1、习题课平面向量数量积的综合应用,一,二,三,四,一、向量的射影 1.设向量a与向量b的夹角为,则向量b在a方向上的射影为|b|cos,2.设向量a与向量b的夹角为,则向量a在b方向上的射影为|a|cos,一,二,三,四,二、向量数量积的坐标表示 已知向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),那么 1.ab=x1x2+y1y2且ab=0abx1x2+y1y2=0.(解决垂直问题常用公式),一,二,三,四,三、向量数量积的运算律 1.交换律:ab=ba. 2.分配律:(a+b)c=ac+bc. 注意数量积不满足结合律,即(ab)ca(bc)abc. ab=0 a=0或b=0. ab=ac b=c
2、.,一,二,三,四,四、重要公式(结论) 1.(a+b)(a-b)=a2-b2. 2.(ab)2=a22ab+b2.,一,二,三,四,【做一做1】 设a=(1,2),b=(1,1),c=a+kb.若bc,则实数k的值等于( ),解析:a=(1,2),b=(1,1), c=(1+k,2+k). bc,bc=1+k+2+k=0. k=- .故选A. 答案:A,一,二,三,四,【做一做2】 已知向量a=(2,1),ab=10,|a+b|=5 ,则|b|等于( ),|b|=5. 答案:C,一,二,三,四,解析:由夹角公式直接代入求解即可.设a,b的夹角为,一,二,三,四,【做一做4】 已知A(2,1)
3、,B(3,2),D(-1,4).,(2)若四边形ABCD是矩形,求C点坐标,并求两对角线所成锐角的余弦值.,(1)证明:A(2,1),B(3,2),D(-1,4),一,二,三,四,(2)解:四边形ABCD为矩形,且ABAD,设点C坐标为(x,y),则(-3,3)=(x-3,y-2), x-3=-3,y-2=3,x=0,y=5, 点C坐标为(0,5),探究一,探究二,思想方法,平面向量数量积的基本运算 【例1】 (1)已知等边三角形ABC的边长为2,(2)已知|a|=13,|b|=19,|a+b|=24,则|a-b|= . (3)已知向量ab,b=(1,2),|ab|=10,则a的坐标为 .,探
4、究一,探究二,思想方法,解析:(1)由已知得ab+bc+ca=|a|b|cos 120+|b|c|cos 120+|c|a|cos 120=-6. (2)由|a+b|2=(a+b)2,可得a2+2ab+b2=576, 所以169+2ab+361=576, 所以2ab=46. 所以|a-b|2=a2-2ab+b2=169-46+361=484, 所以|a-b|=22. (3)因为ab, 所以设a=b(R),所以a=(,2), 所以|ab|=|+4|=10,所以=2, 所以a=(2,4)或a=(-2,-4). 答案:(1)-6 (2)22 (3)(2,4)或(-2,-4),探究一,探究二,思想方法
5、,反思感悟解决此类问题要注意加深对数量积定义及相关概念的理解.若向量在坐标形式下求解,注意熟记数量积的坐标形式及相关的度量公式.,探究一,探究二,思想方法,变式训练1(1)若a=(2,3),b=(-4,7),则a在b方向上的射影为 ,b在a方向上的射影为 . (2)已知|a|=4,|b|=3,且(2a-3b)(2a+b)=61. 求a,b的夹角; 求|a+b|.,探究一,探究二,思想方法,(2)解:由(2a-3b)(2a+b)=61,得4a2-4ab-3b2=61, 又因为|a|=4,|b|=3,所以ab=-6.设a,b的夹角为,|a+b|2=a2+2ab+b2=16-12+9=13.,探究一
6、,探究二,思想方法,数量积的综合应用,A.20 B.15 C.9 D.6,A.(-3,0) B.(2,0) C.(3,0) D.(4,0),探究一,探究二,思想方法,探究一,探究二,思想方法,点P的坐标为(3,0).故选C. 答案:(1)C (2)C 反思感悟1.数量积在向量的化简、求值及有关平面几何证明中,要先把待求向量用合适的基底表示出来,体现由已知解决未知的思想. 2.数量积在坐标下讨论最值问题,一般利用函数思想,体现了纯代数的思维方法.,探究一,探究二,思想方法,答案:9,探究一,探究二,思想方法,几何法与代数法在解决数量积最值问题中的对比 【典例】 已知点A,B,C在圆x2+y2=1
7、上运动,且ABBC.若点P的坐标为(2,0),则 的最大值为( ) A.6 B.7 C.8 D.9 思路点拨:本题可借助数形结合的思想,也可以利用数量积的坐标形式加以解决.,探究一,探究二,思想方法,解析:一画出图形,利用向量加法的几何意义通过数形结合求解. AC为RtABC的斜边,则AC为圆x2+y2=1的一条直径,故AC必经过原点,探究一,探究二,思想方法,解析二利用向量的线性运算及数量积求解.,探究一,探究二,思想方法,解析三设出点B的坐标,转化为坐标运算求解.,答案:B,探究一,探究二,思想方法,方法点睛该例题求解思路方法比较丰富,是一个很好的训练思维能力及思想方法的案例. 解析一强调
8、了数形结合思想的应用,同时也有必要的向量的基本运算;解析二主要应用数量积的形式来表达距离,体现了数量积的最原始意义;解析三强调数量积的坐标运算,并化归为三角函数的最值问题.,1,2,3,4,5,6,1.已知向量a=(1,x),b=(-1,x),若2a-b与b垂直,则|a|=( ),解析:由题意知2a-b=(3,x), 2a-b与b垂直, (2a-b)b=(3,x)(-1,x)=0, x2=3.,故选C. 答案:C,1,2,3,4,5,6,2.在ABC中,有如下命题,其中正确的是( ),A. B. C. D.,角,ABC是钝角三角形,错误. 答案:C,1,2,3,4,5,6,3.如图,在ABCD
9、中,AB=2,AD=1,A=60,点M在AB边上,且,1,2,3,4,5,6,答案:D,1,2,3,4,5,6,4.设向量a与b的夹角为,且a=(3,3),2b-a=(-1,-1),则cos = .,答案:1,1,2,3,4,5,6,5.已知平面向量a=(1,x),b=(2x+3,-x),xR. (1)若ab,求x的值; (2)若ab,求|a-b|. 解:(1)若ab,则ab=(1,x)(2x+3,-x)=1(2x+3)+x(-x)=0, 即x2-2x-3=0, 解得x=-1或x=3. (2)若ab,则1(-x)-x(2x+3)=0, 即x(2x+4)=0,解得x=0或x=-2. 当x=0时,a=(1,0),b=(3,0),a-b=(-2,0),|a-b|=2.,1,2,3,4,5,6,6.已知在ABC中,角C是直角,CA=CB,D是CB的中点,E是AB上一点,且AE=2EB,求证:ADCE. 证明:建立如图所示的平面直角坐标系, 设A(a,0),则B(0,a),E(x,y). D是BC的中点,
