1、- 1 -3 组合A 组1.下列问题是组合问题有( )(1)设集合 A=a,b,c,d,e,则集合 A 的子集中含有 3 个元素的有多少个?(2)某铁路线上有 5 个车站,则这条线上有多少种票价?(3)3 人去干 5 种不同的工作,每人干 1 种,有多少种分工方法?(4)把 3 本相同的书分给 5 个学生,每人最多得 1 本,有几种分配方法?A.(1)(2)(4) B.(1)(3)(4)C.(2)(3)(4) D.(1)(2)(3)解析:(1)因为本问题与元素顺序无关,所以是组合问题 .(2)虽然甲站到乙站的车票与乙站到甲站的车票是不同的,但票价与顺序无关,甲站到乙站与乙站到甲站是同一种票价,
2、所以是组合问题 .(3)因为分工方法是从 5 种不同的工作中选出 3 种,按一定顺序分给 3 个人去干,所以是排列问题 .(4)因为 3 本书是相同的,无论把 3 本书分给哪三人,都不需考虑他们的顺序,所以是组合问题 .答案:A2.某新农村社区共包括 8 个自然村,且这些村庄分布零散,没有任何三个村庄在一条直线上,现要在该社区内建“村村通”工程,共需建公路的条数为( )A.4 B.8C.28 D.64解析:由于“村村通”公路的修建,是组合问题 .故共需要建 =28 条公路 .答案:C3.已知 ,则 n 等于( )A.14 B.12C.13 D.15解析: , 7+8=n+1,n= 14.答案:
3、A4.(2016山东胶州高二期中)在 100 件产品中有 6 件次品,现从中任取 3 件产品,至少有 1 件次品的不同取法的种数是( )A. B.C. D.- 2 -解析:从 100 件产品中抽取 3 件的取法数为 ,其中全为正品的取法数为 , 共有不同取法为 .故选 C.答案:C5.某食堂每天中午准备 4 种不同的荤菜,7 种不同的素菜,用餐者可以按下述方法搭配午餐:(1)任选两种荤菜、两种素菜和白米饭;(2)任选一种荤菜、两种素菜和蛋炒饭 .那么每天不同午餐的搭配方法总数是( )A.22 B.56C.210 D.420解析: =210.答案:C6.从正方体的 6 个面中选取 3 个面,其中
4、 2 个面不相邻的选法共有 种 . 解析:从 6 个面中任选 3 个面,有 =20 种选法,3 个面相邻的选法共 8 种,故符合条件的选法共有 20-8=12(种) .答案:127.从一组学生中选出 4 名学生当代表的选法种数为 A,从这组学生中选出 2 人担任正、副组长的选法种数为 B,若 ,则这组学生共有 人 . 解析:设有学生 n 人,则 ,解得 n=15 或 n=-10(舍去) .答案:158.若对任意的 x A,则 A,就称 A 是“具有伙伴关系”的集合 .集合 M= 的所有非空子集中,具有伙伴关系的集合的个数为 . 解析:具有伙伴关系的元素组共 4 组,所以集合 M 的所有非空子集
5、中,具有伙伴关系的非空集合中的元素,可以是具有伙伴关系的元素组中的任一组、二组、三组、四组,又集合中的元素是无序的,因此,所求集合的个数为 =15.答案:159.计算:(1) ;(2) ;(3) .- 3 -解(1)原式 = 1= =56+4 950=5 006.(2)原式 =2( )=2( )=2 =32.(3)原式 = n= n=(n+1)n=n2+n.10.平面内有 12 个点,其中有 4 个点共线,此外再无任何 3 点共线,以这些点为顶点,可得多少个不同的三角形?解方法一:我们把从共线的 4 个点中取点的多少作为分类的标准 .第一类:共线的 4 个点中有 2 个点作为三角形的顶点,共有
6、 =48(个)不同的三角形;第二类:共线的 4 个点中有 1 个点作为三角形的顶点,共有 =112(个)不同的三角形;第三类:共线的 4 个点中没有点作为三角形的顶点,共有 =56(个)不同的三角形 .由分类加法计数原理,不同的三角形共有48+112+56=216(个) .方法二:间接法 . =220-4=216(个) .B 组1.圆周上有 12 个不同的点,过其中任意两点作弦,这些弦在圆内的交点的个数最多是( )A. B.C. D.解析:圆周上每 4 个点组成一个四边形,其对角线在圆内有一个交点 . 交点最多为 个 .故选D.答案:D2.某地政府召集 5 家企业的负责人开会,已知甲企业有 2
7、 人到会,其余 4 家企业各有 1 人到会,会上有 3 人发言,则这 3 人来自 3 家不同企业的可能情况的种数为( )A.14 B.16C.20 D.48解析:可分为两种情况:(1)甲企业选中 1 人,有 =12 种选法;- 4 -(2)甲企业无人选中,有 =4 种选法,所以由分类计数原理可知共有 12+4=16 种可能 .答案:B3.(2016湖南常德一中月考)有 8 张奖券,其中一、二、三等奖各 1 张,其余 5 张无奖 .将这8 张奖券分给 4 个人,每人 2 张,不同的获奖情况有 种(用数字作答) . 解析:因为 8 张奖券中一、二、三等奖各 1 张,其余 5 张无奖,所以只需将有奖
8、的三张分给四人,再将无奖奖券补够每人都有两张奖券即可,三张有奖奖券分给四人有两种情况:一是三个人每人一张,另一个人无,共 =24 种分法;二是一个人一张,一个人两张,另两个人无,共=36 种分法,共有 24+36=60 种不同的获奖情况,故答案为 60.答案:604.导学号 43944011 从 1 到 9 的 9 个数字中取 3 个偶数、4 个奇数,试问:(1)能组成多少个没有重复数字的七位数?(2)上述七位数中,3 个偶数排在一起的有几个?(3)(1)中的七位数中,偶数排在一起,奇数也排在一起的有几个?解(1)分三步完成:第一步,在 4 个偶数中取 3 个,有 种情况;第二步,在 5 个奇
9、数中取 4 个,有种情况;第三步,3 个偶数、4 个奇数进行排列,有 种情况 .所以符合题意的七位数有=100 800(个) .(2)上述七位数中,3 个偶数排在一起的有 =14 400(个) .(3)上述七位数中,3 个偶数排在一起,4 个奇数也排在一起的有 =5 760(个) .5.导学号 43944012 某次足球赛共 12 支球队参加,分三个阶段进行:(1)小组赛:经抽签分成甲、乙两组,每组 6 队进行单循环比赛,以积分及净剩球数取前两名;(2)半决赛:甲组第一名与乙组第二名,乙组第一名与甲组第二名作主客场交叉淘汰赛(每两队客场各赛一场)决出胜者;(3)决赛:两个胜队参加决赛一场,决出胜负 .问全部赛程共需比赛多少场?解(1)小组赛中每组 6 队进行单循环比赛,就是 6 支球队的任两支球队都要比赛一次,所需比赛的场次即为从 6 个元素中任取 2 个元素的组合数,所以小组赛共要比赛 2 =2 =30(场) .(2)半决赛中甲组第一名与乙组第二名(或乙组第一名与甲组第二名)主客场各赛一场,所需比赛的场次即为从 2 个元素中任取 2 个元素的排列数,所以半决赛共要比赛2 =212=4(场) .- 5 -(3)决赛只需比赛 1 场,即可决出胜负 .所以全部赛程共需比赛 30+4+1=35(场) .
