1、第6节 空间向量的应用 第1课时 利用空间向量证明平行与垂直,考试要求 1.理解直线的方向向量及平面的法向量；2.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系；3.能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理；4.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题；5.能用向量方法解决点到平面、相互平行的平面的距离问题；6.并能描述解决夹角和距离的程序，体会向量方法在研究几何问题中的作用.,知 识 梳 理,1.直线的方向向量和平面的法向量,(1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l_，则称此向量a为直线l的方向向量. (2)平面的法向量：
2、直线l，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面的法向量.,平行或重合,2.空间位置关系的向量表示,n1n20,nm0,nm0,3.异面直线所成的角,设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则,4.求直线与平面所成的角,|cosa，n|,5.求二面角的大小,(1)如图，AB，CD是二面角l的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小_.,(2)如图，n1，n2 分别是二面角l的两个半平面，的法向量，则二面角的大小满足|cos |_，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角).,|cosn1，n2|,6.点到平面的距离,微点提醒,1.平面的法向量是非零向量且不唯一. 2.建立空间直角
3、坐标系要建立右手直角坐标系. 3.线面角的正弦值等于直线的方向向量a与平面的法向量n所成角的余弦值的绝对值，即sin |cosa，n|，不要误记为cos |cosa，n|. 4.二面角与法向量的夹角：利用平面的法向量求二面角的大小时，当求出两半平面，的法向量n1，n2时，要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，来确定二面角与向量n1，n2的夹角是相等，还是互补.,基 础 自 测,1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”),(1)直线的方向向量是唯一确定的.( ) (2)若直线a的方向向量和平面的法向量平行，则a.( ) (3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角.( ),解析 (1)
4、直线的方向向量不是唯一的，有无数多个； (2)a；(3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角或其补角. 答案 (1) (2) (3) (4),2.(选修21P104练习2改编)已知平面，的法向量分别为n1(2，3，5)，n2(3，1，4)，则( )A. B.C.，相交但不垂直 D.以上均不对,解析 n1n2，且n1n2230，相交但不垂直. 答案 C,答案 A,4.(2019天津和平区月考)正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，则平面AB1D1与平面BDC1的距离为( ),答案 D,5.(2018北京朝阳区检测)已知平面的一个法向量为(1，2，2)，平面的一个法向量为(2，4，k)
5、，若，则k等于( )A.2 B.4 C.4 D.2,答案 C,6.(2019烟台月考)若直线l的方向向量为a(1，0，2)，平面的法向量为n(2，0，4)，则直线l与平面的位置关系为_.,答案 l,考点一 利用空间向量证明平行问题,证明 法一 如图，取BD的中点O，以O为原点，OD，OP所在射线分别为y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系Oxyz.,设点C的坐标为(x0，y0，0).,又PQ平面BCD，所以PQ平面BCD.,法二 在线段CD上取点F，使得DF3FC，连接OF，同法一建立空间直角坐标系，写出点A，B，C的坐标，设点C坐标为(x0，y0，0).,又PQ平面BCD，OF平面BCD， P
6、Q平面BCD.,规律方法 (1)恰当建立坐标系，准确表示各点与相关向量的坐标，是运用向量法证明平行和垂直的关键. (2)证明直线与平面平行，只须证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，或证直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行，然后说明直线在平面外即可.这样就把几何的证明问题转化为向量运算.,【训练1】 如图所示，平面PAD平面ABCD，ABCD为正方形，PAD是直角三角形，且PAAD2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点.求证：PB平面EFG.,证明 平面PAD平面ABCD，且ABCD为正方形， AB，AP，AD两两垂直.
7、以A为坐标原点，建立如右图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，E(0，0，1)，F(0，1，1)，G(1，2，0).,设平面EFG的法向量为n(x，y，z)，,令z1，则n(1，0，1)为平面EFG的一个法向量，,PB平面EFG，PB平面EFG.,PB平面EFG，PB平面EFG.,考点二 利用空间向量证明垂直问题 【例2】 如图所示，已知四棱锥PABCD的底面是直角梯形，ABCBCD90，ABBCPBPC2CD，侧面PBC底面ABCD.证明：,(1)PABD； (2)平面PAD平面PAB.,证明 (1)取BC
8、的中点O，连接PO， 平面PBC底面ABCD，PBC为等边三角形， PO底面ABCD. 以BC的中点O为坐标原点，以BC所在直线为x轴，过点O与AB平行的直线为y轴，OP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示.,又PAPBP，DM平面PAB.DM平面PAD，平面PAD平面PAB.,规律方法 (1)利用已知的线面垂直关系构建空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算.其中灵活建系是解题的关键. (2)用向量证明垂直的方法 线线垂直：证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零. 线面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表
9、示. 面面垂直：证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示.,【训练2】 如图所示，正三棱柱(底面为正三角形的直三棱柱)ABCA1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点.求证：AB1平面A1BD.,法二 如图所示，取BC的中点O，连接AO. 因为ABC为正三角形， 所以AOBC. 因为在正三棱柱ABCA1B1C1中，平面ABC平面BCC1B1， 所以AO平面BCC1B1.,故AB1平面A1BD.,考点三 用空间向量解决有关位置关系的探索性问题 多维探究 角度1 与平行有关的探索性问题,【例31】 如图，棱柱ABCDA1B1C1D1的所有棱长都等于2，ABC和A1AC均为60
10、，平面AA1C1C平面ABCD.(1)求证：BDAA1；(2)在直线CC1上是否存在点P，使BP平面DA1C1，若存在，求出点P的位置，若不存在，请说明理由.,(1)证明 设BD与AC交于点O，则BDAC，连接A1O，在AA1O中，AA12，AO1，A1AO60， A1O2AAAO22AA1AOcos 603， AO2A1O2AA， A1OAO. 由于平面AA1C1C平面ABCD，且平面AA1C1C平面ABCDAC，A1O平面AA1C1C，A1O平面ABCD.,(2)解 假设在直线CC1上存在点P，使BP平面DA1C1，,取n3(1，0，1)，因为BP平面DA1C1，,即点P在C1C的延长线上
11、，且C1CCP.,角度2 与垂直有关的探索性问题 【例32】 如图，正方形ADEF所在平面和等腰梯形ABCD所在的平面互相垂直，已知BC4，ABAD2.,(1)证明 平面ADEF平面ABCD，平面ADEF平面ABCDAD，AFAD，AF平面ADEF， AF平面ABCD. AC平面ABCD，AFAC.,ABAFA，AC平面FAB， BF平面FAB，ACBF.,(2)解 存在.由(1)知，AF，AB，AC两两垂直.,假设在线段BE上存在一点P满足题意，则易知点P不与点B，E重合，,设平面PAC的法向量为m(x，y，z).,(1)证明 因为平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，ABAD
12、， 所以AB平面PAD，所以ABPD. 又PAPD，ABPAA，所以PD平面PAB. (2)解 取AD的中点O，连接PO，CO. 因为PAPD，所以POAD. 因为PO平面PAD，平面PAD平面ABCD， 所以PO平面ABCD. 因为CO平面ABCD，所以POCO. 因为ACCD，所以COAD.,如图，建立空间直角坐标系Oxyz.由题意得，A(0，1，0)，B(1，1，0)，C(2，0，0)，D(0，1，0)，P(0，0，1).,因为BM平面PCD，所以要使BM平面PCD，,所以在棱PA上存在点M，使得BM平面PCD，,思维升华 1.用向量法解决立体几何问题，是空间向量的一个具体应用，体现了向
13、量的工具性，这种方法可把复杂的推理证明、辅助线的作法转化为空间向量的运算，降低了空间想象演绎推理的难度，体现了由“形”转“数”的转化思想. 2.用向量知识证明立体几何问题有两种基本思路：一种是用向量表示几何量，利用向量的运算进行判断；另一种是用向量的坐标表示几何量，共分三步：(1)建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量(或坐标)表示问题中所涉及的点、线、面，把立体几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究点、线、面之间的位置关系；(3)根据运算结果的几何意义来解释相关问题.,3.用向量的坐标法证明几何问题，建立空间直角坐标系是关键，以下三种情况都容易建系：(1)有三条两两垂直的直线；(2)有线面垂直；(3)有两面垂直. 易错防范 1.用向量知识证明立体几何问题，仍然离不开立体几何中的定理.如要证明线面平行，只需要证明平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，即化归为证明线线平行，用向量方法证明直线ab，只需证明向量ab(R)即可.若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行，仍需强调直线在平面外. 2.用向量证明立体几何问题，写准点的坐标是关键，要充分利用中点、向量共线、向量相等来确定点的坐标.,
