1、- 1 -山西大学附中 2018-2019 学年高二第二学期 3 月（总第二次）模块诊断数学试题（理）考试时间：120 分钟 一.选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分，请把答案写在答题纸上)1.下列导数运算正确的是（ ）A. B. C. D.2632xxcossin 21xxxe22.已知 的导函数 的图象如右图所示，那么函数 的图象最有可能的是( )(f()f f3.已知函数 ，则 的增区间为（ ）xflnfA. B. C. D. 1,0e,0,1,e4函数 有（ ）329y(2)A极大值 5，无极小值 B极小值27，无极大值C极大值 5，极小值27 D极大值 5，极
2、小值115. 已知函数 的导函数为 ,且满足关系式 ,则 的值等于( )xfxf xfxfln231fA. B. C. D. 41414346.若函数 存在极值，则实数 的取值范围是（ ）()sinfxkxkA B C D,(1,)(,1)7. 已知函数 ，则曲线 上任意一点处的切线的倾斜角 的取值范xxef231yfx围是（ ）A. B. C. D.(03， (3， )32， )3，8. 函数 的图象在 处的切线方程为 ，则 的值为( )xaxfsin)2bxyA. B. C. D.414141419定义在 上的函数 满足： 则不等式 （其R()f(),(0),fxf()3xxef中 为自然
3、对数的底数）的解集为（ ）eA B C D0,03,10. 若函数 在区间 内任取有两个不相等的实数 ， 不等axfln12, 21x式 恒成立，则 的取值范围是（ ） 12xfA. B. C. D. 3,3,3,3,yxO 12-2AyxO12-2ByxO12-2CyxO 1 2-2DyxO 1 2-1()f- 2 -11. 已知 ，则 的最小值为（ ）3,ln3lbdca 22)()(cdbaA B C D5105185165112. 已知直线 为函数 图象的切线,若 与函数 的图象相切于点 ,则实lxeyl2xy2m数 必定满足（ ）mA. B. C. D. 2e12m04me41e二填
4、空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分，请把答案写在答题纸上)13. 函数 的单调减区间是 . xef)(14设曲线 在点 处的切线与曲线 上点 处的切线垂直,则 的坐标xy1,0xy0PP为 . 15. 若函数 的定义域为 ，则实数 的取值范围是 . ()xfemRm16. 设函数 ， ，对任意 ，不等式 恒12xeg)( ),0(,21x1)(21kxfg成立，则正数 的取值范围是 . k三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. （满分 10 分）已知 ，若直线 过点 且与 图像相切，求直线341xf l4,2xf的方程l18. (本小题满分 12 分)
5、已知函数 xxfln21)(1)求函数 在 上的最大值和最小值xf,1e(2)求证：在区间 上函数 的图象恒在函数 的图象的下方.f32g19(本小题满分 12 分) 已知函数 32().fxabx(1)当 在 上是增函数，求实数 的取值范围；2,(bfx时 1,(2)当 处取得极值，求函数 上的值域. 3)3时 在 ()1f在 ，20.（本小题满分 12 分）已知函数 .2()ln(0)fxaxa(1)求 的单调区间；()fx(2)若 ，求证：函数 只有一个零点 ，且 .12ln1)af0012xa- 3 -21 （本小题满分 12 分）已知函数 有两个不同的零点.Raxxaf 12ln(1
6、)求 的取值范围;a(2)设 是 的两个零点,证明: .21,xf 2122. （本小题满分 12 分）已知函数 02ln2mxxf(1)讨论函数 的单调性；xf(2)当 时，若函数 的导函数 的图象与 轴交于 两点，其横坐标分别23mff BA,为 ，线段 的中点的横坐标为 ，且 恰为函数1,xAB0x21,的零点，求证：. .bxch2ln)( ln321h山西大学附中2018-2019 学年高二第二学期 3 月（总第二次）模块诊断数学答案（理）一.选择题1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12C A B A A A C B A C B D二填空题(本大题共 4 个小题,每小题
7、 5 分,共 20 分，请把答案写在答题纸上)13. 14 (1,1) 15. 16. ,1m12ek三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.解析：设曲线 y x3 与过点 P(2,4)的切线相切于点 A(x0 ， x )，13 43 1330 43则切线的斜率 k y| x x0 x .20- 4 -切线方程为 y( x ) x (x x0)，即 y x x x .点 P(2,4)在切线上1330 43 20 20 2330 4342 x x ，202330 43即 x 3 x 40， x x 4 x 40，解得 x01 或 x22，30 20 30 20 20切线方程为
8、4x y40 或 x y20.-10 分18.-12 分2 2232321()ln,()0,1() 1(2)ln1()(),)6(fffxeexfgxxxhh解 ： 在 是 增 函 数 即 在 是 增 函 数时 取 最 小 值 为 时 取 最 大 值 为设 则 2322163(1,)(0)01)(,)(ln(1)06)(,(hxfxgxfxfgfgx当 时 是 减 函 数当 时即 在 上 是 减 函 数函 数 在 上 始 终 是 负 数 ,即 函 数 的 图 象 ， 在 函 数 的 图 象 下 方 。19 解:(1) , 1322.()3afxa因为 在 上是增函数，()x1,所以 在区间 上
9、横成立， 220f1,即 在区间 上横成立， 423,3xaaax即 1,令 ， ， 在 上单调增函数.()gx 2()g()g所以 612,.即(2) ，322()()3faxfxax因为 处取得极值，所以 =0，得出 7在 1f5.,令 . 2()10()fx 1()0,3,fx得在 上为减函数，在 上增函数， 9,335又 11()(5),max(1),5,min()9,ff f f- 5 -所以，函数 上的值域为 . 12()1fxa在 ， 9,1520解： 的定义域为 令 ， 或 . (,)()0fx+1xa当 时， ，函数 与 随 的变化情况如下表：10a+f,)0,a(,)()f
10、x0 0 A极小值 A极大值 A所以函数 的单调递增区间是 ，单调递减区间是 和(,1)+(,)1,)a当 时， . 所以函数 的单调递减区间是 .1a2()1xf(fx当 时， ，函数 与 随 的变化情况如下表：+0()fx,aa1,0)a0 (0,)()f0 0 A极小值 A极大值 A所以函数 的单调递增区间是 ，单调递减区间是 和 .-6 分(,)+(,1)a+,（）证明：当 时，由（）知， 的极小值为 ，极大值12ln1afx()f为 .()fa因为 ， ，且 在0l()022()(1)()()0fa()fx上是减函数，所以 至多有一个零点. (1,)x又因为 ，212ln(ln)0f
11、aa所以 函数 只有一个零点 ，且 .-12 分()x0012a21(1)函数 f(x)的定义域为(0, + ).f(x)= -2x+2a-1=-x 当 a0 时,易得 f(x)0 时,令 f(x)=0,得 x=a,则x (0,a) a (a,+ )f(x) + 0 -f(x) 增 极大值 减f (x)max=f(x)极大值 =f(a)=a(ln a+a-1).设 g(x)=ln x+x-1,g (x)= +10,则 g(x)在(0, + )上单调递增 .g (1)=0, 当 x1 时, g(x)0.因此:( )当 01 时, f(x)max=ag(a)0,f =a -1 -1),h (x)=
12、-10,h (x)在(1, + )上单调递减,则 h(3a-1)h(2)=ln 2-20,- 6 -f (3a-1)=ah(3a-1)0,f (x)在区间( a,3a-1)上有一个零点,那么 f(x)恰有两个零点 .综上所述,当 f(x)有两个不同零点时, a 的取值范围是(1, + ).-6 分(2)由(1)可知,12 分22.试题解析：（1）由于 的定义域为 ，则. -1 分对于方程 ，其判别式 .当 ，即 时， 恒成立，故 在 内单调递增. -2 分当 ，即 ，方程 恰有两个不相等是实 ，令，得 或 ，此时 单调递增；令 ，得，此时 单调递减.综上所述，当 时， 在 内单调递增；当 时， 的减区间为： ，增区间为： ， -4 分 （2）由（1）知， ，所以 的两根 ， 即为方程 的两根.因为 ，所以， ， . -5 分 又因为 ， 为 的零点，所以 ， =0，- 6 分 22lnbxc两式相减得 ，得 . -7 分而 ，所以- 7 -. -9 分令 ，由 得 ，因为 ，两边同时除以 ，得 ，因为 ，故 ，解得 或 ，所以 . -10 分设 ，所以 ，则 在 上是减函数，所以， 即 的最小值为 .所以 . -12 分
