1、第2课时 分段函数与映射,一,二,一、分段函数 1.在现实生活中,常常使用表格描述两个变量之间的对应关系.比如国内邮寄信函(本埠),每封信函的重量和对应邮资如下表:,一,二,(1)邮资M是信函重量m的函数吗?若是,其解析式是什么? 提示:据函数定义知M是m的函数,其解析式为,(2)在(1)中有几个函数?为什么? 提示:一个.因为(1)中的函数虽然有5个不同的部分,但不是5个函数,只不过在定义域的不同子集内,对应关系不同而已.,一,二,2.填空: 如果函数y=f(x),xA,根据自变量x在A中不同的取值范围,有着不同的对应关系,则称这样的函数为分段函数.,一,二,3.做一做:(2)已知函数f(x
2、)的图象如图所示,则f(x)的值域为 .,(2)由题图可知,当x-2,4时,f(x)-2,3; 当x5,8时,f(x)-4,2.7. 故函数f(x)的值域为-4,3. 答案:(1)A (2)-4,3,一,二,4.判断正误: 分段函数是多个函数. ( ) 答案:,一,二,二、映射 1.在某次数学测试中,高一(1)班的54名同学都取得了较好的成绩,该班54名同学的名字构成集合A,他们的成绩构成集合B. (1)A中的每一个元素在B中有且只有一个元素与之对应吗? 提示:是的. (2)从集合A到集合B的对应是函数吗?为什么? 提示:不是.因为集合A不是数集. 2.填空: 设A,B是两个非空的集合,如果按
3、某一个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f:AB为从集合A到集合B的一个映射.,3.函数与映射有怎样的关系? 提示:函数是一种特殊的映射.,一,二,4.做一做: 已知M=1,2,3,N=e,g,h,从M到N的四种对应方式如图,其中是从M到N的映射的是( ),一,二,解析:选项A中,集合M中的元素2在集合N中没有与之对应的元素,不具备任意性,并且集合M中的元素3在集合N中有两个元素g,h与之对应,也不具备唯一性; 选项B中,集合M中的元素2在集合N中有两个元素e,h与之对应,不具备唯一性; 选项D中,集合M中的元素3在集合N中有
4、两个元素g,h与之对应,不具备唯一性. 答案:C,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,探究一求分段函数的值,(2)若f(x)=2,求x的值.,当堂检测,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,当堂检测,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,反思感悟 1.求分段函数的函数值的步骤 (1)先确定所求值对应的自变量属于哪一段区间. (2)再代入该段对应的解析式进行求值,直到求出值为止.当出现f(f(x0)的形式时,应从内到外依次求值. 2.已知函数值求自变量取值的步骤 (1)先确定自变量,可能存在的区间及其对应的函数解析式. (2)再将函数值代入到不同的解析式中. (3)通过解方程求出自
5、变量的值. (4)检验所求的值是否在所讨论的区间内.,当堂检测,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,延伸探究在本例已知条件下,若f(x)0,求x的取值范围.,-2x0或0x2或x2, x的取值范围是(-2,0)(0,+).,当堂检测,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,探究二分段函数的图象 例2 画出下列函数的图象,并写出它们的值域:,(2)y=|x+1|+|x-3|. 分析:先化简函数解析式,再画函数图象,在画分段函数的图象时,要注意对应关系与自变量取值范围的对应性.,当堂检测,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,观察图象,得函数的值域为(1,+). (2)将原函数式中的绝
6、对值符号去掉,它的图象如图.观察图象,得函数的值域为4,+).,当堂检测,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,反思感悟 1.因为分段函数在定义域的不同区间内解析式不一样,所以它的图象也由几部分构成,有的可以是光滑的曲线段,有的也可以是一些孤立的点或几段线段,画图时要特别注意区间端点处对应点的实虚之分. 2.对含有绝对值的函数,要作出其图象,首先根据绝对值的意义去掉绝对值符号,将函数转化为分段函数来画图象.,当堂检测,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,当堂检测,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,解析:因为f(0)=0-1=-1,所以函数图象过点(0,-1); 当x0时,y=
7、x2,则函数图象是开口向上的抛物线在y轴左侧的部分.因此只有选项C中的图象符合. 答案:C,当堂检测,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,探究三映射的判断 例3 下列对应是A到B的映射的有( ),A=2018年俄罗斯足球世界杯参赛的足球运动员,B=2018年俄罗斯足球世界杯参赛的足球运动员的身高,f:每个运动员对应自己的身高;,A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 分析:紧扣映射概念中的“任意一个”“存在唯一”即可判断. 解析:中,对于A中的元素-1,在B中没有与之对应的元素,则不是映射;中,由于每个运动员都有唯一的身高,则是映射;中,对于A中的任一元素,在B中都有唯一的元素与之对应,
8、则是映射. 答案:C,当堂检测,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,反思感悟 判断一个对应是不是映射的两个关键点 (1)对于A中的任意一个元素,在B中是否有元素与之对应; (2)在B中的对应元素是不是唯一的. 注意:“一对一”或“多对一”的对应都是映射.,当堂检测,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,变式训练2下列对应是A到B上的映射的是( ) A.A=N*,B=N*,f:x|x-3| B.A=N*,B=-1,1,-2,f:x(-1)x,D.A=N,B=R,f:xx的平方根 解析:选项A,因为A中的元素3在对应关系f的作用下在B中找不到与之相对应的元素,所以不是映射;选项B,对于任
9、意的正整数x,所得(-1)x均为1或-1,在集合B中有唯一的1或-1与之对应,满足映射的定义,所以是映射;选项C,0在f的作用下无意义,所以不是映射;选项D,正整数在实数集R中有两个平方根与之对应,不满足映射的概念,所以不是映射. 答案:B,当堂检测,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,当堂检测,探究四根据分段函数图象求解析式 例4已知函数y=f(x)的图象由图中的两条射线和抛物线的一部分组成,则函数的解析式为 .,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,当堂检测,解析:根据图象,设左侧的射线对应的函数解析式为y=kx+b(x1). 点(1,1),(0,2)在射线上, 左侧射线对应的函
10、数解析式为y=-x+2(x1). 同理,当x3时,对应的函数解析式为y=x-2(x3). 再设抛物线对应的二次函数解析式为y=a(x-2)2+2(1x3,a0). 点(1,1)在抛物线上,a+2=1,a=-1. 当1x3时,对应的函数解析式为y=-x2+4x-2(1x3).综上可知,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,当堂检测,变式训练 3已知函数f(x)的图象如图所示,则f(x)的解析式为 .,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,当堂检测,利用数形结合思想求方程根的个数 典例 对于m不同的取值范围,讨论方程x2-4|x|+5=m的实根的个数. 分析:可考虑给定方程左侧对应函数的图
11、象,即画出函数y=x2-4|x|+5的图象,看图象与直线y=m的交点个数的变化便可得出结论. 解:将方程x2-4|x|+5=m实根的个数问题转化为函数y=x2-4|x|+5的图象与直线y=m的交点个数问题.作出图象,如图所示.,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,当堂检测,当m5时,直线y=m与该图象有两个交点, 故方程有两个实根. 反思感悟 本题通过构造函数,利用数形结合的思想,直观形象地通过图象得出实数根的个数.但要注意这种方法一般只求根的个数,不需知道实数根的具体数值.,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,当堂检测,变式训练 讨论关于x的方程|x2-4x+3|=a(aR)的实
12、数解的个数. 解:作函数y=|x2-4x+3|及y=a的图象如图所示, 方程|x2-4x+3|=a的实数解就是两个函数图象的交点(纵坐标相等)的横坐标,因此原方程的解的个数就是这两个函数图象的交点个数. 当a1时,原方程有两个实数解; 当a=1时,原方程有三个实数解; 当0a1时,原方程有四个实数解.,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,当堂检测,A.0 B. C.2 D.9 解析:f(f(-3)=f(0)=. 答案:B,答案:C,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,当堂检测,3.已知A=R,B=x|x1,映射f:AB,且A中元素x与B中元素y=x2+1对应,则当y=2时,x= . 解析:由x2+1=2,得x=1. 答案:1,解析:当a0时,由a+1=2,得a=10, 所以a=1符合题意;,答案:1,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,当堂检测,5.下列对应是不是从集合A到集合B的映射,为什么? (1)A=R,B=xR|x0,对应关系是“求平方”; (2)A=平面内的圆,B=平面内的矩形,对应关系是“作圆的内接矩形”. 解:(1)是映射.因为A中的任何一个实数的平方均大于或等于0,则在B中都能找到唯一的元素与之对应. (2)不是映射.因为一个圆有无穷多个内接矩形,即集合A中任何一个元素在集合B中有无穷多个元素与之对应.,
