1、第3节 等比数列及其前n项和,考试要求 1.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式；2.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题；3.体会等比数列与指数函数的关系.,知 识 梳 理,1.等比数列的概念,同一个,q,等比中项,2.等比数列的通项公式及前n项和公式,a1qn1,3.等比数列的性质,已知an是等比数列，Sn是数列an的前n项和. (1)若klmn(k，l，m，nN*)，则有akal_. (2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，akm，ak2m，仍是等比数列，公比为_. (3)当q1，或q1且n为奇数时，Sn，S2nSn，S3n
2、S2n，仍成等比数列，其公比为_.,aman,qm,qn,微点提醒,2.由an1qan，q0，并不能立即断言an为等比数列，还要验证a10. 3.在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q1与q1分类讨论，防止因忽略q1这一特殊情形而导致解题失误.,基 础 自 测,1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”),解析 (1)在等比数列中，q0. (2)若a0，b0，c0满足b2ac，但a，b，c不成等比数列. (3)当a1时，Snna. (4)若a11，q1，则S40，S8S40，S12S80，不成等比数列. 答案 (1) (2) (3) (4),答案 D,3.(必修5P54A8改编)在9与2
3、43中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为_.解析 设该数列的公比为q，由题意知，2439q3，q327，q3.插入的两个数分别为9327，27381.答案 27，81,4.(2019天津和平区质检)已知等比数列an满足a11，a3a54(a41)，则a7的值为( ),答案 B,答案 D,6.(2015全国卷)在数列an中，a12，an12an，Sn为an的前n项和.若Sn126，则n_.,答案 6,考点一 等比数列基本量的运算,【例1】 (1)(2017全国卷)设等比数列an满足a1a21，a1a33，则a4_.,解析 (1)由an为等比数列，设公比为q.,显然q1，a10
4、，,所以a4a1q31(2)38.,(2)设数列an首项为a1，公比为q(q1)，,答案 (1)8 (2)32,【训练1】 (1)等比数列an中各项均为正数，Sn是其前n项和，且满足2S38a13a2，a416，则S4( ),解析 (1)设数列an的公比为q(q0)，,答案 (1)D (2)1,考点二 等比数列的判定与证明 【例2】 已知数列an的前n项和Sn1an，其中0.,由Sn1an，Sn11an1，得an1an1an，即an1(1)an，,解得1.,规律方法 1.证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在
5、连续三项不成等比数列即可. 2.在利用递推关系判定等比数列时，要注意对n1的情形进行验证.,【训练2】 (2019广东省级名校联考)已知Sn是数列an的前n项和，且满足Sn2ann4.(1)证明：Snn2为等比数列；(2)求数列Sn的前n项和Tn.,(1)证明 因为anSnSn1(n2)， 所以Sn2(SnSn1)n4(n2)， 则Sn2Sn1n4(n2)， 所以Snn22Sn1(n1)2(n2)， 又由题意知a12a13， 所以a13，则S1124， 所以Snn2是首项为4，公比为2等比数列.,(2)解 由(1)知Snn22n1， 所以Sn2n1n2， 于是Tn(22232n1)(12n)2
6、n,考点三 等比数列的性质及应用 【例3】 (1)等比数列an的各项均为正数，且a5a6a4a718，则log3a1log3a2log3a10( )A.12 B.10 C.8 D.2log35(2)已知数列an是等比数列，Sn为其前n项和，若a1a2a34，a4a5a68，则S12( )A.40 B.60 C.32 D.50,解析 (1)由等比数列的性质知a5a6a4a7，又a5a6a4a718，所以a5a69，则原式log3(a1a2a10)log3(a5a6)510. (2)数列S3，S6S3，S9S6，S12S9是等比数列，即数列4，8，S9S6，S12S9是首项为4，公比为2的等比数列
7、，则S9S6a7a8a916，S12S9a10a11a1232，因此S1248163260. 答案 (1)B (2)B,规律方法 1.在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若mnpq，则amanapaq”，可以减少运算量，提高解题速度. 2.在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形.此外，解题时注意设而不求思想的运用.,【训练3】 (1)(2019菏泽质检)在等比数列an中，若a3，a7是方程x24x20的两根，则a5的值是( ),解析 (1)根据根与系数之间的关系得a3a74， a3a72，由a3a740， 所以a30，a70，即a
8、50，,(2)法一 由等比数列的性质S3，S6S3，S9S6仍成等比数列，由已知得S63S3，,思维升华 1.等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解. 2.(1)方程思想：如求等比数列中的基本量.(2)分类讨论思想：如求和时要分q1和q1两种情况讨论，判断单调性时对a1与q分类讨论. 易错防范 1.特别注意q1时，Snna1这一特殊情况. 2.Sn，S2nSn，S3nS2n未必成等比数列(例如：当公比q1且n为偶数时，Sn，S2nSn，S3nS2n不成等比数列；当q1或q1时且n为奇数时，Sn，
9、S2nSn，S3nS2n成等比数列)，但等式(S2nSn)2Sn(S3nS2n)总成立.,数学运算等差(比)数列性质的应用,1.数学运算是指在明析运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养.本系列数学运算主要表现为：理解数列问题，掌握数列运算法则，探究运算思路，求得运算结果.通过对数列性质的学习，发展数学运算能力，促进数学思维发展. 2.数学抽象是指能够在熟悉的情境中直接抽象出数学概念和规则，能够在特例的基础上归纳形成简单的数学命题，能够在解决相似的问题中感悟数学的通性通法，体会其中的数学思想.,类型1 等差数列两个性质的应用,在等差数列an中，Sn为an的前n项和： (1)S2n1(2
10、n1)an； (2)设an的项数为2n，公差为d，则S偶S奇nd.,显然可得am0，所以am2. 代入上式可得2m119，解得m10. (2)设等差数列的前12项中奇数项和为S奇，偶数项的和为S偶，等差数列的公差为d.,答案 (1)10 (2)5,类型2 等比数列两个性质的应用,在等比数列an中，(1)若mnpq(m，n，p，qN*)，则anamapaq；(2)当公比q1时，Sn，S2nSn，S3nS2n，成等比数列(nN*).,【例2】 (1)等比数列an中，a42，a55，则数列lg an的前8项和等于( )A.6 B.5 C.4 D.3(2)设等比数列an中，前n项和为Sn，已知S38，S67，则a7a8a9等于( ),解析 (1)数列lg an的前8项和S8lg a1lg a2lg a8lg(a1a2a8)lg(a1a8)4lg(a4a5)4lg(25)44.,答案 (1)C (2)A,类型3 等比数列前n项和Sn相关结论的活用,(1)项的个数的“奇偶”性质：等比数列an中，公比为q. 若共有2n项，则S偶S奇q. (2)分段求和：SnmSnqnSm(q为公比).,(2)设等比数列an的公比q，易知S30. 则S6S3S3q39S3，所以q38，q2.,
