1、- 1 -4 简单计数问题A 组1.设集合 A=0,2,4,B=1,3,5,分别从 A,B 中任取 2 个元素组成无重复数字的四位数,其中能被 5 整除的数共有( )A.24 个 B.48 个C.64 个 D.116 个解析:只含 0 不含 5 的有: =12;(2)只含 5 不含 0 的有: =12;(3)含有 0 和 5 的有: 当 0 在个位时,有 =24; 当 5 在个位时,有 =16.共有 12+12+24+16=64 个 .答案:C2.6 把椅子摆成一排,3 人随机就座,任何两人不相邻的坐法种数为( )A.144 B.120C.72 D.24解析:先把 3 把椅子隔开摆好,它们之间
2、和两端有 4 个位置,再把 3 人带椅子插放在 4 个位置,共有 =24 种放法,故选 D.答案:D3.从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对,其中所成的角为 60的共有( )A.24 对 B.30 对C.48 对 D.60 对答案:C4.将 A,B,C,D,E 排成一列,要求 A,B,C 在排列中顺序为“ A,B,C”或“ C,B,A”(可以不相邻),这样的排列数有 ( )A.12 种 B.20 种C.40 种 D.60 种解析:(排序一定用除法)五个元素没有限制全排列数为 ,由于要求 A,B,C 的次序一定(按 A,B,C或 C,B,A),故除以这三个元素的全排列 再乘以 2,可得 2=
3、40.答案:C5.身穿红、黄两种颜色衣服的各有两人,身穿蓝色衣服的有一人,现将这五人排成一行,要求穿相同颜色衣服的人不能相邻,则不同的排法种数为( )A.24 B.28C.36 D.48- 2 -解析:穿红色衣服的人相邻的排法有 =48 种,同理穿黄色衣服的人相邻的排法也有 48 种 .而红色、黄色同时相邻的有 =24 种 .故穿相同颜色衣服的不相邻的排法有 -248+24=48 种 .答案:D6.某校准备参加 2017 年高中数学联赛,把 10 个选手名额分配到高三年级的 8 个教学班,每班至少一个名额,则不同的分配方案共有 种 . 解析:原问题等价于把 10 个相同的小球放入 8 个盒子里
4、,每个盒子至少有一个小球的放法种数问题 .将 10 个小球排成一排,从中间 9 个间隙中选出 7 个截成 8 段(有 =36 种截法),对应放到 8 个盒子里,有 36 种放法 .因此,不同的分配方案共有 36 种 .答案:367.(2016山东潍坊高二检测)张、王两家夫妇各带 1 个小孩一起到动物园游玩,购票后排队依次入园,为安全起见,首尾一定要排两位爸爸,另外,两个小孩一定要排在一起,则这 6 人的入园顺序排法种数为 .(用数字作答) 解析:第一步:将两位爸爸排在两端有 2 种排法;第二步:将两个小孩视作一人与两位妈妈任意排在中间的三个位置上有 种排法;第三步:将两个小孩排序有 2 种排法
5、 .故总的排法有22 =24(种) .答案:248.在 8 张奖券中有一、二、三等奖各 1 张,其余 5 张无奖 .将这 8 张奖券分配给 4 个人,每人2 张,不同的获奖情况有 种(用数字作答) . 解析:不同的获奖情况分为两种,一是一人获两张奖券一人获一张奖券,共有 =36 种;二是有三人各获得一张奖券,共有 =24 种 .因此不同的获奖情况有 36+24=60 种 .答案:609.导学号 43944014 某市工商局对 35 种商品进行抽样检查,已知其中有 15 种不合格商品 .现从 35 种商品中选取 3 种 .(1)其中某一种不合格商品必须在内,不同的取法有多少种?(2)其中某一种不
6、合格商品不能在内,不同的取法有多少种?(3)恰有 2 种不合格商品在内,不同的取法有多少种?(4)至少有 2 种不合格商品在内,不同的取法有多少种?(5)至多有 2 种不合格商品在内,不同的取法有多少种?解(1)从余下的 34 种商品中,选取 2 种,有 =561(种),- 3 -故某一种不合格商品必须在内的不同取法有 561 种 .(2)从 34 种可选商品中,选取 3 种,有 种或者 =5 984(种) .故某一种不合格商品不能在内的不同取法有 5 984 种 .(3)从 20 种合格商品中选取 1 件,从 15 种不合格商品中选取 2 件有 =2 100(种) .故恰有 2 种不合格商品
7、在内的不同的取法有 2 100 种 .(4)选取 2 件不合格商品有 种,选取 3 件不合格商品有 种,共有选取方式 =2 100+455=2 555(种) .故至少有 2 种不合格商品在内的不同的取法有 2 555 种 .(5)任意选取 3 件的总数有 种,因此共有选取方式 =6 545-455=6 090(种) .故至多有 2 种不合格商品在内的不同的取法有 6 090 种 .B 组1.6 把椅子摆成一排,3 人随机就座,任何两人不相邻的坐法种数为( )A.144 B.120C.72 D.24解析:插空法 .在已排好的三把椅子产生的 4 个空档中选出 3 个插入 3 人即可 .故排法种数为
8、=24.故选 D.答案:D2.(2016广东惠州市统考)任取三个互不相等的正整数,其和小于 100,则由这三个数构成的不同的等差数列共有( )A.528 个 B.1 056 个C.1 584 个 D.4 851 个解析:先确定等差数列的中间项,再确定第一、三项 .设这三个成等差数列的数分别为 a,b,c.由题意得 a+b+c100,即 3b100,得 b 可以取 2,3,33,共 32 个数 .第一类, b=2 时, a,c 的取值共有 2 个( a=1,c=3 和 a=3,c=1,对应的是两个数列);第二类, b=3 时, a,c 的取值共有 4 个;第三十二类, b=33 时, a,c 的
9、取值共有 64 个 .根据分类加法计数原理,可得满足题意的数列共有 2+4+64=1 056 个 .答案:B- 4 -3.(2016江西南昌高三联考)将 6 名报名参加运动会的同学分别安排到跳绳、接力、投篮三项比赛中(假设这些比赛都不设人数上限),每人只参加一项,则共有 x 种不同的方案,若每项比赛至少要安排一人时,则共有 y 种不同的方案,其中 x+y 的值为( )A.1 269 B.1 206C.1 719 D.756解析:依题意得 x=36=729,当每项比赛至少要安排一人时,先分组,有=90 种,再排列,有 =6 种,所以 y=906=540,因此 x+y=1 269,故选 A.答案:
10、A4.数字 1,2,3,4,5,6 按如图形式随机排列,设第一行的数为 N1,其中 N2,N3分别表示第二、三行中的最大数,则满足 N1N2N3的所有排列的个数是 . 解析:(元素优先法)由题意知 6 必在第三行,安排 6 有 =3 种方法,第三行中剩下的两个空位安排数字有 =20 种方法,在留下的三个数字中,必有一个最大数,把这个最大数安排在第二行,有=2 种方法,剩下的两个数字有 =2 种排法,按分步乘法计数原理,所有排列的个数是=240.答案:2405.(2016浙江宁波效实中学第一学期)对一个各边长不相等的凸五边形的各边染色,每条边可以染红、黄、蓝三种颜色中的一种,但是不允许相邻的边染
11、相同的颜色,则不同的染色方法共有 种 . 解析:不妨假设 AB 边染黄色, BC 边染红色, 若 CD 边染黄色,则 DE 边染蓝色, AE 边染红色,或DE 边染红色, AE 边染蓝色,共 2 种情况; 若 CD 边染蓝色,则 DE 边染红色, AE 边染蓝色,或 DE边染黄色, AE 边染红色或 DE 边染黄色, AE 边染蓝色,共 3 种情况,根据对称性,不同的染色方案共有(2 +3)32=30 种 .答案:306.从一架钢琴挑出的十个音键中,分别选择 3 个,4 个,5 个,10 个同时按下,可发出和声,若有一个音键不同,则发出不同的和声,则这样的不同的和声数为 (用数字作答) . 解
12、析:可发出和声的情况共分以下 8 类:当选择 3 个音键时,有 种情况;当选择 4 个音键时,有 种情况;当选择10 个音键时,有 种情况 .所以不同的和声数为 + =968.答案:968- 5 -7.导学号 43944015 把 7 个完全相同的小球放置在三个盒子中,允许有的盒子一个也不放 .(1)如果三个盒子完全相同,有多少种放置方法?(2)如果三个盒子各不相同,有多少种放置方法?解(1)因为小球完全相同,三个盒子也完全相同,所以把 7 个小球分成三份,比如分成 3 个、2个、2 个这样三份放入三个盒子中,无论哪一份小球放入哪一个盒子,均是同一种放置方法,因此,只需将 7 个小球分成如下三
13、份:(7,0,0),(6,1,0),(5,2,0),(5,1,1),(4,3,0),(4,2,1),(3,3,1),(3,2,2)即可 .所以共有 8 种不同的放置方法 .(2)设三个盒子中小球的个数分别为 x1,x2,x3,显然有 x1+x2+x3=7,于是,问题就转化为求这个不定方程的非负整数解的组数问题,令 yi=xi+1(i=1,2,3),得 y1+y2+y3=10,问题又成为求不定方程 y1+y2+y3=10 的正整数解的组数的问题,把 10 个小球排成一排,在 10 个小球中间的9 个空中,任取两个空插入“隔板”,即可将 10 个球分成三组,故不定方程的解有 =36 组 .故有 3
14、6 种放置方法 .8.导学号 43944016 已知平面 ,在 内有 4 个点,在 内有 6 个点 .(1)过这 10 个点中的 3 点作一平面,最多可作多少个不同平面?(2)以这些点为顶点,最多可作多少个三棱锥?解(1)所作出的平面有三类: 内 1 点, 内 2 点确定的平面,有 个; 内 2 点, 内 1 点确定的平面,有 个; , 本身 . 所作的平面最多有 +2=98(个) .(2)所作的三棱锥有三类: 内 1 点, 内 3 点确定的三棱锥,有 个; 内2 点, 内 2 点确定的三棱锥,有 个; 内 3 点, 内 1 点确定的三棱锥,有个 . 最多可作出的三棱锥有 =194(个) .- 6 -
