1、1考点测试 43 空间几何体的表面积和体积高考概览高 考 中 本 考 点 常 见 题 型 为 选 择 题 、 填 空 题 ， 分 值 为 5分 ， 中 等 难 度考纲研读球体、柱体、锥体、台体的表面积和体积计算公式一、基础小题1若球的半径扩大为原来的 2 倍，则它的体积扩大为原来的( )A2 倍 B4 倍 C8 倍 D16 倍答案 C解析 设原来球的半径为 r，则现在球的半径为 2r，则 V 原 r3， V 现 (2 r)43 433，故 V 现 8 V 原 故选 C2一个正方体的体积是 8，则这个正方体的内切球的表面积是( )A8 B6 C4 D答案 C解析 设正方体的棱长为 a，则 a38
2、， a2而此正方体的内切球直径为 2， S 表4 r243如图，一个空间几何体的正视图、侧视图都是面积为 ，一个内角为 60的菱形，32俯视图为正方形，那么这个几何体的表面积为( )A2 3B4 3C8D4答案 D2解析 由三视图知，原几何体为两个四棱锥的组合体，其中四棱锥的底面边长为 1，斜高为 1，所以这个几何体的表面积为 S 1184124一个直三棱柱的三视图如图所示，其中俯视图是正三角形，则此三棱柱的体积为( )A B C2 D432 3答案 B解析 由侧视图可知直三棱柱底面正三角形的高为 ，容易求得正三角形的边长为32，所以底面正三角形面积为 2 再由侧视图可知直三棱柱的高为 1，所
3、以此三12 3 3棱柱的体积为 1 故选 B3 35已知圆锥的表面积为 a，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面直径是( )A B C Da2 3 a3 23 a3 23a3答案 C解析 设圆锥的底面半径为 r，母线长为 l，由题意知，2 r l， l2 r，则圆锥的表面积 S 表 r2 (2 r)2 a， r2 ，2 r 12 a3 23 a36若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积等于( )A10 cm 3 B20 cm 3 C30 cm 3 D40 cm 33答案 B解析 由三视图可知，该几何体是一个直三棱柱 ABC A1B1C1截去一个三棱锥B1 ABC，则
4、该几何体的体积为 V 345 34520(cm 3)故选 B12 13 127某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是( )A4 B C D6143 163答案 B解析 依题意，所求几何体是一个四棱台，其中上底面是边长为 1 的正方形、下底面是边长为 2 的正方形，高是 2，因此其体积等于 (122 2 )2 故选 B13 14 1438某几何体的三视图如图所示，图中三个正方形的边长均为 2，则该几何体的表面积为( )A24( 1) B24(2 2)2 2C24( 1) D24(2 2)5 3答案 B4解析 如图，由三视图可知，该几何体是棱长为 2 的正方体挖出两个圆锥体所得由图中知圆锥的
5、半径为 1，母线为 ，该几何体的表面积为2S62 221 22 21 24(2 2) ，故选 B12 2 29已知一个几何体的三视图如图所示，则其体积为( )A10 B2 C2 D2 2 12 4答案 D解析 根据几何体的三视图还原其直观图如图所示，显然可以看到该几何体是一个底面长为 2，宽为 1，高为 1 的正棱柱与一个底面半径为 1，高为 1 的 圆柱组合而成，其体14积为 V211 1 212 ，故选 D14 410我国古代数学名著数书九章中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水，天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸，若盆中积水深九寸，则平地降雨量
6、是_寸(注：平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；一尺等于十寸)答案 3解析 由题意知，圆台中截面圆的半径为十寸，圆台内水的体积为5V h(r r r 中 r 下 ) 9(1026 2106)588(立方寸)，降雨量为13 2中 2下 3 3(寸)V142 58819611如图所示，已知一个多面体的平面展开图由一个边长为 1 的正方形和 4 个边长为1 的正三角形组成，则该多面体的体积是_答案 26解析 易知该几何体是正四棱锥连接 BD，设正四棱锥 P ABCD，由PD PB1， BD ，则 PD PB设底面中心 O，则四棱锥高 PO ，则其体积是222V Sh 12 13 13 22 26
7、12如图，在平面四边形 ABCD 中，已知 AB AD， AB AD1， BC CD5，以直线 AB为轴，将四边形 ABCD 旋转一周，则所得旋转体的体积为_答案 12解析 由题意，该旋转体是一圆台内部挖去一个圆锥，如图 1 所示：如图 2，过点 C 作 CE AB，连接 BD在等腰直角三角形 ABD 中，6BD 在 BDC 中， CD2 BD2 BC22 BDBCcos DBC，所以 2522510AD2 AB2 2cos DBC，所以 cos DBC ，所以 sin DBC 因为2210 1 cos2 DBC 7210 CBE180 ABD DBC135 DBC，所以 sin CBEsin
8、(135 DBC) cos DBC sin DBC 在 Rt BCE 中， CE BCsin CBE4，所以 BE22 22 453， AE4所以圆台上、下底面圆的面积分别为 S 上 ， S 下 16，圆台BC2 CE2体积 V1 (S 上 S 下 )AE28，圆锥体积 V2 16316，所以旋转13 S上 S下 13体体积 V V1 V212二、高考小题13(2017全国卷)如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为( )A90 B63 C42 D36答案 B解析 由三视图可知两个同样的几何体可以拼成一个底
9、面直径为 6，高为 14 的圆柱，所以该几何体的体积 V 321463故选 B1214(2018浙江高考)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm 3)是( )A2 B4 C6 D8答案 C解析 由三视图可知该几何体是直四棱柱，其中底面是直角梯形，直角梯形上、下底边的长分别为 1 cm，2 cm，高为 2 cm，直四棱柱的高为 2 cm故直四棱柱的体积7V 226 cm 31 2215(2018全国卷)已知圆柱的上、下底面的中心分别为 O1， O2，过直线 O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为 8 的正方形，则该圆柱的表面积为( )A12 B12 C8 D102
10、 2答案 B解析 根据题意，可得截面是边长为 2 的正方形，结合圆柱的特征，可知该圆柱的2底面为半径是 的圆，且高为 2 ，所以其表面积为 S 2( )2 2 222 2 12故选 B2 216(2018全国卷)在长方体 ABCD A1B1C1D1中， AB BC2， AC1与平面 BB1C1C 所成的角为 30，则该长方体的体积为( )A8 B6 C8 D82 2 3答案 C解析 在长方体 ABCD A1B1C1D1中，连接 BC1，根据线面角的定义可知 AC1B30，因为 AB2， tan30，所以 BC12 ，从而求得 CC1 2 ，所以该长方ABBC1 3 BC21 BC2 2体的体积
11、为 V222 8 故选 C2 217(2018全国卷)设 A， B， C， D 是同一个半径为 4 的球的球面上四点， ABC 为等边三角形且其面积为 9 ，则三棱锥 D ABC 体积的最大值为( )3A12 B18 C24 D543 3 3 3答案 B解析 如图所示，点 M 为三角形 ABC 的重心， E 为 AC 的中点，当 DM平面 ABC 时，三棱锥 D ABC 体积最大，此时， OD OB R48 S ABC AB29 ，34 3 AB6，点 M 为三角形 ABC 的重心， BM BE2 ，23 3在 Rt OMB 中，有 OM 2OB2 BM2 DM OD OM426，( V 三棱
12、锥 D ABC)max 9 618 故选 B13 3 318(2018全国卷)已知圆锥的顶点为 S，母线 SA， SB 所成角的余弦值为 ， SA 与78圆锥底面所成角为 45，若 SAB 的面积为 5 ，则该圆锥的侧面积为_15答案 40 2解析 因为母线 SA， SB 所成角的余弦值为 ，所以母线 SA， SB 所成角的正弦值为 ，78 158因为 SAB 的面积为 5 ，设母线长为 l，所以 l2 5 ，所以 l280，因为 SA1512 158 15与圆锥底面所成角为 45，所以底面圆的半径为 lcos l，因此，圆锥的侧面积为 4 22 rl l240 22 219(2018天津高考
13、)已知正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 1，除面 ABCD 外，该正方体其余各面的中心分别为点 E， F， G， H， M(如图)，则四棱锥 M EFGH 的体积为_答案 112解析 由题意知四棱锥的底面 EFGH 为正方形，其边长为 ，即底面面积为 ，由正方22 12体的性质知，四棱锥的高为 故四棱锥 M EFGH 的体积 V 12 13 12 12 112920(2018江苏高考)如图所示，正方体的棱长为 2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为_答案 43解析 多面体由两个完全相同的正四棱锥组合而成，其中正四棱锥的底面边长为 ，2高为 1，其体积为 ( )21 ，多面体的体积
14、为 13 2 23 43三、模拟小题21(2018邯郸摸底)如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，已知该几何体的各个面中有 n 个面是矩形，体积为 V，则( )A n4， V10 B n5， V12C n4， V12 D n5， V10答案 D解析 由三视图可知，该几何体为直五棱柱，其直观图如图所示，故 n5，体积V22 2 2110故选 D1222(2018福州模拟)已知圆柱的高为 2，底面半径为 ，若该圆柱的两个底面的圆3周都在同一个球面上，则这个球的表面积等于( )A4 B C D16163 32310答案 D解析 如图，可知球的半径 R 2，进而这个球的表面
15、积为OH2 AH2 12 324 R216故选 D23(2018合肥质检一)如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )A518 B618 C86 D106答案 C解析 该几何体的表面积是由球的表面积、球的大圆面积、半个圆柱的侧面积以及圆柱的纵切面面积组成从而该几何体的表面积为41 21 2 233286故选 C1224(2018石家庄质检二)如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为( )A B3 C8 D83 53答案 A11解析 根据三视图还原该几何体的直观图，如图中四棱锥 P ABCD
16、所示，则VP ABCD VP AFGD( VAFB DEC VG ECD) 1 122 121 故选 A13 1 222 12 13 12 8325(2018合肥质检三)我国古代的九章算术中将上、下两面为平行矩形的六面体称为“刍童” 如图所示为一个“刍童”的三视图，其中正视图及侧视图均为等腰梯形，两底的长分别为 2 和 4，高为 2，则该“刍童”的表面积为( )A12 B405C1612 D16123 5答案 D解析 易得侧面梯形的高为 ，所以一个侧面梯形的面积为 (24)22 12 512 3 故所求为 43 2(24)12 16故选 D5 5 5 526(2018福建质检)已知底面边长为
17、4 ，侧棱长为 2 的正四棱锥 S ABCD 内接2 5于球 O1若球 O2在球 O1内且与平面 ABCD 相切，则球 O2的直径的最大值为_答案 8解析 如图，正四棱锥 S ABCD 内接于球 O1， SO1与平面 ABCD 交于点 O在正方形ABCD 中， AB4 ， AO42在 Rt SAO 中， SO 2设球 O1的半径为 R，则在 Rt OAO1SA2 OA2 252 42中，( R2) 24 2 R2，解得 R5，所以球 O1的直径为 10当球 O2与平面 ABCD 相切于点 O且与球 O1相切时，球 O2的直径最大又因为 SO2，所以球 O2的直径的最大值为102812一、高考大
18、题1(2016江苏高考)现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥 P A1B1C1D1，下部的形状是正四棱柱 ABCD A1B1C1D1(如图所示)，并要求正四棱柱的高 O1O 是正四棱锥的高 PO1的 4 倍(1)若 AB6 m， PO12 m，则仓库的容积是多少？(2)若正四棱锥的侧棱长为 6 m，则当 PO1为多少时，仓库的容积最大？解 (1)由 PO12 知， O1O4 PO18因为 A1B1 AB6，所以正四棱锥 P A1B1C1D1的体积V 锥 A1B PO1 62224(m 3)13 21 13正四棱柱 ABCD A1B1C1D1的体积V 柱 AB2O1O6
19、28288(m 3)所以仓库的容积 V V 锥 V 柱 24288312(m 3)(2)设 A1B1 a m， PO1 h m，则 00， V 是单调增函数；3当 2 h6 时， V0， V 是单调减函数3故 h2 时， V 取得极大值，也是最大值3因此，当 PO12 m 时，仓库的容积最大32(2018全国卷)如图，在平行四边形 ABCM 中， AB AC3， ACM90，以 AC为折痕将 ACM 折起，使点 M 到达点 D 的位置，且 AB DA(1)证明：平面 ACD平面 ABC；(2)Q 为线段 AD 上一点， P 为线段 BC 上一点，且 BP DQ DA，求三棱锥 Q ABP 的体
20、23积解 (1)证明：由已知可得 BAC90，即 AB AC又 AB DA，且 AC DA A，所以 AB平面 ACD又 AB平面 ABC，所以平面 ACD平面 ABC(2)由已知可得， DC CM AB AC3， DA3 2又 BP DQ DA，所以 BP2 23 2作 QE AC，垂足为 E，则 QE 綊 DC1314由已知及(1)可得 DC平面 ABC，所以 QE平面 ABC， QE1因此，三棱锥 Q ABP 的体积为V 三棱锥 Q ABP QES ABP 1 32 sin45113 13 12 2二、模拟大题3(2018武昌调研)如图，已知某几何体的三视图如下(单位：cm)(1)画出这
21、个几何体的直观图(不要求写画法)；(2)求这个几何体的表面积及体积解 (1)这个几何体的直观图如图所示(2)这个几何体可看成是正方体 AC1及直三棱柱 B1C1Q A1D1P 的组合体由 PA1 PD1 ， A1D1 AD2，可得 PA1 PD12故所求几何体的表面积S52 222 2 ( )2212 2224 (cm2)，2所求几何体的体积 V2 3 ( )2210(cm 3)12 24(2018浙江杭州一模)已知一个三棱台的上、下底面分别是边长为 20 cm 和 30 cm的正三角形，各侧面是全等的等腰梯形，且各侧面的面积之和等于两底面面积之和，求棱台的体积解 如图所示，在三棱台 ABC
22、A B C中， O， O 分别为上、下底面的中心，D， D分别是 BC， B C的中点，则 DD是等腰梯形 BCC B的高，15又 C B20 cm， CB30 cm，所以 S 侧 3 (2030) DD75 DD12S 上 S 下 (20230 2)325 (cm2)34 3由 S 侧 S 上 S 下 ，得 75DD325 ，3所以 DD (cm)，1333又因为 O D 20 (cm)，36 1033OD 305 (cm)，36 3所以棱台的高 h O O D D2 OD O D 2 4 (cm)，(1333 )2 (53 1033 )2 3由棱台的体积公式，可得棱台的体积为V (S 上 S 下 )h3 S上 S下 433 (3253 34 2030)1900(cm 3)故棱台的体积为 1900 cm316
