1、1考点测试 35 二元一次不等式组与简单的线性规划高考概览 本 考 点 是 高 考 必 考 知 识 点 ， 常 考 题 型 为 选 择 题 、 填 空 题 ， 分 值 5分 ， 中 等 难 度考纲研读1会从实际情境中抽象出二元一次不等式组2了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组3会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决一、基础小题1不等式 y(x y2)0 在平面直角坐标系中表示的区域(用阴影部分表示)是( )答案 C解析 由 y(x y2)0，得Error!或Error!所以不等式 y(x y2)0 在平面直角坐标系中表示的区域是 C 项2已知点
2、A(3，1)与点 B(4，6)在直线 3x2 y a0 的两侧，则实数 a 的取值范围是( )A(24，7)B(7，24)C(，24)(7，)D(，7)(24，)答案 B解析 (92 a)(1212 a)0，所以7 a24故选 B3若实数 x， y 满足不等式组Error!则该约束条件所围成的平面区域的面积是 ( )A3 B C2 D252 2答案 C2解析 因为直线 x y1 与 x y1 互相垂直，所以如图所示的可行域为直角三角形，易得 A(0，1)， B(1，0)， C(2，3)，故| AB| ，| AC|2 ，所以其面积为2 2|AB|AC|2124若变量 x， y 满足约束条件Err
3、or!则 3x2 y 的最大值是 ( )A0 B2 C5 D6答案 C解析 作不等式组的可行域，如图：令 z3 x2 y，则 y x 表示一系列平行于 y x 的直线，并且 表示该直线的32 z2 32 z2纵截距显然，把直线 y x 平移至点 A 处， z 最大由Error!得 A(1，1)所以32zmax3 x2 y325故选 C5已知点( a， b)是平面区域Error!内的任意一点，则 3a b 的最小值为( )A3 B2 C1 D0答案 B解析 根据题意可知( a， b)在如图阴影中，设 z3 a b则 b3 a z，所以 z 可以理解为 y3 x t 中的纵截距 t因而当 y3 x
4、 t 过点(0，2)时， t 最大为 2即 z 最大为 2，所以 z 最小为236若 x， y 满足约束条件Error!则 z x3 y 的取值范围是 ( )A(，2 B2，3C3，) D2，)答案 D解析 作不等式组表示的平面区域，如图平移直线 x3 y0 到点 A 时， z 取得最小值，由Error!解得点 A ，所以1212zmin 2，无最大值故选 D12 327在如图所示的平面区域内有 A(5，3)， B(1，1)， C(1，5)三点，若使目标函数z ax y(a0)取得最大值的最优解有无穷多个，则实数 a 的值是( )A B23 12C2 D32答案 B解析 由题意知，当 z ax
5、 y 与直线 AC 重合时最优解有无穷多个因为 kAC ，12所以 a ，即 a 故选 B12 128已知实数 x， y 满足约束条件Error!则| y x|的最大值是 ( )A2 B C4 D32322答案 D解析 4画出不等式组表示的平面区域(如图)，计算得 A(1，2)， B(4，1)，当直线 z x y 过点 A 时 zmin1，过点 B 时 zmax3，则1 x y3，则| y x|39不等式组Error!所表示的平面区域内的整点个数为( )A2 B3 C4 D5答案 C解析 由不等式 2x y0， y0，则当 x1 时，01)的图象上的点，则实数 a 的取值范围是( )A(3，)
6、 B(1，3)C3，) D(1，3答案 C解析 作不等式组Error!表示的平面区域 D，如图中阴影部分所示由Error! 解得点 A(3，1)由 a1，对数函数的图象经过可行域，此时满足 loga31，解得 a3，所以实数 a 的取值范围是3，)，故选 C512已知实数 x， y 满足Error!则 w x2 y24 x4 y8 的最小值为_答案 92解析 目标函数 w x2 y24 x4 y8( x2) 2( y2) 2，其几何意义是点(2，2)与可行域内的点的距离的平方由实数 x， y 所满足的不等式组作出可行域如图中阴影部分所示，由图可知，点(2，2)到直线 x y10 的距离为其到可
7、行域内点的距离的最小值，又 ，所以 wmin |2 2 1|2 322 92二、高考小题13(2018天津高考)设变量 x， y 满足约束条件Error!则目标函数 z3 x5 y 的最大值为( )A6 B19 C21 D45答案 C解析 由变量 x， y 满足的约束条件画出可行域(如图中阴影部分所示)作出基本直线 l0：3 x5 y0，平移直线 l0，当直线经过点 A(2，3)时， z 取最大值，即 zmax325321故选 C14(2018全国卷)若 x， y 满足约束条件Error!则 z x y 的最大值为_答案 9解析 不等式组表示的可行域是以 A(5，4)， B(1，2)， C(5
8、，0)为顶点的三角形区域，如图所示，由图可知目标函数 z x y 的最大值在顶点 A 处取得，即当 x5， y4 时，zmax9615(2018全国卷)若 x， y 满足约束条件Error!则 z3 x2 y 的最大值为_答案 6解析 根据题中所给的约束条件，画出其对应的可行域，如图所示：由 z3 x2 y 可得 y x z，画出直线 y x，将其上下移动，结合 的几何意32 12 32 z2义，可知当直线过点 B 时， z 取得最大值，由Error!解得 B(2，0)，此时zmax320616(2018全国卷)若变量 x， y 满足约束条件Error!则 z x y 的最大值是13_答案 3
9、解析 作出可行域如图阴影部分由图可知目标函数在直线 x2 y40 与 x2 的交点(2，3)处取得最大值 317(2018浙江高考)若 x， y 满足约束条件Error!则 z x3 y 的最小值是_，最大值是_7答案 2 8解析 由约束条件得可行域是以 A(1，1)， B(2，2)， C(4，2)为顶点的三角形区域(含边界)，如图当直线 y x 过点 C(4，2)时， z x3 y 取得最小值2，过点13 z3B(2，2)时， z x3 y 取得最大值 818(2018北京高考)若 x， y 满足 x1 y2 x，则 2y x 的最小值是_答案 3解析 由 x1 y2 x 作出可行域，如图中
10、阴影部分所示设 z2 y x，则y x z，当直线 y x z 过 A(1，2)时， z 取得最小值 312 12 12 12三、模拟小题19(2018山西太原模拟)已知实数 x， y 满足Error!则 z2 x2 y1 的取值范围是( )A，5 B0，553C，5 D ，553 53答案 D解析 作出不等式组表示的可行域，如图阴影部分所示，可知82 2 1 z222(1)1，即 z 的取值范围是 ，513 23 5320(2018南昌一模)设不等式组Error!表示的平面区域为 M，若直线 y kx 经过区域 M 内的点，则实数 k 的取值范围为( )A，2 B，12 12 43C，2 D
11、，212 43答案 C解析 作不等式组表示的平面区域，如图阴影部分所示：由Error! 得 A(1，2)，由Error!得 B(2，1)，平面区域 M 即为图中阴影部分 ABC，直线 y kx 经过区域 M 内的点 A 时， k2，直线 y kx 经过区域 M 内的点 B 时， k ，故12 k2，故选 C1221(2018长沙统考)已知 x， y 满足约束条件Error!若 z ax y 的最大值为 4，则 a( )A2 B C2 D12 12答案 A解析 作不等式组表示的平面区域如图当直线 l： y ax z 经过 AOB 区域时， l 在 y 轴上的最大截距为 4，则点 B(2，0)为最
12、优解，所以 z2 a4，即 a2，故选 A22(2018太原模拟)已知不等式 ax2 by2 在平面区域( x， y)|x|1 且| y|1上恒成立，则动点 P(a， b)所形成平面区域的面积为( )A4 B8 C16 D329答案 A解析 作平面区域( x， y)|x|1 且| y|1，如图 1 所示该平面区域表示正方形ABCD 内部 (含边界)令 z ax2 by，因为 ax2 by2 恒成立，则函数 z ax2 by 在该平面区域要求的条件下， zmax 2 恒成立当直线 ax2 by z0 过点 A(1，1)或 B(1，1)或 C(1，1)或 D(1，1)时，有Error!再作该不等式
13、组表示的可行域，即菱形 EFGH 内部(含边界)如图 2 所示其中H(2，0)， F(2，0)， E(0，1)， G(0，1)，所以动点 P(a， b)所形成平面区域的面积为424故选 A1223(2018湖北八市联考)已知 x， y 满足Error!若 z x2 y 有最大值 4，则实数 m的值为( )A4 B2 C1 D1答案 B解析 可行域所表示区域为三条直线所封闭的三角形区域(含边界)，如图阴影部分所示依题意，有直线 y x 的纵截距 有最大值 2，则结合图形可知需满足直线12 z2 z22x y m 过点(0，2)，从而 m2022，故选 B24(2018河北石家庄质检)在平面直角坐
14、标系中，不等式组Error!( r 为常数)表示的平面区域的面积为 ，若 x， y 满足上述约束条件，则 z 的最小值为( )x y 1x 310A1 B52 17C D13 75答案 D解析 作出不等式组表示的平面区域，如图所示，由题意知 r2，解得14r2 z 1 ，易知 表示可行域内的点( x， y)与点 P(3，2)的连线的x y 1x 3 y 2x 3 y 2x 3斜率，由图可知当点( x， y)与点 P 的连线与圆 x2 y2 r2相切时斜率最小设切线方程为y2 k(x3)，即 kx y3 k20，则有 2，解得 k 或 k0(舍)，所以|3k 2|k2 1 125zmin1 故选
15、 D125 7525(2018河北石家庄质检)设变量 x， y 满足约束条件Error!则 的最大值为y 1x_答案 3解析 题设中的约束条件如图中阴影部分所表示的区域，则 表示可行域内点y 1xP(x， y)与 B(0，1)的连线的斜率，由图知，当 P 位于 A(1，2)时， 取得最大值y 1x32 1126(2018福州模拟)某工厂制作仿古的桌子和椅子，需要木工和漆工两个工种，已知生产一把椅子需要木工 4 个工作时，漆工 2 个工作时；生产一张桌子需要木工 8 个工作时，漆工 1 个工作时生产一把椅子的利润为 1500 元，生产一张桌子的利润为 2000 元，该厂每个月木工最多完成 800
16、0 个工作时，漆工最多完成 1300 个工作时，根据以上条件，11该厂安排生产每个月所能获得的最大利润是_元答案 2100000解析 依题意，设每个月生产 x 把椅子、 y 张桌子，那么利润 t1500 x2000 y其中x， y 满足约束条件Error!可行域如图中阴影部分所示，对于不同的 t 值， t1500 x2000 y 表示一组斜率为的平行线，且 t 越大，相应的直线位置越高； t 越小，相应的直线位置越低依题意，要34求 t 的最大值，需把直线 t1500 x2000 y 尽量地往上平移，又考虑到 x， y 的允许范围，显然当直线通过点 B 时，处在这组平行线的最高位置，此时 t
17、取最大值由Error!得点B(200，900)，从而 tmax150020020009002100000(元)，即生产 200 把椅子、900张桌子可获得最大利润 2100000 元一、高考大题1(2017天津高考)电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：连续剧播放时长(分钟) 广告播放时长(分钟) 收视人次(万)甲 70 5 60乙 60 5 25已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于 600 分钟，广告的总播放时间不少于 30 分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的
18、2 倍分别用 x， y表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数(1)用 x， y 列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；(2)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？解 (1)由已知， x， y 满足的数学关系式为Error!即 Error!12该二元一次不等式组所表示的平面区域为图中的阴影部分中的整数点(2)设总收视人次为 z 万，则目标函数为 z60 x25 y考虑 z60 x25 y，将它变形为 y x ，这是斜率为 ，随 z 变化的一族平125 z25 125行直线 为直线在 y 轴上的截距，当 取得最大值时， z 的值就最大z25 z25又因为
19、x， y 满足约束条件，所以由图可知，当直线 z60 x25 y 经过可行域上的点M 时，截距 最大，即 z 最大解方程组Error!得Error!则点 M 的坐标为(6，3)所以，电z25视台每周播出甲连续剧 6 次、乙连续剧 3 次时，才能使总收视人次最多二、模拟大题2(2018广东佛山月考)若 x， y 满足约束条件Error!(1)求目标函数 z x y 的最值；12 12(2)若目标函数 z ax2 y 仅在点(1，0)处取得最小值，求 a 的取值范围解 (1)作出可行域如图，可求得 A(3，4)， B(0，1)， C(1，0)13平移初始直线 x y0，过 A(3，4)取最小值2，
20、过 C(1，0)取最大值 1 z 的最12大值为 1，最小值为2(2)直线 ax2 y z 仅在点(1，0)处取得最小值，由图象可知1 2，解得a24 a2故所求 a 的取值范围是(4，2)3(2018福建泉州质检)画出不等式组Error!表示的平面区域，并回答下列问题：(1)指出 x， y 的取值范围；(2)平面区域内有多少个整点？解 (1)不等式 x y50 表示直线 x y50 上及右下方的点的集合 x y0 表示直线 x y0 上及右上方的点的集合， x3 表示直线 x3 上及左方的点的集合所以，不等式组Error!表示的平面区域如图所示结合图中可行域得x ， y3，852， 3(2)由图形及不等式组知Error!当 x3 时，3 y8，有 12 个整点；当 x2 时，2 y7，有 10 个整点；当 x1 时，1 y6，有 8 个整点；当 x0 时，0 y5，有 6 个整点；当 x1 时，1 y4，有 4 个整点；当 x2 时，2 y3，有 2 个整点所以平面区域内的整点共有 2468101242(个)14
