1、1第五节 空间向量及其运算和空间位置关系突破点一 空间向量及其运算基 本 知 识 1空间向量及其有关概念(1)空间向量的有关概念空间向量 在空间中，具有大小和方向的量叫做空间向量相等向量 方向相同且模相等的向量共线向量 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量共面向量 平行于同一个平面的向量(2)空间向量中的有关定理共线向量定理 对空间任意两个向量 a，b(b0)，ab存在唯一一个 R，使 a b共面向量定理若两个向量 a，b 不共线，则向量 p 与向量 a，b 共面存在唯一的有序实数对( x， y)，使 p x a y b空间向量基本定理如果三个向量 a，b，c 不共面，那么对空
2、间任一向量 p，存在有序实数组x， y， z使得 p x a y b z c2.两个向量的数量积(1)非零向量 a，b 的数量积 ab|a|b|cosa，b (2)空间向量数量积的运算律结合律：( a)b (ab)；交换律：abba；分配律：a(bc)abac.3空间向量的运算及其坐标表示设 a( a1， a2， a3)，b( b1， b2， b3).向量表示 坐标表示数量积 ab a1b1 a2b2 a3b3共线 a b(b0) a1 b 1， a2 b 2， a3 b 3垂直 ab0(a0，b0) a1b1 a2b2 a3b30模 |a| a21 a2 a23夹角 a，b(a0，b0) c
3、osa，b a1b1 a2b2 a3b3a21 a2 a23b21 b2 b23基 本 能 力 2一、判断题(对的打“” ，错的打“”)(1)若 A， B， C， D 是空间任意四点，则有 0.( )AB BC CD DA (2)|a|b|ab|是 a，b 共线的充要条件( )(3)空间中任意两非零向量 a，b 共面( )(4)在向量的数量积运算中(ab)ca(bc)( )(5)对于非零向量 b，由 abbc，则 ac.( )(6)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同( )答案：(1) (2) (3) (4) (5) (6)二、填空题1如图，已知空间四边形 ABCD，则 等于13AB
4、13BC 13CD _答案：13AD 2已知 i，j，k 为标准正交基底，ai2j3k，则 a 在 i 方向上的投影为_答案：13若空间三点 A(1,5，2)， B(2,4,1)， C(p,3， q2)共线，则p_， q_.答案：3 24已知向量 a(1,0,1)，b(1,2,3)， kR，若 kab 与 b 垂直，则 k_.答案：7全 析 考 法 考法一 空间向量的线性运算 例 1 已知四边形 ABCD 为正方形， P 是 ABCD 所在平面外一点， P 在平面 ABCD 上的射影恰好是正方形的中心 O.Q 是 CD 的中点，求下列各题中 x， y 的值：(1) x y ；OQ PQ PC
5、PA (2) x y .PA PO PQ PD 解 (1)如图， ( )OQ PQ PO PQ 12 PA PC 3 ， x y .PQ 12PA 12PC 12(2) 2 ，PA PC PO 2 .PA PO PC 又 2 ， 2 .PC PD PQ PC PQ PD 从而有 2 (2 )2 2 .PA PO PQ PD PO PQ PD x2， y2.方法技巧用已知向量表示某一向量的 3 个关键点(1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量(
6、3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立 考法二 共线、共面向量定理的应用 例 2 已知 E， F， G， H 分别是空间四边形 ABCD 的边AB， BC， CD， DA 的中点，用向量方法求证：(1)E， F， G， H 四点共面；(2)BD平面 EFGH.证明 (1)如图，连接 BG，则 (EG EB BG EB 12 ) ，BC BD EB BF EH EF EH 由共面向量定理知： E， F， G， H 四点共面(2)因为 ( ) ，EH AH AE 12AD 12AB 12 AD AB 12BD 因为 E， H， B， D 四点不共线，所以 EH BD.又 EH平面 EF
7、GH， BD平面 EFGH，所以 BD平面 EFGH.方法技巧1证明空间三点 P， A， B 共线的方法(1) ( R)；PA PB (2)对空间任一点 O， t (tR)；OP OA AB 4(3)对空间任一点 O， x y (x y1)OP OA OB 2证明空间四点 P， M， A， B 共面的方法(1) x y ；MP MA MB (2)对空间任一点 O， x y ；OP OM MA MB (3)对空间任一点 O， x y z (x y z1)；OP OM OA OB (4) (或 或 ) PM AB PA MB PB AM 考法三 空间向量数量积的应用 例 3 如图，正方体 ABCD
8、A1B1C1D1中， E， F 分别是 C1D1， D1D 的中点若正方体的棱长为 1.求 cos ， CE AF 解 | | | |，CE C1E2 CC21 14 1 52 AF | | |cos ， cos ， CE AF CE AF CE AF 54 CE AF 又 ， ，CE CC1 C1E AF AD DF ( )( )CE AF CC1 C1E AD DF | | |1 .CC1 AD C1E AD CC1 DF C1E DF CC1 DF 12 12cos ， .CE AF 25方法技巧 空间向量数量积的 3 个应用求夹角 设向量 a，b 所成的角为 ，则 cos ，进而可求两
9、异面直线所成的角ab|a|b|求长度 运用公式|a| 2aa，可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题解决垂直问题利用 abab0(a0，b0)，可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题集 训 冲 关 1. 已知三棱锥 OABC，点 M， N 分别为 AB， OC 的中点，考 法 一 且 a， b， c，用 a，b，c 表示 ，则 等于( )OA OB OC MN MN 5A. (bca) B. (abc)12 12C. (abc) D. (cab)12 12解析：选 D ( )MN MA AO ON 12BA AO 12OC 12 OA OB (cab)AO 12OC 12OA 12O
10、B 12OC 122. O 为空间任意一点，若 ， 则 A， B， C， P 四点考 法 二 OP 34OA 18OB 18OC ( )A一定不共面 B一定共面C不一定共面 D无法判断解析：选 B 因为 ，且 1.所以 P， A， B， C 四点OP 34OA 18OB 18OC 34 18 18共面3. 如图所示，已知空间四边形 OABC， OB OC，且 考 法 三 AOB AOC ，则 cos ， 的值为_ 3 OA BC 解析：设 a， b， c，OA OB OC 由已知条件，得a，ba，c ， 3且|b|c|， a(cb)acabOA BC |a|c| |a|b|0，12 12 ，c
11、os ， 0.OA BC OA BC 答案：0突破点二 利用空间向量证明平行与垂直基 本 知 识 1两个重要向量直线的方向向量直线的方向向量是指和这条直线平行(或重合)的非零向量，一条直线的方向向量有无数个平面的法向量直线 l平面 ，取直线 l 的方向向量，则这个向量叫做平面 的法向量显然一个平面的法向量有无数个，它们是共线向量62空间中平行、垂直关系的向量表示设直线 l， m 的方向向量分别为 a，b，平面 ， 的法向量分别为 n1，n 2，则线线平行 l ma kb(kR)线面平行 l an 1an10面面平行 n1n 2n1 kn2(kR)线线垂直 l mab0线面垂直 l an 1a
12、kn1(kR)面面垂直 n1n 2n1n20基 本 能 力 一、判断题(对的打“” ，错的打“”)(1)直线的方向向量是唯一确定的( )(2)已知 (2,2,1)， (4,5,3)，则平面 ABC 的单位法向量是AB AC n0= .( )(13， 23， 23)(3)两条不重合的直线 l1和 l2的方向向量分别为 v1(1,0，1)， v2(2,0,2)，则l1与 l2的位置关系是平行( )(4)若 n1，n 2分别是平面 ， 的法向量，则 n1n 2 .( )答案：(1) (2) (3) (4)二、填空题1已知直线 l1的一个方向向量为(7,3,4)，直线 l2的一个方向向量为( x， y
13、,8)，且l1 l2，则 x_， y_.答案：14 62若平面 的一个法向量为 n1(3， y,2)，平面 的一个法向量为n2(6，2， z)，且 ，则 y z_.答案：33若直线 l 的方向向量为 a(1,0,2)，平面 的法向量为 n(3,0，6)，则 l与 的位置关系是_答案： l 全 析 考 法 考法一 向量法证明平行与垂直关系 例 1 如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是正方形，侧棱7PD底面 ABCD， PD DC， E 是 PC 的中点，作 EF PB 于点 F.(1)证明： PA平面 EDB；(2)证明： PB平面 EFD.证明：如图所示，建立空间直角坐标系， D
14、 是坐标原点，设 DC a.(1)连接 AC 交 BD 于 G，连接 EG.依题意得 A(a,0,0)， P(0,0， a)， E .(0，a2， a2)底面 ABCD 是正方形， G 是此正方形的中心故点 G 的坐标为 ，(a2， a2， 0)且 ( a,0， a)， ，PA EG (a2， 0， a2) 2 ， PA EG.PA EG 又 EG平面 EDB 且 PA平面 EDB， PA平面 EDB.(2)依题意得 B(a， a,0)， ( a， a， a)， ，PB DE (0， a2， a2)故 0 0， PB DE，PB DE a22 a22又 EF PB，且 EF DE E， PB平
15、面 EFD.方法技巧1利用空间向量证明平行的方法线线平行 证明两直线的方向向量共线线面平行证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行面面平行证明两平面的法向量为共线向量；转化为线面平行、线线平行问题2.利用空间向量证明垂直的方法线线垂直 证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零线面垂直证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示面面垂直 证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示8提醒 运用向量知识判定空间位置关系时，仍然离不开几何定理如用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行时，仍
16、需强调直线在平面外针对训练已知正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 2， E， F 分别是 BB1， DD1的中点，求证：(1)FC1平面 ADE；(2)平面 ADE平面 B1C1F.证明：建立空间直角坐标系如图，则有 D(0,0,0)， A(2,0,0)， C(0,2,0)， C1(0,2,2)， E(2,2,1)，F(0,0,1)， B1(2,2,2)，所以 (0,2,1)， (2,0,0)， (0,2,1)FC1 DA AE (1)设 n1( x1， y1， z1)是平面 ADE 的法向量，则 即 得Error!令 z12，则 y11，所以 n1(0，1,2)因为 n1220，所以
17、n，FC1 FC1 又因为 FC1平面 ADE，所以 FC1平面 ADE.(2) (2,0,0)，C1B1 设 n2( x2， y2， z2)是平面 B1C1F 的一个法向量，由 得 得Error!令 z22，得 y21，所以 n2 (0，1,2)，因为 n1n 2，所以平面 ADE平面 B1C1F.考法二 向量法解决垂直、平行关系中的探索性问题例 2 如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1中， E 是棱 DD1的中点在棱 C1D1上是否存在一点 F，使 B1F平面 A1BE？证明你的结论解 依题意，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，9则 A1
18、(0,0,1)， B(1,0,0)， B1(1,0,1)， E ， (1,0,1)， (0， 1，12) BA1 BE .( 1， 1，12)设 n( x， y， z)是平面 A1BE 的一个法向量，则由 得Error!所以 x z， y z.12取 z2，得 n(2,1,2)设棱 C1D1上存在点 F(t,1,1)(0 t1)满足条件，又因为 B1(1,0,1)，所以 ( t1,1,0)B1F 而 B1F平面 A1BE，于是 B1F平面 A1BE n0( t1,1,0)(2,1,2)02( t1)B1F 10 t F 为 C1D1的中点这说明在棱 C1D1上存在点 F(C1D1的中点)，使
19、B1F平面12A1BE.方法技巧向量法解决与垂直、平行有关的探索性问题的思路(1)根据题设条件中的垂直关系，建立适当的空间直角坐标系，将相关点、相关向量用坐标表示(2)假设所求的点或参数存在，并用相关参数表示相关点的坐标，根据线、面满足的垂直、平行关系，构建方程(组)求解，若能求出参数的值且符合该限定的范围，则存在，否则不存在 针对训练在正方体 ABCDA1B1C1D1中， E 是棱 BC 的中点，则在线段 CC1上是否存在一点 P，使得平面 A1B1P平面 C1DE？证明你的结论解：存在点 P，当点 P 为 CC1的中点时，平面 A1B1P平面 C1DE.证明如下：如图，以 D 点为原点，建
20、立空间直角坐标系设正方体的棱长为 1， P(0,1， a)(0 a1)，10则 D(0,0,0)， A1(1,0,1)， B1(1,1,1)， E ， C1(0,1,1)，(12， 1， 0) (0,1,0)， (1,1， a1)，A1B1 A1P ， (0,1,1)DE (12， 1， 0) DC1 设平面 A1B1P 的一个法向量 n1( x1， y1， z1)，则 Error!令 z11，则 x1 a1，n 1( a1,0,1)设平面 C1DE 的一个法向量 n2( x2， y2， z2)，则 Error!令 y21，得 x22， z21，n 2(2,1，1)若平面 A1B1P平面 C1DE，则 n1n20，2( a1)10，解得 a .12当 P 为 C1C 的中点时，平面 A1B1P平面 C1DE.11
