1、- 1 -习题课-二项式定理的应用A 组1.已知( a+b)n展开式中只有第 5 项的二项式系数最大,则 n 等于( )A.11 B.10C.9 D.8解析: 只有第 5 项的二项式系数最大, +1=5.n= 8.答案:D2. 的展开式中 x2y3的系数是( )A.-20 B.-5C.5 D.20解析:由已知,得Tr+1= (-2y)r= (-2)rx5-ryr(0 r5, rZ),令 r=3,得 T4= (-2)3x2y3=-20x2y3.故选 A.答案:A3.使 (nN +)的展开式中含有常数项的最小的 n 为( )A.4 B.5C.6 D.7解析:由二项式的通项公式得 Tr+1= 3n-
2、r ,若展开式中含有常数项,则 n- r=0,即 n= r,所以 n 最小值为 5.答案:B4.设函数 f(x)= 则当 x0 时, ff(x)表达式的展开式中常数项为( )A.-20 B.20 C.-15 D.15- 2 -解析:当 x0 时, f(x)=- (n+2) (nN +,n2).证明因为 nN +,且 n2,所以 3n=(2+1)n展开后至少有 4 项 .(2+1)n=2n+ 2n-1+ 2+12 n+n2n-1+2n+12n+n2n-1=(n+2)2n-1,故 3n(n+2)2n-1(nN +,n2).10.求证:1 +2+22+ (nN +)能被 31 整除 .证明 1+2+
3、22+= -1=32n-1=(31+1)n-1= 31n+ 31n-1+ 31+ -1=31( 31n-1+ 31n-2+ ),显然 31n-1+ 31n-2+ 为整数, 原式能被 31 整除 .B 组1.若( x+y)9按 x 的降幂排列的展开式中,第二项不大于第三项,且 x+y=1,xy1,即 x 的取值范围为(1, + ).答案:D2.(2016湖北孝感高中高二上学期期中考试)2 015 2 015除以 8 的余数为( )A.1 B.3C.5 D.7解析:2 015 2 015=(2 016-1)2 015=2 0162 015+ 2 0162 014(-1)1+ (-1)2 015,倒
4、数两项和为 2 0152 016-1,其除以 8 的余数为 7,因此 2 0152 015除以 8 的余数是 7.答案:D3.x8=a0+a1(x-1)+a8(x-1)8,则 a7= . 解析: x8=1+(x-1)8= (x-1)+ (x-1)7+ (x-1)8,a 7= =8.答案:84.(2x-1)10展开式中 x 的奇次幂项的系数之和为 . 解析:因为(2 x-1)10=a0+a1x+a2x2+a10x10,令 x=1,得 a0+a1+a2+a10=1,再令 x=-1,得 310=a0-a1+a2-a3+a10,两式相减,可得 a1+a3+a9= .答案:- 5 -5.设 的展开式的常
5、数项为 a,则直线 y=ax 与曲线 y=x2围成图形的面积为 .解析: Tr+1= xr-3x2r= x3r-3,令 r=1,得 a=3,直线 y=3x 与曲线 y=x2的交点坐标为(0,0)和(3,9), 直线 y=ax 与曲线 y=x2围成图形的面积S= (3x-x2)dx= .答案:6.导学号 43944021 设 a0, n 是大于 1 的自然数, 的展开式为 a0+a1x+a2x2+anxn.若点 Ai(i,ai)(i=0,1,2)的位置如图所示,则 a= . 解析:由题意得 a1= =3,n= 3a;a2= =4,n 2-n=8a2.将 n=3a 代入 n2-n=8a2得 9a2
6、-3a=8a2,即 a2-3a=0,解得 a=3 或 a=0(舍去) .a= 3.答案:37.求证:3 2n+2-8n-9(nN +)能被 64 整除 .分析可将 32n+2写成(8 +1)n+1的形式,然后利用二项式定理展开,整理可得结果 .证明 32n+2-8n-9=(8+1)n+1-8n-9= 8n+1+ 8n+ 82+ 8+ -8n-9= 8n+1+ 8n+ 82+(n+1)8+1-8n-9= 8n+1+ 8n+ 82- 6 -=64( 8n-1+ 8n-2+ ),所以 32n+2-8n-9(nN +)能被 64 整除 .8.导学号 43944022 已知在二项式( axm+bxn)12中, a0,b0,mn0 且 2m+n=0.(1)如果在它的展开式中,系数最大的项是常数项,则它是第几项?(2)在(1)的条件下,求 的取值范围 .解(1)设 Tk+1= (axm)12-k(bxn)k= a12-kbkxm(12-k)+nk为常数项,则有 m(12-k)+nk=0,即 m(12-k)-2mk=0.m 0, k= 4, 它是第 5 项 .(2) 第 5 项是系数最大的项,由 得 ,由 得 , .
