数对( a,b)的个数为
4、( )A.14 B.13 C.12 D.10解析: 当 a=0 时,2 x+b=0 总有实数根,所以( a,b)的取值有 4 个 . 当 a0 时,需 = 4-4ab0,所以 ab1 .a=-1 时, b 的取值有 4 个,a=1 时, b 的取值有 3 个,a=2 时, b 的取值有 2 个 .所以( a,b)的取法有 9 个 .- 2 -综合 知,( a,b)的取法有 4+9=13 个 .答案:B7.8 名世界网球顶级选手在上海大师赛上分成两组,每组各 4 人,分别进行单循环赛,每组决出前两名,再由每组的第一名与另一组的第二名进行半决赛,获胜者角逐冠亚军,败者角逐第 3,4名,则大师赛共有
5、 场比赛 . 解析:每个小组赛有 6 场比赛,两个小组有 6+6=12 场比赛,半决赛和决赛共有 2+2=4 场比赛,根据分类加法计数原理,共有 12+4=16 场比赛 .答案:168.导学号 43944001 一学习小组有 4 名男生,3 名女生,任选一名学生当数学课代表,共有 种不同选法;若选男、女生各一名当组长,共有 种不同选法 . 解析:任选一名当数学课代表可分两类,一类是从男生中选,有 4 种选法;另一类是从女生中选,有3 种选法 .根据分类加法计数原理,共有 4+3=7 种不同选法 .若选男、女生各一名当组长,需分两步:第 1 步,从男生中选一名,有 4 种选法;第 2 步,从女生
6、中选一名,有 3 种选法 .根据分步乘法计数原理,共有 43=12 种不同选法 .答案:7 129.导学号 43944002 有一项活动,需从 3 位老师、8 名男同学和 5 名女同学中选人参加 .(1)若只需 1 人参加,有多少种不同的选法?(2)若需老师、男同学、女同学各 1 人参加,有多少种不同的选法?(3)若需 1 位老师、1 名同学参加,有多少种不同的选法?解(1)选 1 人,可分三类:第一类从老师中选 1 人,有 3 种不同的选法;第二类从男同学中选 1人,有 8 种不同的选法;第三类从女同学中选 1 人,有 5 种不同的选法,共有 3+8+5=16 种不同的选法 .(2)选老师、
7、男同学、女同学各 1 人,则分 3 步进行,第一步选 1 位老师,有 3 种不同的选法;第二步选 1 位男同学,有 8 种不同的选法;第三步选 1 位女同学,有 5 种不同的选法,共有385=120 种不同的选法 .(3)选 1 位老师、1 名同学,可分两步进行,第一步选 1 位老师,有 3 种不同的选法,第二步选 1 位同学,有 8+5=13 种不同的选法,共有 313=39 种不同的选法 .10.已知集合 A=a1,a2,a3,a4,集合 B=b1,b2,其中 ai,bj(i=1,2,3,4,j=1,2)均为实数 .(1)从集合 A 到集合 B 能构成多少个不同的映射?(2)能构成多少个以集合 A 为定义域,集合 B 为值域的不同函数?解(1)因为集合 A 中的元素 ai(i=1,2,3,4)与集合 B 中元素的对应方法都有 2 种,由分步乘法计数原理,可构成 A B 的映射有 N=24=16 个 .(2)在(1)的映射中, a1,a2,a3,a4均对应同一元素 b1或 b2的情形 .此时构不成以集合 A 为定义域,以集合 B 为值域的函数,这样的映射有 2 个 .所以构成以集合 A 为定义域,以集合 B 为值域的函数有 M=16-2=14 个 .- 3 -
