1、1考点测试 50 抛物线高考概览本考点是高考必考知识点，常考题型为选择题、填空题、解答题，分值为 5 分或 12 分，中、高等难度考纲研读1掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)2理解数形结合的思想3了解抛物线的实际背景及抛物线的简单应用一、基础小题1抛物线 y x2的准线方程是( )14A y1 B y2 C x1 D x2答案 A解析 依题意，抛物线 x24 y 的准线方程是 y1，故选 A2设抛物线 y28 x 上一点 P 到 y 轴的距离是 4，则点 P 到该抛物线准线的距离为( )A4 B6 C8 D12答案 B解析 依题意得，抛物线 y28
2、 x 的准线方程是 x2，因此点 P 到该抛物线准线的距离为 426，故选 B3到定点 A(2，0)与定直线 l： x2 的距离相等的点的轨迹方程为( )A y28 x B y28 xC x28 y D x28 y答案 A解析 由抛物线的定义可知该轨迹为抛物线且 p4，焦点在 x 轴正半轴上，故选 A4若抛物线 y22 px(p0)上的点 A(x0， )到其焦点的距离是 A 到 y 轴距离的 3 倍，2则 p 等于( )A B1 C D212 32答案 D解析 由题意 3x0 x0 ， x0 ，则 2， p0， p2，故选 Dp2 p4 p2225过抛物线 y24 x 的焦点作直线交抛物线于
3、A(x1， y1)， B(x2， y2)两点，若x1 x26，则| AB|等于( )A4 B6 C8 D10答案 C解析 由抛物线 y24 x 得 p2，由抛物线定义可得| AB| x11 x21 x1 x22，又因为 x1 x26，所以| AB|8，故选 C6若抛物线 y4 x2上一点到直线 y4 x5 的距离最短，则该点为( )A(1，2) B(0，0) C，1 D(1，4)12答案 C解析 解法一：根据题意，直线 y4 x5 必然与抛物线 y4 x2相离，抛物线上到直线的最短距离的点就是与直线 y4 x5 平行的抛物线的切线的切点由 y8 x4 得x ，故抛物线的斜率为 4 的切线的切点
4、坐标是 ，1，该点到直线 y4 x5 的距离最12 12短故选 C解法二：抛物线上的点( x， y)到直线 y4 x5 的距离是 d |4x y 5|17 ，显然当 x 时， d 取得最小值，此时 y1故选 C|4x 4x2 5|17 4x 122 417 127已知动圆过点(1，0)，且与直线 x1 相切，则动圆的圆心的轨迹方程为_答案 y24 x解析 设动圆的圆心坐标为( x， y)，则圆心到点(1，0)的距离与其到直线 x1 的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为 y24 x8已知抛物线 y24 x 的焦点为 F，准线与 x 轴的交点为 M， N 为抛物线上的一点，且满足
5、| NF| |MN|，则 NMF_32答案 6解析 过 N 作准线的垂线，垂足是 P，则有|PN| NF|，| PN| |MN|， NMF MNP又 cos MNP ， MNP ，即32 32 6 NMF 6二、高考小题39(2018全国卷)设抛物线 C： y24 x 的焦点为 F，过点(2，0)且斜率为 的直23线与 C 交于 M， N 两点，则 ( )FM FN A5 B6 C7 D8答案 D解析 根据题意，过点(2，0)且斜率为 的直线方程为 y (x2)，与抛物线方程23 23联立Error! 消去 x 并整理，得 y26 y80，解得 M(1， 2)， N(4，4)，又 F(1，0)
6、，所以(0，2)， (3，4)，从而可以求得 03248，故选 DFM FN FM FN 10(2017全国卷)已知 F 为抛物线 C： y24 x 的焦点，过 F 作两条互相垂直的直线 l1， l2，直线 l1与 C 交于 A， B 两点，直线 l2与 C 交于 D， E 两点，则| AB| DE|的最小值为( )A16 B14 C12 D10答案 A解析 因为 F 为 y24 x 的焦点，所以 F(1，0)由题意直线 l1， l2的斜率均存在，且不为 0，设 l1的斜率为 k，则 l2的斜率为 ，1k故直线 l1， l2的方程分别为 y k(x1)，y (x1)1k由Error! 得 k2
7、x2(2 k24) x k20设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 x1 x2 ， x1x21，2k2 4k2所以| AB| |x1 x2|1 k2 1 k2 x1 x22 4x1x2 1 k22k2 4k2 2 4 41 k2k2同理可得| DE|4(1 k2)4所以| AB| DE| 4(1 k2)4 11 k2 84 k2 84216，41 k2k2 1k2 1k2当且仅当 k2 ，即 k1 时，取得等号故选 A1k211(2018全国卷)已知点 M(1，1)和抛物线 C： y24 x，过 C 的焦点且斜率为 k的直线与 C 交于 A， B 两点若 AMB90，则 k_答案
8、2解析 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则Error!所以 y y 4 x14 x2，21 2所以 k y1 y2x1 x2 4y1 y2取 AB 的中点 M( x0， y0)，分别过点 A， B 作准线 x1 的垂线，垂足分别为A， B因为 AMB90，所以| MM| |AB| (|AF| BF|) (|AA| BB|)12 12 12因为 M为 AB 的中点，所以 MM平行于 x 轴因为 M(1，1)，所以 y01，则 y1 y22，所以 k212(2018北京高考)已知直线 l 过点(1，0)且垂直于 x 轴若 l 被抛物线 y24 ax截得的线段长为 4，则抛物线的焦点坐
9、标为_答案 (1，0)解析 由题意得 a0，设直线 l 与抛物线的两交点分别为 A， B，不妨令 A 在 B 的上方，则 A(1，2 )， B(1，2 )，故| AB|4 4，得 a1 ，故抛物线方程为 y24 x，其焦a a a点坐标为(1，0)13(2017天津高考)设抛物线 y24 x 的焦点为 F，准线为 l已知点 C 在 l 上，以C 为圆心的圆与 y 轴的正半轴相切于点 A若 FAC120，则圆的方程为_答案 ( x1) 2( y )213解析 由 y24 x 可得点 F 的坐标为(1，0)，准线 l 的方程为 x15由圆心 C 在 l 上，且圆 C 与 y 轴正半轴相切(如图)，
10、可得点 C 的横坐标为1，圆的半径为 1， CAO90又因为 FAC120，所以 OAF30，所以| OA| ，所以点 C 的纵坐标为 3 3所以圆的方程为( x1) 2( y )213三、模拟小题14(2018沈阳监测)抛物线 y4 ax2(a0)的焦点坐标是( )A(0， a) B( a，0) C D(0，116a) (116a， 0)答案 C解析 将 y4 ax2(a0)化为标准方程得 x2 y(a0)，所以焦点坐标为 ，14a (0， 116a)故选 C15(2018太原三模)已知抛物线 y24 x 的焦点为 F，准线为 l， P 是 l 上一点，直线 PF 与抛物线交于 M， N 两
11、点，若 3 ，则| MN|( )PF MF A B8 C16 D163 833答案 A解析 由题意 F(1，0)，设直线 PF 的方程为 y k(x1)， M(x1， y1)， N(x2， y2)因为准线方程为 x1，所以得 P(1，2 k)所以 (2，2 k)， (1 x1， y1)，因PF MF 为 3 ，所以 23(1 x1)，解得 x1 把 y k(x1)代入 y24 x，得 k2x2(2 k24)PF MF 13x k20，所以 x1x21，所以 x23，从而得| MN| MF| NF|( x11)( x21) x1 x22 故选 A16316(2018豫南九校联考)已知点 P 是抛
12、物线 x24 y 上的动点，点 P 在 x 轴上的射影是点 Q，点 A 的坐标是(8，7)，则| PA| PQ|的最小值为( )A7 B8 C9 D10答案 C解析 延长 PQ 与准线交于 M 点，抛物线的焦点为 F(0，1)，准线方程为 y1，根据抛物线的定义知，6|PF| PM| PQ|1| PA| PQ| PA| PM|1| PA| PF|1| AF|111019当且仅当 A， P， F 三点共线时，等号成立，则 |PA| PQ|的82 7 12最小值为 9故选 C17(2018青岛质检)已知点 A 是抛物线 C： x22 py(p0)的对称轴与准线的交点，过点 A 作抛物线 C 的两条
13、切线，切点分别为 P， Q，若 APQ 的面积为 4，则实数 p 的值为( )A B1 C D212 32答案 D解析 解法一：设过点 A 且与抛物线 C 相切的直线为 y kx 由Error!得p2x22 pkx p20由 4 p2k24 p20，得 k1，所以得点 P p，p2Qp，所以 APQ 的面积为 S 2pp4，解得 p2故选 Dp2 12解法二：如图，设点 P(x1， y1)，Q(x2， y2)由题意得点 A0， y x2，求导得 y x，所以切线 PA 的方程为p2 12p 1py y1 x1(x x1)，即 y x1x x ，切线 PB 的方程为 y y2 x2(x x2)，
14、即1p 1p 12p21 1py x2x x ，代入 A0， ，得点 P p， Qp，所以 APQ 的面积为1p 12p2 p2 p2 p2S 2pp4，解得 p2故选 D1218(2018沈阳质检一)已知抛物线 y24 x 的一条弦 AB 恰好以 P(1，1)为中点，则弦 AB 所在直线的方程是_答案 2 x y10解析 设点 A(x1， y1)， B(x2， y2)，由 A， B 都在抛物线上，可得Error!作差得( y1 y2)(y1 y2)4( x1 x2)因为 AB 中点为 P(1，1)，所以 y1 y22，则有 2 4，所y1 y2x1 x2以 kAB 2，从而直线 AB 的方程
15、为 y12( x1)，即 2x y10y1 y2x1 x27一、高考大题1(2018全国卷)设抛物线 C： y22 x，点 A(2，0)， B(2，0)，过点 A 的直线 l与 C 交于 M， N 两点(1)当 l 与 x 轴垂直时，求直线 BM 的方程；(2)证明： ABM ABN解 (1)当 l 与 x 轴垂直时， l 的方程为 x2，可得 M 的坐标为(2，2)或(2，2)所以直线 BM 的方程为 y x1 或 y x112 12(2)证明：当 l 与 x 轴垂直时， AB 为线段 MN 的垂直平分线，所以 ABM ABN当直线 l 与 x 轴不垂直时，设直线 l 的方程为 y k(x2
16、)( k0)， M(x1， y1)，N(x2， y2)，则 x10， x20由Error! 得 ky22 y4 k0，可知 y1 y2 ， y1y24 2k直线 BM， BN 的斜率之和为kBM kBN y1x1 2 y2x2 2 x2y1 x1y2 2y1 y2x1 2x2 2将 x1 2， x2 2 及 y1 y2， y1y2的表达式代入式分子，可得y1k y2kx2y1 x1y22( y1 y2)2y1y2 4ky1 y2k 0所以 kBM kBN0，可知 BM， BN 的倾斜角互补，所以 ABM ABN 8 8k综上， ABM ABN2(2018浙江高考)如图，已知点 P 是 y 轴左
17、侧(不含 y 轴)一点，抛物线 C： y24 x上存在不同的两点 A， B 满足 PA， PB 的中点均在 C 上(1)设 AB 中点为 M，证明： PM 垂直于 y 轴；(2)若 P 是半椭圆 x2 1( x0，解得 kb0)，x2a2 y2b2把点(2，0)， ， 代入可得 a24， b21，222所以椭圆 C1的标准方程为 y21x24(2)由抛物线的标准方程可得 C2的焦点 F(1，0)，11当直线 l 的斜率不存在时，直线 l 的方程为 x1直线 l 交椭圆 C1于点 M1， ， N1， ，32 32 0，不满足题意OM ON 当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 y k(
18、x1)，并设点 M(x1， y1)，N(x2， y2)由Error! 消去 y，得(14 k2)x28 k2x4( k21)0，于是 x1 x2 ，8k21 4k2x1x2 ， 4k2 11 4k2则 y1y2 k(x11) k(x21) k2x1x2( x1 x2)1 k2 14k2 11 4k2 8k21 4k2 3k21 4k2由 得 x1x2 y1y20 OM ON 将代入式，得 0，4k2 11 4k2 3k21 4k2 k2 41 4k2解得 k2，所以存在直线 l 满足条件，且 l 的方程为 2x y20 或2x y206(2018石家庄质检二)已知圆 C：( x a)2( y
19、b)2 的圆心 C 在抛物线94x22 py(p0)上，圆 C 过原点且与抛物线的准线相切(1)求该抛物线的方程；(2)过抛物线焦点 F 的直线 l 交抛物线于 A， B 两点，分别在 A， B 处作抛物线的两条切线交于点 P，求 PAB 面积的最小值及此时直线 l 的方程解 (1)由已知可得圆心 C(a， b)，半径 r ，焦点 F0，准线 y ，因为圆 C 与32 p2 p2抛物线 F 的准线相切，所以 b 32 p2又因为圆 C 过原点，且圆 C 过焦点 F，所以圆心 C 必在线段 OF 的垂直平分线上，即b ，所以 ，解得 p2，p4 32 p2 p4所以抛物线的方程为 x24 y(2
20、)易得焦点 F(0，1)，直线 l 的斜率必存在，设为 k，即直线 l 的方程为 y kx1，设 A(x1， y1)， B(x2， y2)由Error! 得 x24 kx40， 0，12所以 x1 x24 k， x1x24，对 y 求导得 y ，即 kAP x24 x2 x12直线 AP 的方程为 y y1 (x x1)，x12即 y x x ，x12 1421同理得直线 BP 的方程为 y x x x22 142设点 P(x0， y0)，联立直线 AP 与 BP 的方程，解得Error! 即 P(2k，1)，所以| AB| |x1 x2|4(1 k2)，1 k2点 P 到直线 AB 的距离 d 2 ，|2k2 2|1 k2 1 k2所以 PAB 的面积 S 4(1 k2)2 4(1 k2) 4，12 1 k2 32当且仅当 k0 时取等号综上， PAB 面积的最小值为 4，此时直线 l 的方程为 y113
