2020版高考数学大一轮复习第七章立体几何与空间向量第6节空间向量的应用(第1课时)利用空间向量证明平行与垂直课件理新人教A版.pptx

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1、第6节 空间向量的应用 第1课时 利用空间向量证明平行与垂直,考试要求 1.理解直线的方向向量及平面的法向量;2.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系;3.能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理;4.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题;5.能用向量方法解决点到平面、相互平行的平面的距离问题;6.并能描述解决夹角和距离的程序,体会向量方法在研究几何问题中的作用.,知 识 梳 理,1.直线的方向向量和平面的法向量,(1)直线的方向向量:如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l_,则称此向量a为直线l的方向向量. (2)平面的法向量:

2、直线l,取直线l的方向向量a,则向量a叫做平面的法向量.,平行或重合,2.空间位置关系的向量表示,n1n20,nm0,nm0,3.异面直线所成的角,设a,b分别是两异面直线l1,l2的方向向量,则,4.求直线与平面所成的角,|cosa,n|,5.求二面角的大小,(1)如图,AB,CD是二面角l的两个面内与棱l垂直的直线,则二面角的大小_.,(2)如图,n1,n2 分别是二面角l的两个半平面,的法向量,则二面角的大小满足|cos |_,二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角).,|cosn1,n2|,6.点到平面的距离,微点提醒,1.平面的法向量是非零向量且不唯一. 2.建立空间直角

3、坐标系要建立右手直角坐标系. 3.线面角的正弦值等于直线的方向向量a与平面的法向量n所成角的余弦值的绝对值,即sin |cosa,n|,不要误记为cos |cosa,n|. 4.二面角与法向量的夹角:利用平面的法向量求二面角的大小时,当求出两半平面,的法向量n1,n2时,要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向,来确定二面角与向量n1,n2的夹角是相等,还是互补.,基 础 自 测,1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”),(1)直线的方向向量是唯一确定的.( ) (2)若直线a的方向向量和平面的法向量平行,则a.( ) (3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角.( ),解析 (1)

4、直线的方向向量不是唯一的,有无数多个; (2)a;(3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角或其补角. 答案 (1) (2) (3) (4),2.(选修21P104练习2改编)已知平面,的法向量分别为n1(2,3,5),n2(3,1,4),则( )A. B.C.,相交但不垂直 D.以上均不对,解析 n1n2,且n1n2230,相交但不垂直. 答案 C,答案 A,4.(2019天津和平区月考)正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a,则平面AB1D1与平面BDC1的距离为( ),答案 D,5.(2018北京朝阳区检测)已知平面的一个法向量为(1,2,2),平面的一个法向量为(2,4,k)

5、,若,则k等于( )A.2 B.4 C.4 D.2,答案 C,6.(2019烟台月考)若直线l的方向向量为a(1,0,2),平面的法向量为n(2,0,4),则直线l与平面的位置关系为_.,答案 l,考点一 利用空间向量证明平行问题,证明 法一 如图,取BD的中点O,以O为原点,OD,OP所在射线分别为y,z轴的正半轴,建立空间直角坐标系Oxyz.,设点C的坐标为(x0,y0,0).,又PQ平面BCD,所以PQ平面BCD.,法二 在线段CD上取点F,使得DF3FC,连接OF,同法一建立空间直角坐标系,写出点A,B,C的坐标,设点C坐标为(x0,y0,0).,又PQ平面BCD,OF平面BCD, P

6、Q平面BCD.,规律方法 (1)恰当建立坐标系,准确表示各点与相关向量的坐标,是运用向量法证明平行和垂直的关键. (2)证明直线与平面平行,只须证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零,或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面,或证直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行,然后说明直线在平面外即可.这样就把几何的证明问题转化为向量运算.,【训练1】 如图所示,平面PAD平面ABCD,ABCD为正方形,PAD是直角三角形,且PAAD2,E,F,G分别是线段PA,PD,CD的中点.求证:PB平面EFG.,证明 平面PAD平面ABCD,且ABCD为正方形, AB,AP,AD两两垂直.

7、以A为坐标原点,建立如右图所示的空间直角坐标系Axyz,则A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),E(0,0,1),F(0,1,1),G(1,2,0).,设平面EFG的法向量为n(x,y,z),,令z1,则n(1,0,1)为平面EFG的一个法向量,,PB平面EFG,PB平面EFG.,PB平面EFG,PB平面EFG.,考点二 利用空间向量证明垂直问题 【例2】 如图所示,已知四棱锥PABCD的底面是直角梯形,ABCBCD90,ABBCPBPC2CD,侧面PBC底面ABCD.证明:,(1)PABD; (2)平面PAD平面PAB.,证明 (1)取BC

8、的中点O,连接PO, 平面PBC底面ABCD,PBC为等边三角形, PO底面ABCD. 以BC的中点O为坐标原点,以BC所在直线为x轴,过点O与AB平行的直线为y轴,OP所在直线为z轴,建立空间直角坐标系,如图所示.,又PAPBP,DM平面PAB.DM平面PAD,平面PAD平面PAB.,规律方法 (1)利用已知的线面垂直关系构建空间直角坐标系,准确写出相关点的坐标,从而将几何证明转化为向量运算.其中灵活建系是解题的关键. (2)用向量证明垂直的方法 线线垂直:证明两直线所在的方向向量互相垂直,即证它们的数量积为零. 线面垂直:证明直线的方向向量与平面的法向量共线,或将线面垂直的判定定理用向量表

9、示. 面面垂直:证明两个平面的法向量垂直,或将面面垂直的判定定理用向量表示.,【训练2】 如图所示,正三棱柱(底面为正三角形的直三棱柱)ABCA1B1C1的所有棱长都为2,D为CC1的中点.求证:AB1平面A1BD.,法二 如图所示,取BC的中点O,连接AO. 因为ABC为正三角形, 所以AOBC. 因为在正三棱柱ABCA1B1C1中,平面ABC平面BCC1B1, 所以AO平面BCC1B1.,故AB1平面A1BD.,考点三 用空间向量解决有关位置关系的探索性问题 多维探究 角度1 与平行有关的探索性问题,【例31】 如图,棱柱ABCDA1B1C1D1的所有棱长都等于2,ABC和A1AC均为60

10、,平面AA1C1C平面ABCD.(1)求证:BDAA1;(2)在直线CC1上是否存在点P,使BP平面DA1C1,若存在,求出点P的位置,若不存在,请说明理由.,(1)证明 设BD与AC交于点O,则BDAC,连接A1O,在AA1O中,AA12,AO1,A1AO60, A1O2AAAO22AA1AOcos 603, AO2A1O2AA, A1OAO. 由于平面AA1C1C平面ABCD,且平面AA1C1C平面ABCDAC,A1O平面AA1C1C,A1O平面ABCD.,(2)解 假设在直线CC1上存在点P,使BP平面DA1C1,,取n3(1,0,1),因为BP平面DA1C1,,即点P在C1C的延长线上

11、,且C1CCP.,角度2 与垂直有关的探索性问题 【例32】 如图,正方形ADEF所在平面和等腰梯形ABCD所在的平面互相垂直,已知BC4,ABAD2.,(1)证明 平面ADEF平面ABCD,平面ADEF平面ABCDAD,AFAD,AF平面ADEF, AF平面ABCD. AC平面ABCD,AFAC.,ABAFA,AC平面FAB, BF平面FAB,ACBF.,(2)解 存在.由(1)知,AF,AB,AC两两垂直.,假设在线段BE上存在一点P满足题意,则易知点P不与点B,E重合,,设平面PAC的法向量为m(x,y,z).,(1)证明 因为平面PAD平面ABCD,平面PAD平面ABCDAD,ABAD

12、, 所以AB平面PAD,所以ABPD. 又PAPD,ABPAA,所以PD平面PAB. (2)解 取AD的中点O,连接PO,CO. 因为PAPD,所以POAD. 因为PO平面PAD,平面PAD平面ABCD, 所以PO平面ABCD. 因为CO平面ABCD,所以POCO. 因为ACCD,所以COAD.,如图,建立空间直角坐标系Oxyz.由题意得,A(0,1,0),B(1,1,0),C(2,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1).,因为BM平面PCD,所以要使BM平面PCD,,所以在棱PA上存在点M,使得BM平面PCD,,思维升华 1.用向量法解决立体几何问题,是空间向量的一个具体应用,体现了向

13、量的工具性,这种方法可把复杂的推理证明、辅助线的作法转化为空间向量的运算,降低了空间想象演绎推理的难度,体现了由“形”转“数”的转化思想. 2.用向量知识证明立体几何问题有两种基本思路:一种是用向量表示几何量,利用向量的运算进行判断;另一种是用向量的坐标表示几何量,共分三步:(1)建立立体图形与空间向量的联系,用空间向量(或坐标)表示问题中所涉及的点、线、面,把立体几何问题转化为向量问题;(2)通过向量运算,研究点、线、面之间的位置关系;(3)根据运算结果的几何意义来解释相关问题.,3.用向量的坐标法证明几何问题,建立空间直角坐标系是关键,以下三种情况都容易建系:(1)有三条两两垂直的直线;(2)有线面垂直;(3)有两面垂直. 易错防范 1.用向量知识证明立体几何问题,仍然离不开立体几何中的定理.如要证明线面平行,只需要证明平面外的一条直线和平面内的一条直线平行,即化归为证明线线平行,用向量方法证明直线ab,只需证明向量ab(R)即可.若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行,仍需强调直线在平面外. 2.用向量证明立体几何问题,写准点的坐标是关键,要充分利用中点、向量共线、向量相等来确定点的坐标.,

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