1、1第二节 空间点、直线、平面之间的位置关系突破点一 平面的基本性质基 本 知 识 1公理 13文字语言 图形语言 符号语言公理 1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内Error! l公理 2过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面A， B， C 三点不共线 有且只有一个平面 ，使A ， B ， C 公理 3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线P ，且P l，且P l点拨 公理 1 是判断一条直线是否在某个平面内的依据，公理 2 及其推论是判断或证明点、线共面的依据，公理 3 是证明三线共点或三点共线的依据2公理 2 的三个推论推论 1：经过
2、一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面；推论 2：经过两条相交直线有且只有一个平面；推论 3：经过两条平行直线有且只有一个平面基 本 能 力 一、判断题(对的打“” ，错的打“”)(1)如果两个不重合的平面 ， 有一条公共直线 a，就说平面 ， 相交，并记作 a.( )(2)两个平面 ， 有一个公共点 A，就说 ， 相交于过 A 点的任意一条直线( )(3)两个平面 ， 有一个公共点 A，就说 ， 相交于 A 点，并记作 A.( )(4)两个平面 ABC 与 DBC 相交于线段 BC.( )答案：(1) (2) (3) (4)二、填空题1四条线段顺次首尾相连，它们最多可确定的平面个数有_答案
3、：422下列命题中，真命题是_(1)空间不同三点确定一个平面；(2)空间两两相交的三条直线确定一个平面；(3)两组对边相等的四边形是平行四边形；(4)和同一直线都相交的三条平行线在同一平面内解析：(1)是假命题，当三点共线时，过三点有无数个平面；(2)是假命题，当三条直线共点时，不能确定一个平面；(3)是假命题，两组对边相等的四边形可能是空间四边形；(4)是真命题答案：(4)3设 P 表示一个点， a， b 表示两条直线， ， 表示两个平面，给出下列三个命题，其中真命题是_(填序号) P a， P a ； a b P， b a ； a b， a ， P b， P b .答案：典 例 感 悟 1
4、正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 2， M 为 CC1的中点， N 为线段 DD1上靠近 D1的三等分点，平面 BMN 交 AA1于点 Q，则线段 AQ 的长为( )A. B.23 12C. D.16 13解析：选 D 如图所示，过点 A 作 AE BM 交 DD1于点 E，则 E 是DD1的中点，过点 N 作 NT AE 交 A1A 于点 T，此时 NT BM，所以B， M， N， T 四点共面，所以点 Q 与点 T 重合，易知 AQ NE ，故选13D.2.如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1中， E， F 分别是 AB 和 AA1的中点求证：(1)E， C， D1， F
5、四点共面；(2)CE， D1F， DA 三线共点证明：(1)如图所示，连接 CD1， EF， A1B，3 E， F 分别是 AB 和 AA1的中点， EF A1B 且 EF A1B.12又 A1D1綊 BC，四边形 A1BCD1是平行四边形， A1B CD1， EF CD1， EF 与 CD1确定一个平面，即 E， C， D1， F 四点共面(2)由(1)知 EF CD1且 EF CD1，12四边形 CD1FE 是梯形， CE 与 D1F 必相交，设交点为 P，则 P CE，且 P D1F，又 CE平面 ABCD，且 D1F平面 A1ADD1， P平面 ABCD，且 P平面 A1ADD1.又平
6、面 ABCD平面 A1ADD1 AD， P AD， CE， D1F， DA 三线共点方 法 技 巧 共面、共线、共点问题的证明方法(1)证明点或线共面问题的两种方法：首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合(2)证明点共线问题的两种方法：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；直接证明这些点都在同一条特定直线上(3)证明线共点问题的常用方法：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点集 训 冲 关 1如图是正方体或四面体， P，Q， R， S 分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的一
7、个图是( )4解析：选 D A，B，C 图中四点一定共面，D 中四 点不共面2.如图， ABCDA1B1C1D1是长方体， O 是 B1D1的中点，直线 A1C 交平面 AB1D1于点 M，则下列结论正确的是( )A A， M， O 三点共线B A， M， O， A1不共面C A， M， C， O 不共面D B， B1， O， M 共面解析：选 A 连接 A1C1， AC，则 A1C1 AC，所以 A1， C1， C， A四点共面，所以 A1C平面 ACC1A1，因为 M A1C，所以 M平面ACC1A1，又 M平面 AB1D1，所以 M 在平面 ACC1A1与平面 AB1D1的交线上，同理
8、O 在平面 ACC1A1与平面 AB1D1的交线上，所以 A， M， O三点共线突破点二 空间中两直线的位置关系基 本 知 识 1空间中两直线的位置关系(1)空间中两直线的位置关系Error!(2)公理 4 和等角定理公理 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补2异面直线所成的角(1)定义：设 a， b 是两条异面直线，经过空间任一点 O 作直线 a a， b b，把a与 b所成的锐角(或直角)叫做异面直线 a 与 b 所成的角(或夹角)(2)范围： .(0， 2基 本 能 力 一、判断题(对的打“” ，错的打“”)(1)已知
9、 a， b 是异面直线，直线 c 平行于直线 a，那么 c 与 b 不可能是平行直线( )(2)没有公共点的两条直线是异面直线( )5(3)经过平面内一点的直线(不在平面内)与平面内不经过该点的直线是异面直线( )(4)若两条直线共面，则这两条直线一定相交( )答案：(1) (2) (3) (4)二、填空题1已知直线 a 和平面 ， ， l， a ， a ，且 a 在 ， 内的射影分别为直线 b 和 c，则直线 b 和 c 的位置关系是_答案：相交、平行或异面2长方体 ABCDA1B1C1D1中， AB BC1， AA1 ，则异面直线 BD1与 CC1所成的角为2_答案： 43如图为正方体表面
10、的一种展开图，则图中的AB， CD， EF， GH 在原正方体中互为异面直线的有_对答案：3全 析 考 法 考法一 空间两直线位置关系的判定 例 1 (1)已知 a， b， c 为三条不重合的直线，有以下结论：若 a b， a c，则 b c；若 a b， a c，则 b c；若 a b， b c，则 a c.其中正确的个数为( )A0 B1C2 D3(2)在下列四个图中， G， N， M， H 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线 GH， MN 是异面直线的图形有_(填序号)解析 (1)法一：在空间中，若 a b， a c，则 b， c 可能平行，也可能相交，还可能异面，所以错误，
11、显然成立法二：构造长方体或正方体模型可快速判断，错误，正确(2)图中，直线 GH MN；图中， G， H， N 三点共面，但 M平面 GHN，因此直线 GH6与 MN 异面；图中，连接 MG， GM HN，因此 GH 与 MN 共面；图中， G， M， N 共面，但H平面 GMN，因此 GH 与 MN 异面所以在图 中， GH 与 MN 异面答案 (1)B (2)方法技巧 空间两直线位置关系的判定方法考法二 异面直线所成的角 平 移 直 线 线 段 法 定 义 法 求 异 面 直 线 所 成 的 角常 用 的 平 移 方 法 有 ： 1 利 用 图 中 已 有 的 平 行 线 平 移 ； 2
12、利 用 特 殊 点 线 段 的 端 点 或 中 点 作 平 行 线 平 移 ； 3 补 形 平 移 .例 2 (2018全国卷)在长方体 ABCDA1B1C1D1中， AB BC1， AA1 ，则异面3直线 AD1与 DB1所成角的余弦值为( )A. B.15 56C. D.55 22解析 如图，在长方体 ABCDA1B1C1D1的一侧补上一个相同的长方体 EFBAE1F1B1A1.连接 B1F，由长方体性质可知， B1F AD1，所以 DB1F为异面直线 AD1与 DB1所成的角或其补角连接 DF，由题意，得 DF ， FB112 1 1 2 5 2， DB1 .12 3 2 12 12 3
13、 2 5在 DFB1中，由余弦定理，得DF2 FB DB 2 FB1DB1cos DB1F，21 21即 54522 cos DB1F，5cos DB1F .55答案 C方法技巧 平移法求异面直线所成角的步骤平移平移的方法一般有三种类型：(1)利用图中已有的平行线平移；(2)利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；(3)补形平移7证明 证明所作的角是异面直线所成的角或其补角寻找 在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之取舍因为异面直线所成角 的取值范围是 0 90，所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角集 训 冲 关 1. 若空间中四条两两不同的直线 l1， l2，
14、 l3， l4，满足考 法 一 l1 l2， l2 l3， l3 l4，则下列结论一定正确的是( )A l1 l4B l1 l4C l1与 l4既不垂直也不平行D l1与 l4的位置关系不确定解析：选 D 构造如图所示的正方体 ABCDA1B1C1D1，取 l1为AD， l2为 AA1， l3为 A1B1，当取 l4为 B1C1时， l1 l4，当取 l4为 BB1时，l1 l4，故排除 A、B、C，选 D.2. 在正方体 ABCDA1B1C1D1中， E， F 分别是线段 BC， CD1的中点，则直线 A1B考 法 一 与直线 EF 的位置关系是( )A相交 B异面C平行 D垂直解析：选 A
15、 由 BC 綊 AD， AD 綊 A1D1知， BC 綊 A1D1，从而四边形 A1BCD1是平行四边形，所以 A1B CD1，又 EF平面 A1BCD1， EF D1C F，则 A1B 与 EF 相交3. 如图，在长方体 ABCD A1B1C1D1中，考 法 二 AB2， BC1， BB11， P 是 AB 的中点，则异面直线 BC1与 PD 所成的角等于( )A30 B45C60 D90解析：选 C 如图，取 A1B1的中点 E，连接 D1E， AD1， AE，则 AD1E 即为异面直线 BC1与 PD 所成的角因为 AB2，所以A1E1，又 BC BB11，所以 D1E AD1 AE ，
16、所以 AD1E 为正三2角形，所以 AD1E60，故选 C.4. (2017全国卷)已知直三棱柱 ABC A1B1C1中， ABC120，考 法 二 AB2， BC CC11，则异面直线 AB1与 BC1所成角的余弦值为( )A. B.32 1558C. D.105 33解析：选 C 如图所示，将直三棱柱 ABCA1B1C1补成直四棱柱ABCDA1B1C1D1，连接 AD1， B1D1，则 AD1 BC1，所以 B1AD1或其补角为异面直线 AB1与 BC1所成的角因为 ABC120， AB2， BC CC11，所以 AB1 ， AD1 .在 B1D1C1中， B1C1D160，5 2B1C11， D1C12，所以 B1D1 ，12 22 212cos 60 3所以 cos B1AD1 .5 2 3252 1059
