1、2 从位移的合成到向量的加法,2.1 向量的加法,一,二,三,一、向量的加法的定义 求两个向量和的运算,叫作向量的加法.两个向量的和仍然是一个向量.,一,二,三,二、向量的求和法则 1.三角形法则:如图所示,已知向量a,b,在平面内任取一点A,作,这个法则叫作向量求和的三角形法则.,一,二,三,一,二,三,【做一做1】 如图,在矩形ABCD中,AC与BD相交于点O,则,一,二,三,三、向量加法运算律 1.交换律:a+b=b+a. 2.结合律:a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c). 注意由于向量的加法满足交换律与结合律,因此,多个向量的加法运算就可按照任意的次序与组合来进行.例如,(a+b
2、)+(c+d)=(b+d)+(a+c)=(a+d)+(b+c). 【做一做2】 化简下列各组向量:,一,二,三,思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“”,错误的画“”. (1)对任意不共线向量a,b总有|a+b|a|+|b|成立. ( ) (2)当a与b共线且反向时|a+b|=|a|+|b|. ( ) (3)若a与b共线且同向时|a+b|=|a|+|b|. ( ) (4)若|a|=100,|b|=90,则|a+b|的范围为10,190. ( ) 答案:(1) (2) (3) (4),探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,利用向量的加法法则作和向量 【例1】如图,已知向量a
3、,b,c不共线,求作向量a+b+c.思路分析:可用三角形法则或平行四边形法则求出a+b,再与c求和.,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,反思感悟1.用三角形法则求和时,关键要抓住“首尾相接”,并且和向量是由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点. 2.用平行四边形法则求和向量时,应注意“共起点”. 3.在求多个向量的加法作图时,常利用向量的三角形法则.,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,向量的加法运算 【例2】如图,已知O为正六边形ABCDEF的中心,化简下列向量:,思路分析:此类问题应根据三角
4、形法则或平行四边形法则,观察是否具备应用法则的条件.若不具备,应改变条件,以便使用法则求解.,解:(1)因为ABCDEF是正六边形,O是中心,所以四边形OABC是平行四边形,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,反思感悟进行向量的加法运算时要抓住两条主线,一是基于“形”,通过作出向量,在图形中,运用平行四边形法则或三角形法则求和;二是基于“式”,它是对上述操作的符号化表示,特别要注意运用,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,变式训练2(1)在平行四边形ABCD中,下列结论错误的是( ),解析:(1)在平行四边形ABCD中,答案:(1)C (2)1,探究一,探究二,探究三,探究四,易错
5、辨析,向量的加法运算律及应用 【例3】 化简下列各式:,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,反思感悟1.意义. 向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据,实现恰当利用向量加法法则运算的目的. 实际上,由于向量的加法满足交换律和结合律,故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行. 2.应用原则. 利用代数方法通过向量加法的交换律,使各向量“首尾相连”,通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序.,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,变式训练3下列等式错误的是( ) A.a+0=0+a=a,答案:B,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,向量加法的实际应用 【例4】 一
6、艘船从点A出发以2 km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶,同时水的流速为2 km/h,求船实际航行的速度的大小与方向. 思路分析:该问题属于实际应用题,其中船速和水的流速及两者间的方向关系明确垂直,因此解答本题可借助向量知识及直角三角形的边角关系求解.,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,解:如图,所以船实际航行的速度的大小为4 km/h,方向是与水流的方向成60角.,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,反思感悟1.向量的加法在物理学中应用较为广泛,如力的合成、速度的合成等,解决这类问题的关键是结合图形,利用平行四边形法则或三角形法则解决. 2.实际问题的向量解法的步骤: 把实际问
7、题转化为向量问题解决向量问题把向量问题转化为实际问题,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,变式训练4在某地抗震救灾中,一架飞机从A地按北偏东35的方向飞行800 km到达B地接到受伤人员,然后又从B地按南偏东55的方向飞行800 km送往C地医院,求这架飞机飞行的路程及两次位移的和.,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,求范围时因忽略了两向量共线的情况而致误,根据向量加法的三角形法则可得: A,B,C三点构成三角形.,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,纠错心得1.在解决向量的长度问题时,注意各向量的共线情况.当两向量长度一定,共线同
8、向时,向量和的长度最大,共线反向时,两向量和的长度最小. 2.错解中忽略了A,B,C三点共线的情况.,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,变式训练已知向量m与n不共线,且|m|=1,|n|=4,则|m+n|的取值范围是 . 解析:因为m与n不共线, 所以有|m|-|n|m+n|m|+|n|, 即3|m+n|5. 答案:(3,5),1,2,3,4,5,1.若向量a表示向东走1 km,向量b表示向南走1 km,则向量a+b表示( ),解析:由向量加法的平行四边形法则可知,a+b表示向东南走 km. 答案:A,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,5.在长江南岸某渡口处,江水以12.5 km/h的速度向东流,渡船的速度为25 km/h,渡船要垂直地渡过长江,其航向应如何确定?,CAD=30. 渡船要垂直地渡过长江,其航向应为北偏西30.,
