1、- 1 -习题课推理与证明的综合问题课后训练案巩固提升1.在集合 a,b,c,d上定义两种运算 和 如下: a b c dabcdabcdbbbbcbcbdbbd a b cabcdaaaaabcdacca则 d( a c)等于( )A.a B.bC.c D.d解析: 由给出的定义可知 d( a c)=d c=a.答案: A2.设 m是一个非负整数, m的个位数记作 G(m),如 G(2 017)=7,G(12)=2,G(50)=0,称这样的函数为尾数函数,给出下列有关尾数函数的结论: G (a-b)=G(a)-G(b); a,b,cN,若 a-b=10c,则有 G(a)=G(b);G (ab
2、c)=G(G(a)G(b)G(c),则正确结论的个数为( )A.3 B.2C.1 D.0解析: 令 a=12,b=8,则 G(a-b)=G(a)-G(b),显然 错;令 x,y,z为小于 10的自然数, m,n,k为自然数, a=10m+x,b=10n+y,c=10k+z,由 a,b,cN,若 a-b=10c,可知 x-y=0,即 a与 b的个位数相同,因此 G(a)=G(b), 正确;显然的个位数由这三个数的个位数的积来确定的,因此 正确 .答案: B3.若“整数对”按如下规律排成一列:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2)
3、,(4,1),则第 45个“整数对”是( )A.(1,9) B.(9,1)C.(1,10) D.(10,1)解析: 因为(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),( n,1)共有整数对 1+2+3+n=个,当 n=9时,共有 45个整数对,所以第 45个“整数对”是(9,1) .答案: B4.设 a,b(0, + ),a b,x,y(0, + ),则 ,当且仅当 时取等号 .利用以上结论,可以得到函数 f(x)= 的最小值为( )A.169 B.121C.25 D.16- 2 -解析: f(x)= =25,当且仅当 ,即 x= 时, f(x)取得最小值 25.答案
4、: C5.有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛,其中一位获奖,有人走访了四位歌手,甲说:“是乙或丙获奖 .”乙说:“甲、丙都未获奖 .”丙说:“我获奖了 .”丁说:“是乙获奖 .”四位歌手的话只有两句是对的,则获奖的歌手是 . 解析: 若甲获奖,则甲、乙、丙、丁四位歌手说的话都是假的,同理可推出乙、丙、丁获奖的情况,最后可知获奖的歌手是丙 .答案: 丙6.若数列 an满足 an+1=an+an+2(nN *),则称数列 an为“凸数列”,已知数列 bn为“凸数列”,且 b1=1,b2=-2,则数列 bn的前 2 016项的和为 . 解析: 由“凸数列”的定义,可写出数列的前几项: b1=1,b2=
5、-2,b3=-3,b4=-1,b5=2,b6=3,b7=1,b8=-2,故数列 bn是周期为 6的周期数列 .又 b1+b2+b3+b4+b5+b6=0,故S2 016=S3366=0.答案: 07.对于集合 a1,a2,an和常数 a0,定义: = 为集合a1,a2,an相对 a0的“正弦方差”,则集合 相对 a0的“正弦方差”为 .解析: 由题意,得集合 相对 a0的“正弦方差”为 = ,即 3= cos2a0+ ,所以 6= 2cos2a0+1-cos +1-cos ,即 6= 2cos2a0+2-2cos cos 2a0,所以 6= 2cos2a0+2-(2cos2a0-1),于是 =
6、 .答案:8.阅读下列不等式的证法,并回答后面的问题 .已知 a1,a2R, a1+a2=1,求证: .证明:构造函数 f(x)=(x-a1)2+(x-a2)2,则 f(x)=2x2-2x+ .x R, f(x)0 恒成立,= 4-8( )0, .(1)若 a1,a2,anR, a1+a2+an=1(nN *),请写出上述结论的推广形式;(2)参考上述证法,请对你推广的结论加以证明.- 3 -(1)解: 若 a1,a2,anR, a1+a2+an=1(nN *),则 + (nN *).(2)证明: 构造函数 g(x)=(x-a1)2+(x-a2)2+(x-an)2,则 g(x)=nx2-2x+
7、 + .x R, g(x)0 恒成立,= 4-4n( + )0, + (nN *).9.点 M 在圆 C:x2+y2=1上,经过点 M的圆的切线方程为 x+ y=1;又点 Q(2,1)在圆 C外部,容易证明直线 2x+y=1与圆相交;点 R 在圆 C的内部,直线 x+ y=1与圆相离 .类比上述结论,你能给出关于一点 P(a,b)与圆 x2+y2=r2的位置关系与相应直线 ax+by=r2与圆的位置关系的结论吗?并证明你的结论 .解: 点 P(a,b)在 C:x2+y2=r2上时,直线 ax+by=r2与 C相切;点 P在 C内部时,直线 ax+by=r2与 C相离;点 P在 C外部时,直线
8、ax+by=r2与 C相交 .证明如下:圆 x2+y2=r2的圆心(0,0)到直线 ax+by=r2的距离为 d= .若( a,b)在圆内,则 a2+b2r,所以直线与圆相离;若( a,b)在圆上,则 a2+b2=r2,所以 d=r,所以直线与圆相切;若( a,b)在圆外,则 a2+b2r2,所以 dd,a-2d,d0) .假设存在 a1,d,使得 a1, 依次构成等比数列,则 a4=(a-d)(a+d)3,且( a+d)6=a2(a+2d)4.令 t= ,则 1=(1-t)(1+t)3,且(1 +t)6=(1+2t)4 ,化简得 t3+2t2-2=0(*),且 t2=t+1.将 t2=t+1代入( *)式,得 t(t+1)+2(t+1)-2=t2+3t=t+1+3t=4t+1=0,则 t=- .显然 t=- 不是上面方程的解,矛盾,所以假设不成立,因此不存在 a1,d,使得 a1, 依次构成等比数列 .- 4 -
