1、- 1 -3.2 双曲线的简单性质1.已知双曲线 =1的一条渐近线为 y= x,则实数 a的值为( )A. B.2 C. D.4解析:由题意,得 ,所以 a=4.答案:D2.已知 ABP的顶点 A,B分别为双曲线 =1的左、右焦点,顶点 P在双曲线上,则的值等于( )A. B. C. D.解析:在 ABP中,由正弦定理知 .答案:A3.已知双曲线 =1(b0)的离心率等于 b,则该双曲线的焦距为 ( )A.2 B.2 C.6 D.8解析:设双曲线的焦距为 2c,由已知得 b,又 c2=4+b2,解得 c=4,则焦距为 8.答案:D4.已知双曲线 =1与直线 y=2x有交点,则双曲线离心率的取值
2、范围为( )A.(1, ) B.(1, C.( ,+ ) D. ,+ )解析:因为双曲线的一条渐近线方程为 y= x,则由题意得 2.- 2 -所以 e= .答案:C5.已知双曲线 =1的一个焦点与抛物线 y2=4 x的焦点重合,且双曲线的离心率等于,则双曲线的方程为( )A.x2- =1 B.x2-y2=1C. =1 D. -y2=1解析:由题意可得双曲线 =1的一个焦点为( ,0),所以 c= ,又 a=3,所以b2=c2-a2=1,故双曲线的方程为 -y2=1,故选 D.答案:D6.双曲线 =1的离心率 e(1,2),则 k的取值范围是 . 解析:双曲线方程可变为 =1,则 a2=4,b
3、2=-k,c2=4-k,e= ,又因为 e(1,2),则 10,设 A(x1,y1),B(x2,y2),所以 x1+x2= ,x1x2=- ,所以 |AB|= =3.答案:39.求适合下列条件的双曲线的标准方程:(1)过点(3, - ),离心率 e= ;(2)中心在原点,焦点 F1,F2在坐标轴上,实轴长和虚轴长相等,且过点 P(4,- ).解(1)若双曲线的焦点在 x轴上,设其标准方程为 =1(a0,b0).因为双曲线过点(3, - ),则 =1.又 e= ,故 a2=4b2.由 得 a2=1,b2= ,故所求双曲线的标准方程为 x2- =1.若双曲线的焦点在 y轴上,设其标准方程为 =1(
4、a0,b0).同理可得 b2=- ,不符合题意 .综上可知,所求双曲线的标准方程为 x2- =1.(2)由 2a=2b,得 a=b,所以 e= ,- 4 -所以可设双曲线方程为 x2-y2= ( 0) .因为双曲线过点 P(4,- ),所以 16-10= ,即 = 6.所以双曲线方程为 x2-y2=6.所以双曲线的标准方程为 =1.10. 导学号 01844026 已知双曲线的中心在原点,焦点 F1,F2在坐标轴上,离心率为 ,且过点(4, - ).(1)求双曲线的方程;(2)若点 M(3,m)在双曲线上,求证: =0;(3)在(2)的条件下,求 F1MF2的面积 .(1)解 e= , 可设双曲线方程为 x2-y2= ( 0) . 过点 P(4,- ), 16-10= ,即 = 6. 双曲线方程为 x2-y2=6,即 =1.(2)证明由(1)可知,双曲线中 a=b= ,c= 2 ,F 1(-2 ,0),F2(2 ,0), ,=- . 点 M(3,m)在双曲线上, 9-m2=6,m2=3.故 =-1,MF 1 MF2, =0.(3)解 F1MF2的底 |F1F2|=4 , F1MF2的边 F1F2上的高 h=|m|= ,- 5 - |F1F2|m|=6.
