1、- 1 -2.2 抛物线的简单性质课后训练案巩固提升A组1.已知抛物线 y2=ax(a0)的准线是 x=-1,则它的焦点坐标是( )A.(1,0) B.(2,0) C.(3,0) D.(-1,0)解析: 准线为 x=- =-1,a= 4,即 y2=4x. 焦点坐标为(1,0) .答案:A2.如图, F为抛物线 y2=4x的焦点, A,B,C为该抛物线上三点,若 =0,则 | |+| |+|等于 ( )A.6 B.4 C.3 D.2解析:由 =0,知 F为 ABC的重心,由抛物线方程知, F(1,0).设 A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),x 1+x2+x3=3.又 | |+
2、| |+| |=x1+x2+x3+ p=3+3=6.答案:A3.已知直线 l过抛物线 y2=8x的焦点且与它交于 A,B两点,若 AB中点的横坐标为 3,则 |AB|等于( )A.7 B.5 C.8 D.10解析:焦点为 F(2,0),设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=23=6,所以 |AB|=|FA|+|FB|=(x1+2)+(x2+2)=x1+x2+4=10.答案:D4.设抛物线 y2=8x的焦点为 F,准线为 l,P为抛物线上一点, PA l,A为垂足 .如果直线 AF的斜率为 - ,那么 |PF|等于( )A.4 B.8 C.8 D.16解析:直线 AF的方程为
3、y=- (x-2),联立 得 y=4 ,所以点 P的坐标为(6,4 ).由抛物线的性质,得 |PF|=|PA|=6+2=8.答案:B- 2 -5.过抛物线的焦点 F的直线与抛物线相交于 A,B两点,若点 A,B在抛物线的准线上的射影分别为 A1,B1,则 A1FB1为( )A.45 B.60 C.90 D.120解析:设抛物线的方程为 y2=2px(p0).如图, |AF|=|AA 1|,|BF|=|BB1|, AA1F= AFA1, BFB1= FB1B.又 AA1 Ox B1B, A1FO= FA1A, B1FO= FB1B. A1FB1= AFB=90.答案:C6.对于顶点在原点的抛物线
4、,给出下列条件: 焦点在 y轴上; 焦点在 x轴上; 抛物线上横坐标为 1的点到焦点的距离等于 6; 抛物线的通径的长为 5; 由原点向过焦点的某条直线作垂线,垂足坐标为(2,1) .能使这条抛物线的方程为 y2=10x的条件是 (要求填写适合条件的序号) . 解析:由抛物线的方程为 y2=10x,知它的焦点在 x轴上, 适合 .又 抛物线的焦点坐标为 F ,原点 O(0,0),设点 P(2,1),可得 kPOkPF=-1, 也适合 .而 显然不适合,通过计算可知 不合题意 . 应填序号为 .答案: 7.有一个正三角形的两个顶点在抛物线 y2=2 x上,另一个顶点在原点,则这个三角形的边长是
5、. 解析:有两个顶点关于 x轴对称,进而得到两边所在直线的倾斜角是 .可设三角形的边长为 a,x轴上方的顶点为 ,代入抛物线方程,得 x0=6 .由 a=6 ,得边长 a=12.- 3 -答案:128.已知点( x,y)在抛物线 y2=4x上,则 z=x2+ y2+3的最小值是 . 解析: 点( x,y)在抛物线 y2=4x上, x 0 .z=x 2+ y2+3=x2+2x+3=(x+1)2+2, 当 x=0时, z最小,其最小值为 3.答案:39.已知直线 l:y=kx+1,抛物线 C:y2=4x,求当 k为何值时, l与 C有:(1)一个公共点;(2)两个公共点;(3)没有公共点?解将 l
6、和 C的方程联立,得消去 y,得 k2x2+(2k-4)x+1=0. (*)(1)当 k=0时,方程( *)只有一个解 x= ,y=1. 直线 l与 C只有一个公共点 ,此时直线 l平行于 x轴 .(2)当 k0 时,方程( *)是一个一元二次方程 . 当 0,即 k1时, l与 C没有公共点,此时直线 l与 C相离 .综上所述,当 k=1或 k=0时,直线 l与 C有一个公共点;当 k1时,直线 l与 C没有公共点 .10. 导学号 90074069 已知抛物线 C:y2=4x的焦点为 F,过点 K(-1,0)的直线 l与 C相交于 A,B两点,点 A关于 x轴的对称点为 D.(1)求证:点
7、 F在直线 BD上;(2)设 ,求直线 l的方程 .解设直线 l与 C的交点为 A(x1,y1),B(x2,y2),则点 D的坐标为( x1,-y1).由题意,得 l的方程为 x=my-1(m0) .(1)证明:将 x=my-1代入 y2=4x,并整理,得 y2-4my+4=0.从而 y1+y2=4m,y1y2=4. 直线 BD的方程为 y-y2= (x-x2),即 y-y2= .令 y=0,得 x= =1.所以点 F(1,0)在直线 BD上 .(2)由 知, x1+x2=(my1-1)+(my2-1)=4m2-2,x1x2=(my1-1)(my2-1)=1.- 4 -因为 =(x1-1,y1
8、), =(x2-1,y2),所以 =(x1-1)(x2-1)+y1y2=x1x2-(x1+x2)+1+4=8-4m2,故 8-4m2= ,解得 m= .所以 l的方程为 3x+4y+3=0,3x-4y+3=0.B组1.过抛物线 y2=2px(p0)的焦点作一条直线交抛物线于点 A(x1,y1),B(x2,y2),则 为( )A.4 B.-4 C.p2 D.-p2解析:(方法一)特例法:当直线垂直于 x轴时, A ,B =-4.(方法二) 当直线斜率不存在时,直线方程为 x= .由 得交点坐标.x 1x2= ,y1y2=-p2, =-4. 当直线斜率存在时,直线方程为 y=k .由 得 y2-
9、y-p2=0.y 1y2=-p2,x1x2= ,则 =-4.答案:B2. 导学号 90074070 如图,过抛物线 y2=2px(p0)的焦点 F作倾斜角为 60的直线 l,交抛物线于 A,B两点,且 |FA|=3,则抛物线的方程是 . 解析:过点 A,B向准线 x=- 作垂线,垂足分别为 C,D,过 B点向 AC作垂线,垂足为 E.- 5 -A ,B两点在抛物线 y2=2px上,|AC|=|AF| ,|BD|=|BF|.BE AC,|AE|=|AF|-|BF|. 直线 AB的倾斜角为 60, 在 Rt ABE中,2 |AE|=|AB|=|AF|+|BF|,即 2(|AF|-|BF|)=|AF
10、|+|BF|,|AF|= 3|BF|.|AF|= 3,|BF|= 1,|AB|=|AF|+|BF|= 4.设直线 AB方程为 y= ,代入 y2=2px,得 3x2-5px+ =0,x 1+x2= ,|AB|=x 1+x2+p=4.p= , 抛物线方程为 y2=3x.答案: y2=3x3.已知抛物线 y=x2上存在两个不同的点 M,N关于直线 y=-kx+ 对称,求 k的取值范围 .解(方法一)由题意,知 k0,设 M(x1,y1),N(x2,y2)是关于直线对称的两点,则 MN的方程可设为 y= x+b,代入 y=x2,得 x2- x-b=0,且 = +4b0. 又 x1+x2= ,中点 x
11、0= ,y0= +b,(x0,y0)在直线 l:y=-kx+ 上, +b=-k ,b= 4- . 代入 ,得 +16- 0. ,k 或 k ,k 2 ,即 k 或 k0)的焦点 F的直线交抛物线于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点 .求证:(1)x1x2为定值;(2) 为定值 .证明(1)抛物线 y2=2px(p0)的焦点为 F ,当直线的斜率存在时,设直线 AB的方程为 y=k(k0) .由 消去 y,整理,得 k2x2-p(k2+2)x+ =0.由根与系数的关系,得 x1x2=为定值 .当直线的斜率不存在,即 AB x轴时, x1=x2= ,x1x2= 也成立 .x 1x2为定值 .(2)当直线的斜率存在时,由抛物线的定义知, |FA|=x1+ ,|FB|=x2+ .为定值 .当直线的斜率不存在,即 AB x轴时, |FA|=|FB|=p,上式也成立 . 为定值 .- 7 -
