1、1第四节 直线、平面垂直的判定与性质突破点一 直线与平面垂直的判定与性质基 本 知 识 1直线和平面垂直的定义直线 l 与平面 内的任意一条直线都垂直，就说直线 l 与平面 互相垂直2直线与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言 图形语言 符号语言判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直Error! l 性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行 Error!a b3直线与平面所成的角(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条斜线和这个平面所成的角(2)线面角 的范围： .0， 2基 本 能 力 一、判断题(对的打“” ，错的打“”)(1)直线 l
2、 与平面 内的无数条直线都垂直，则 l .( )(2)若直线 a平面 ，直线 b ，则直线 a 与 b 垂直( )(3)直线 a ， b ，则 a b.( )答案：(1) (2) (3)二、填空题1过一点有_条直线与已知平面垂直答案：一2在三棱锥 PABC 中，点 P 在平面 ABC 中的射影为点 O，若 PA PB PC，则点 O 是 ABC 的_心若 PA PB， PB PC， PC PA，则点 O 是 ABC 的_心答案：外 垂3如图，已知 BAC90， PC平面 ABC，则在 ABC， PAC 的边所在的直线中，与 PC 垂直的直线有_；与2AP 垂直的直线有_解析：因为 PC平面 A
3、BC，所以 PC 垂直于直线 AB， BC， AC.因为 AB AC， AB PC， AC PC C，所以 AB平面 PAC，又因为 AP平面 PAC，所以 AB AP，与 AP 垂直的直线是 AB.答案： AB， BC， AC AB典例 (2019郑州一测)如图，在三棱锥 PABC 中，平面 PAB平面 ABC， AB6， BC2 ， AC2 ， D 为线段 AB 上的点，且3 6AD2 DB， PD AC.(1)求证： PD平面 ABC；(2)若 PAB ，求点 B 到平面 PAC 的距离 4解 (1)证明：连接 CD，据题知 AD4， BD2， AC2 BC2 AB2， ACB90，co
4、s ABC ，236 33 CD22 2(2 )2222 cos ABC8，3 3 CD2 ， CD2 AD2 AC2，则 CD AB.2平面 PAB平面 ABC， CD平面 PAB， CD PD， PD AC， AC CD C， PD平面 ABC.(2)由(1)得 PD AB， PAB ， 4 PD AD4， PA4 ，2在 Rt PCD 中， PC 2 ，PD2 CD2 6 PAC 是等腰三角形，可求得 S PAC8 .2设点 B 到平面 PAC 的距离为 d，由 VBPAC VPABC，得 S PACd S ABCPD，13 13 d 3.S ABCPDS PAC故点 B 到平面 PAC
5、 的距离为 3.3方法技巧证明直线与平面垂直的方法(1)定义法：若一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，则这条直线垂直于这个平面(不常用)；(2)判定定理(常用方法)；(3)若两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面(客观题常用)；(4)若一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，则它必垂直于另一个平面(客观题常用)；(5)若两平面垂直，则在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面(常用方法); (6)若两相交平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面的交线垂直于第三个平面(客观题常用) 针对训练(2019贵州模拟)如图，在直棱柱 ABCDA1B1C1D1中，底面 ABCD
6、为平行四边形，且 AB AD1， AA1 ， ABC60.62(1)求证： AC BD1；(2)求四面体 D1AB1C 的体积解：(1)证明：连接 BD，与 AC 交于点 O，因为四边形 ABCD 为平行四边形，且 AB AD，所以四边形 ABCD 为菱形，所以 AC BD.在直四棱柱 ABCDA1B1C1D1中， BB1平面 ABCD，可知 BB1 AC，则 AC平面 BB1D1D，又 BD1平面 BB1D1D，则 AC BD1.(2)VD1AB1C VABCDA1B1C1D1 VB1ABC VD1ACD VAA1B1D1 VCC1B1D1 VABCDA1B1C1D14 VB1ABC 432
7、 62 .13 34 62 24突破点二 平面与平面垂直的判定与性质基 本 知 识 1平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的定义：两个平面相交， 如果它们所成的二面角是直二面角，就4说这两个平面互相垂直(2)平面与平面垂直的判定定理与性质定理：文字语言 图形语言 符号语言判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直 Error! 性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直Error!l 2二面角的有关概念(1)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角(2)二面角的平面角：过二面角棱上的任一点，在两个半平面内分别作与棱垂直的射线，则两射线所成的角叫做
8、二面角的平面角(3)二面角 的范围： .0， 基 本 能 力 一、判断题(对的打“” ，错的打“”)(1)若 ， a a .( )(2)若平面 内的一条直线垂直于平面 内的无数条直线，则 .( )(3)如果平面 平面 ，那么平面 内所有直线都垂直于平面 .( )答案：(1) (2) (3)二、填空题1 m， n 为直线， ， 为平面，若 m ， m n， n ，则 与 的位置关系为_答案：垂直2设 ， 为两个不同的平面，直线 l ，则“ l ”是“ ”成立的_条件答案：充分不必要3已知 PD 垂直于正方形 ABCD 所在的平面，连接PB， PC， PA， AC， BD，则一定互相垂直的平面有_
9、对解析：由于 PD平面 ABCD，故平面 PAD平面 ABCD，平面 PDB平面 ABCD，平面 PDC平面 ABCD，平面 PDA平面 PDC，平面 PAC平面 PDB，平面 PAB平面 PAD, 平面 PBC平面 PDC，共 7 对5答案：7典例 (2019开封定位考试)如图，在三棱锥 DABC 中，AB2 AC2， BAC60， AD ， CD3，平面 ADC平面 ABC.6(1)证明：平面 BDC平面 ADC；(2)求三棱锥 DABC 的体积解 (1)证明：在 ABC 中，由余弦定理可得，BC AB2 AC2 2ABACcos BAC ，4 1 22112 3 BC2 AC2 AB2，
10、 BC AC，平面 ADC平面 ABC，平面 ADC平面 ABC AC， BC平面 ADC，又 BC平面 BDC，平面 BDC平面 ADC.(2)由余弦定理可得 cos ACD ，23sin ACD ，53 S ACD ACCDsin ACD ，12 52则 VDABC VBADC BCS ACD .13 156方法技巧 面面垂直判定的两种方法与一个转化两种方法(1)面面垂直的定义；(2)面面垂直的判定定理( a ， a )一个转化在已知两个平面垂直时，一般要用性质定理进行转化在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直针对训练(2019洛阳一模)如图，在四棱锥 EABC
11、D 中， EAD 为等边三角形，底面 ABCD 为等腰梯形，满足 AB CD， AD DC AB，且12AE BD.(1)证明：平面 EBD平面 EAD；(2)若 EAD 的面积为 ，求点 C 到平面 EBD 的距离36解：(1)证明：如图，取 AB 的中点 M，连接 DM，则由题意可知四边形 BCDM 为平行四边形， DM CB AD AB，即点 D 在以线段 AB 为直径的圆上，12 BD AD，又 AE BD，且 AE AD A， BD平面 EAD. BD平面 EBD，平面 EBD平面 EAD.(2) BD平面 EAD，且 BD平面 ABCD，平面 ABCD平面 EAD.等边 EAD 的
12、面积为 ，3 AD AE ED2，取 AD 的中点 O，连接 EO，则 EO AD， EO ，3平面 EAD平面 ABCD，平面 EAD平面 ABCD AD， EO平面 ABCD.由(1)知 ABD， EBD 都是直角三角形， BD 2 ，AB2 AD2 3S EBD EDBD2 ，12 3设点 C 到平面 EBD 的距离为 h，由 VCEBD VEBCD，得 S EBDh S BCDEO，13 13又 S BCD BCCDsin 120 ，12 3 h .点 C 到平面 EBD 的距离为 .32 32突破点三 平行与垂直的综合问题1平行关系之间的转化在证明线面、面面平行时，一般遵循从“低维”
13、到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行” ，再到“面面平行” ；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向是由题目的具体条件而定的，不可过于“模式化” 2垂直关系之间的转化在证明线面垂直、面面垂直时，一定要注意判定定理成立的条件同时抓住线线、线7面、面面垂直的转化关系，即：在证明两平面垂直时，一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线在图中不存在，则可通过作辅助线来解决典例 (2018北京高考)如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为矩形，平面 PAD平面 ABCD， PA PD， PA PD， E， F分别为 AD， PB 的中点(1)求证： PE B
14、C；(2)求证：平面 PAB平面 PCD；(3)求证： EF平面 PCD.证明 (1)因为 PA PD， E 为 AD 的中点，所以 PE AD.因为底面 ABCD 为矩形，所以 BC AD，所以 PE BC.(2)因为底面 ABCD 为矩形，所以 AB AD.又因为平面 PAD平面 ABCD，平面 PAD平面 ABCD AD， AB平面 ABCD，所以 AB平面 PAD，因为 PD平面 PAD，所以 AB PD.又因为 PA PD， AB PA A，所以 PD平面 PAB.因为 PD平面 PCD，所以平面 PAB平面 PCD.(3)如图，取 PC 的中点 G，连接 FG， DG.因为 F，
15、G 分别为 PB， PC 的中点，所以 FG BC， FG BC.12因为四边形 ABCD 为矩形，且 E 为 AD 的中点，所以 DE BC， DE BC.12所以 DE FG， DE FG.所以四边形 DEFG 为平行四边形所以 EF DG.8又因为 EF平面 PCD， DG平面 PCD，所以 EF平面 PCD.方法技巧平行与垂直的综合问题主要是利用平行关系、垂直关系之间的转化去解决注意遵循“空间到平面” “低维”到“高维”的转化关系 针对训练(2019北京西城区期末)如图，在多面体 ABCDEF 中，底面ABCD 是边长为 2 的正方形，四边形 BDEF 是矩形，平面 BDEF平面ABC
16、D， BF3， G， H 分别是 CE， CF 的中点(1)求证： AC平面 BDEF；(2)求证：平面 BDGH平面 AEF.证明：(1)因为四边形 ABCD 是正方形，所以 AC BD.又平面 BDEF平面 ABCD，平面 BDEF平面 ABCD BD，且 AC平面 ABCD，所以 AC平面 BDEF.(2)在 CEF 中，因为 G， H 分别是 CE， CF 的中点，所以 GH EF.又 GH平面 AEF， EF平面 AEF，所以 GH平面 AEF.设 AC BD O，连接 OH，如图在 ACF 中，因为 O， H 分别为 CA， CF 的中点，所以 OH AF.因为 OH平面 AEF， AF平面 AEF，所以 OH平面 AEF.因为 OH GH H， OH， GH平面 BDGH，所以平面 BDGH平面 AEF.9
