1、1专题突破练(5) 立体几何的综合问题一、选择题1已知直线 a平面 ，直线 b平面 ，则“ a b”是“ ”的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分又不必要条件答案 D解析 “ a b”不能得出“ ”，反之由“ ”也得不出“ a b”故选 D2如图，三棱柱 ABC A1B1C1中， AA1平面 ABC， A1A AB2， BC1， AC ，若规5定正视方向垂直平面 ACC1A1，则此三棱柱的侧视图的面积为( )A B2455 5C4 D2答案 A解析 在 ABC 中， AC2 AB2 BC25， AB BC作 BD AC 于 D，则 BD 为侧视图的宽，且 BD ， 侧
2、视图的面积为 S2 故选 A215 255 255 4553平行六面体 ABCD A1B1C1D1中，既与 AB 共面也与 CC1共面的棱的条数为( )A3 B4 C5 D6答案 C解析 如图，既与 AB 共面也与 CC1共面的棱有 CD， BC， BB1， AA1， C1D1，共 5 条故选 C4在四边形 ABCD 中， AB AD CD1， BD ， BD CD将四边形 ABCD 沿对角线 BD2折成四面体 A BCD，使平面 A BD平面 BCD，则下列结论正确的是( )2A A C BDB BA C90C CA与平面 A BD 所成的角为 30D四面体 A BCD 的体积为13答案 B
3、解析 AB AD1， BD ， AB AD A B A D平面 A BD平面2BCD， CD BD， CD平面 A BD， CD A B， A B平面 A CD， A B A C，即 BA C90故选 B5(2018河南豫东、豫北十校测试)鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分(即榫卯结构)啮合，十分巧妙，原为木质结构，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称从外表上看，六根等长的正四棱柱体分成三组，经 90 度榫卯起来，若正四棱柱体的高为 4，底面正方形的边长为 1，则该鲁班锁的表面积为 ( )A48 B60 C72
4、D84答案 B解析 复杂的图形表面积可以用三视图投影的方法计算求得；如图所示：投影面积为 421210，共有 6 个投影面积，所以该几何体的表面积为10660故选 B36如图所示，已知在多面体 ABC DEFG 中， AB， AC， AD 两两垂直，平面 ABC平面DEFG，平面 BEF平面 ADGC， AB AD DG2， AC EF1，则该多面体的体积为( )A2 B4 C6 D8答案 B解析 如图所示，将多面体补成棱长为 2 的正方体，那么显然所求的多面体的体积即为该正方体体积的一半，于是所求几何体的体积为 V 234故选 B127(2018湖北黄冈中学二模)一个几何体的三视图如图所示，
5、其中正视图是边长为 2的等边三角形，俯视图是半圆(如图)现有一只蚂蚁从点 A 出发沿该几何体的侧面环绕一周回到 A 点，则蚂蚁所经过路程的最小值为( )A B 6 2C D26 2答案 B解析 由三视图可知，该几何体是半圆锥，其展开图如图所示，则依题意，点 A， M 的最短距离，即为线段 AM PA PB2，半圆锥的底面半圆的弧长为 ，展开图中的4 BPM ， APB ， APM ，在 APM 中，根据余弦定理有，PB 2 3 56MA22 22 2222cos 84 ( )2， MA ，即蚂蚁所经过路程的56 3 6 2 6 2最小值为 ，故选 B6 28已知圆锥的底面半径为 R，高为 3R
6、，在它的所有内接圆柱中，表面积的最大值是( )A22 R2 B R294C R2 D R283 52答案 B解析 如图所示，为组合体的轴截面，记 BO1的长度为 x，由相似三角形的比例关系，得 ，则 PO13 x，圆柱的高为 3R3 x，所以圆柱的表面积为PO13R xRS2 x22 x(3R3 x)4 x26 Rx，则当 x R 时， S 取最大值，34Smax R2故选 B949如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1中，点 E 为正方形 ABCD 的两条对角线的交点，点F 是棱 AB 的中点，则异面直线 AC1与 EF 所成角的正切值为( )A B222C D22 2答案 D解析 在正
7、方体 ABCD A1B1C1D1中，依题意知， EF AD，所以异面直线 AC1与 EF 所成角为 C1AD连接 C1D，因为 AD平面 C1CDD1，所以 AD DC1，设正方体的棱长为 1，则5tan C1AD ，所以异面直线 AC1与 EF 所成角的正切值为 故选 DC1DAD 21 2 210(2018河北唐山第一次摸底)在长方体 ABCD A1B1C1D1中， AB BC2 AA1，则异面直线 A1B 与 B1C 所成角的余弦值为( )A B C D105 15 55 155答案 B解析 在长方体 ABCD A1B1C1D1中，连接 A1D，可得 A1D B1C，所以异面直线 A1B
8、 与B1C 所成的角即为直线 A1B 与直线 A1D 所成的角，即 DA1B 为异面直线 A1B 与 B1C 所成的角，在长方体 ABCD A1B1C1D1中，设 AB BC2 AA12，则 A1B A1D ， BD2 ，在 A1BD5 2中，由余弦定理得 cos DA1B 故选 BA1B2 A1D2 BD22A1BA1D 5 5 8255 1511在正方体 ABCD A1B1C1D1中， P 为正方形 A1B1C1D1四边上的动点， O 为底面正方形ABCD 的中心， M， N 分别为 AB， BC 边的中点，点 Q 为平面 ABCD 内一点，线段 D1Q 与 OP 互相平分，则满足 的实数
9、 的值有( )MQ MN A0 个 B1 个 C2 个 D3 个答案 C解析 本题可以转化为在 MN 上找点 Q 使 OQ 綊 PD1，可知只有 Q 点与 M， N 重合时满足条件故选 C12(2019四川第一次诊断)如图，在 Rt ABC 中， ACB90， AC1， BC x(x0)，D 是斜边 AB 的中点，将 BCD 沿直线 CD 翻折，若在翻折过程中存在某个位置，使得CB AD，则 x 的取值范围是( )A ，2 B ，2 22 3 3C(0，2) D(0， 36答案 D解析 由题意得， AD CD BD ， BC x，取 BC 中点 E，翻折前，在图 1 中，x2 12连接 DE，
10、 CD，则 DE AC ，12 12翻折后，在图 2 中，此时 CB AD BC DE， BC AD， BC平面 ADE， BC AE，又 E 为 BC 中点， AB AC1， AE ， AD ，在 ADE 中： 1 14x2 x2 12 x2 12 12， 5(舍去)，当203x(0，2)时， V0，即在(0，2)上， V(x)是增函数；当 x(2，5)， V0，即在(2，5)上， V(x)是减函数，所以当 x2 时， V(x)有最大值为 144三、解答题17(2018广东华南师大附中测试二)如图， AB 为圆 O 的直径，点 E， F 在圆 O 上，AB EF，矩形 ABCD 所在平面和圆
11、 O 所在的平面互相垂直，已知 AB2， EF1(1)求证：平面 DAF平面 CBF；(2)设几何体 F ABCD， F BCE 的体积分别为 V1， V2，求 V1 V2的值解 (1)证明：如图，在矩形 ABCD 中， CB AB，平面 ABCD平面 ABEF，平面 ABCD平面 ABEF AB， CB平面 ABEF， AF平面 ABEF， AF CB，9又 AB 为圆 O 的直径， AF BF， CB BF B， CB， BF平面 CBF， AF平面 CBF， AF平面 DAF，平面 DAF平面 CBF(2)几何体 F ABCD 是四棱锥， F BCE 是三棱锥，过点 F 作 FH AB，
12、交 AB 于 H平面 ABCD平面 ABEF， FH平面 ABCD则 V1 ABBCFH，13V2 EFFHBC， 413 12 V1V2 2ABEF 22118(2018厦门开学考试)如图，直三棱柱 ABC A B C中，AC BC5， AA AB6， D， E 分别为 AB 和 BB上的点，且 ADDB BEEB(1)当 D 为 AB 中点时，求证： A B CE；(2)当 D 在 AB 上运动时，求三棱锥 A CDE 体积的最小值解 (1)证明：三棱柱 ABC A B C为直三棱柱， AA AB，平行四边形 ABB A为正方形， D 为 AB 的中点，故 E 为 B B 的中点， DE
13、A B AC BC， D 为 AB 的中点， CD AB三棱柱 ABC A B C为直三棱柱， CD平面 ABB A，又 A B平面 ABB A， CD A B又 CD DE D， A B平面 CDE， CE平面 CDE， A B CE(2)设 BE x，则 AD x， DB6 x， B E6 x10由已知可得点 C 到平面 A DE 的距离等于 ABC 的边 AB 上的高 h 4，AC2 AB22 V 三棱锥 A CDE V 三棱锥 C A DE (S 正方形 ABB A S AA D S DBE S A B E)h13 363 x (6 x)x3(6 x)h13 12 (x26 x36)2
14、3 (x3) 227，23当 x3，即 D 为 AB 的中点时，三棱锥 A CDE 的体积有最小值 1819(2018厦门质检一)如图，平面 ACEF平面 ABCD，四边形 ABCD 是菱形， ABC60， AF CE， AF AC， AB AF2， CE1(1)求四棱锥 B ACEF 的体积；(2)在 BF 上有一点 P，使得 AP DE，求 的值BPPF解 (1)四边形 ABCD 是菱形， BD AC，又平面 ACEF平面 ABCD平面 ACEF平面 ABCD AC， BD平面 ABCD， BD平面 ACEF在 ABC 中， ABC60，AB AC2，11设 BD AC O，则可得 AC2
15、， BO ，3在梯形 ACEF 中， AF CE， AF AC， AC AF2，CE1，梯形 ACEF 的面积 S (12)23，12四棱锥 B ACEF 的体积为V SBO 3 13 13 3 3(2)在平面 ABF 内作 BM AF，且 BM1，连接 AM 交 BF 于 P，则点 P 满足 AP DE，证明如下： AF CE， CE1， BM CE，且 BM CE，四边形 BMEC 是平行四边形， BC ME， BC ME，又在菱形 ABCD 中， BC AD， BC AD， ME AD， ME AD，四边形 ADEM 是平行四边形， AM DE，即 AP DE， BM AF， BPM F
16、PA，又 BM1， BPFP BMFA 1220(2018河南考前适应测试)如图所示，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 为直角梯形， AB CD， BAD90， DC DA2 AB2 ，点 E 为 AD 的中点， BD CE H， PH平面5ABCD，且 PH4(1)求证： PC BD；(2)线段 PC 上是否存在一点 F，使三棱锥 P BFD 的体积为 5 ？若存在，请找出点 F2的位置；若不存在，请说明理由解 (1)证明： AB CD， BAD90，12 EDC BAD90 DC DA2 AB， E 为 AD 的中点， AB ED BAD EDC DBA DEH DBA ADB9
17、0， DEH ADB90 BD EC又 PH平面 ABCD， BD平面 ABCD， BD PH又 PH EC H，且 PH， EC平面 PEC， BD平面 PEC又 PC平面 PEC， PC BD(2)假设线段 PC 上存在一点 F 满足题意，由(1)可知， DHE DAB， ，DHDA EHBA DEDB BD EC 5， AB DE ，252 52 5 EH1， HC4， DH2， HB3 PH， EC， BD 两两垂直，且 PH HC4， HPC45 BD平面 PEC， V 三棱锥 P BFD V 三棱锥 B PHF V 三棱锥 D PHF S PHFBD PHPFsin45513 13 12 PF5 ，523 2 PF3 PC4 3，213线段 PC 上存在满足条件的点 F，点 F 的位置满足 PF3
