1、3.2 双曲线的简单性质,双曲线的简单性质,名师点拨对双曲线的简单几何性质的几点认识 (1)双曲线的焦点决定双曲线的位置; (2)双曲线的离心率和渐近线刻画了双曲线的开口大小,离心率越大,双曲线的开口越大,反之亦然; (3)实轴和虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线,它的渐近线是y=x,离心率为e= .,思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打“”.(2)双曲线的离心率越大,双曲线的开口越开阔.( ) (3)以y=2x为渐近线的双曲线有2条.( ) (4)椭圆与双曲线的离心率都是e,其范围一样.( ) 答案:(1) (2) (3) (4),探究一,探究二,探究三,探究四,思
2、维辨析,【例1】 求双曲线9y2-4x2=-36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,反思感悟已知双曲线方程求其几何性质的步骤 1.若不是标准方程的先化成标准方程; 2.确定方程中a,b的对应值,利用c2=a2+b2得到c; 3.确定双曲线的焦点位置,从而写出双曲线的几何性质.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,变式训练1求双曲线x2-3y2+12=0的实轴长、虚轴长、焦点坐标、顶点坐标、渐近线方程、离心率.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,分析分析双曲线的几何性质求a,b,c确定(讨论)焦点位置求双曲线的标准方
3、程,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,反思感悟1.双曲线的标准方程的求法 双曲线的标准方程的求法和椭圆方程的求法类似,一般都采用待定系数法,其步骤可以总结为: 设方程列方程求参数得方程,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,(5)渐近线为y=kx的双曲线方程可设为k2x2-y2=(0). (6)渐近线为axby=0的双曲线方程可设为a2x2-b2y2=(0).,2.巧设双曲线方程的六种常用方法,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,探究一,探究二,探究三
4、,探究四,思维辨析,【例3】 设F1,F2是双曲线C: (a0,b0)的两个焦点,P是C上一点,若|PF1|+|PF2|=6a,且PF1F2的最小内角为30,则C的离心率为 . 分析由双曲线的定义及余弦定理得出关于a,b,c的关系式,解方程可得离心率. 解析:不妨设|PF1|PF2|,则|PF1|-|PF2|=2a, 又|PF1|+|PF2|=6a,得|PF1|=4a,|PF2|=2a,|F1F2|=2c,则在PF1F2中,PF1F2=30,由余弦定理得(2a)2=(4a)2+(2c)2-2(4a)(2c)cos 30,整理得,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,反思感悟求双曲线离心率的
5、方法:(3)若得到的是关于a,c的齐次方程pc2+qac+ra2=0(p,q,r为常数,且p0),则转化为关于e的方程pe2+qe+r=0求解.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,变式训练3已知双曲线 (a0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P为双曲线上一点,且PF1F2=30,PF2F1=60,则双曲线的离心率为 .,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,变式训练4过双曲线 的右焦点F2且倾斜角为30的直线交双曲线于A,B两点,O为坐标原点,F1为左
6、焦点. (1)求|AB|; (2)求AOB的面积.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,因忽视判别式导致判断失误 【典例】 已知双曲线C:2x2-y2=2与点P(1,2).是否存在过点P的弦AB,使AB的中点为P? 易错分析(1)用点差法解决“中点弦”问题时,容易忽略判断是否大于0,导致错误. (2)研究直线与椭圆、双曲线相交问题时,一定要注意0.若关于0的不等式很复杂,可以先求出参数的值,再代入验证是否大于零.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,解设直线l的方程为y-2=k(x-1), 代入C的
7、方程,并整理,得(2-k2)x2+2(k2-2k)x-k2+4k-6=0. 假设以P为中点的弦AB存在,则弦AB不会垂直于x轴,设A(x1,y1),B(x2,y2),所以(y1+y2)(y1-y2)=2(x1+x2)(x1-x2). 因为线段AB的中点是P(1,2), 所以x1+x2=2,y1+y2=4, 所以4(y1-y2)=4(x1-x2).将k=1代入方程,经验证判别式0. 所以这样的直线存在,方程为y=x+1.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,纠错心得当判别式0时,直线与双曲线相交.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,1 2 3 4 5,答案:C,1 2 3 4 5,2.已知A,B为双曲线E的左、右顶点,点M在E上,ABM为等腰三角形,且顶角为120,则E的离心率为 ( ),1 2 3 4 5,答案:D,1 2 3 4 5,答案:1,1 2 3 4 5,解析:由题意,知a2=16,即a=4.因为e=2, 所以c=2a=8,所以m=c2-a2=48. 答案:48,1 2 3 4 5,
