1、1第一节 排列与组合突破点一 两个计数原理基 本 知 识 1分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第 1 类方案中有 m 种不同的方法，在第 2 类方案中有n 种不同的方法，那么完成这件事共有 N m n 种不同的方法2分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤，做第 1 步有 m 种不同的方法，做第 2 步有 n 种不同的方法，那么完成这件事共有 N mn 种不同的方法3两个计数原理的比较名称 分类加法计数原理 分步乘法计数原理相同点 都是解决完成一件事的不同方法的种数问题运用加法运算 运用乘法运算不同点分类完成一件事，并且每类办法中的每种方法都能独立完成这件事情，要注意“类”与“类”之间
2、的独立性和并列性分类计数原理可利用“并联”电路来理解分步完成一件事，并且只有各个步骤都完成才算完成这件事情，要注意“步”与“步”之间的连续性分步计数原理可利用“串联”电路来理解基 本 能 力 一、判断题(对的打“” ，错的打“”)(1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同( )(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事( )(3)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的( )答案：(1) (2) (3)二、填空题1三个人踢毽子，互相传递，每人每次只能踢一下，由甲开始踢，经过 4 次传递后，毽子又被踢回给甲，则不同的传递方式共有_种答案：6
3、2某电话局的电话号码为 139，若前六位固定，最后五位数字是由6 或 8 组成的，则这样的电话号码的个数为_2答案：323用数字 0,1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数，其中比 40 000 大的偶数共有_个答案：120全 析 考 法 考法一 分类加法计数原理与分步乘法计数原理例 1 (1)已知集合 M3，2，1,0,1,2， P(a， b)(a， b M)表示平面上的点，则 P 可表示坐标平面上第二象限的点的个数为( )A6 B12C24 D36(2)在三位正整数中，若十位数字小于个位和百位数字，则称该数为“驼峰数” 比如“102”， “546”为“驼峰数” ，由数字 1,2,3,
4、4 可构成无重复数字的“驼峰数”有_个解析 (1)确定第二象限的点，可分两步完成：第一步确定 a，由于 a0，所以有 3 种方法；第二步确定 b，由于 b0，所以有 2 种方法由分步乘法计数原理，得到第二象限的点的个数是 326.(2)十位数的数为 1 时，有 213,214,312,314,412,413，共 6 个，十位上的数为 2 时，有 324,423，共 2 个，所以共有 628(个)答案 (1)A (2)8易 错 提 醒 (1)分类时，注意完成这件事的任何一种方法必须属于某一类，不能重复(2)利用分步乘法计数原理解决问题时要注意按事件发生的过程来合理分步，即分步是有先后顺序的，并且
5、分步必须满足：完成一件事的各个步骤是相互依存的，只有各个步骤都完成了，才算完成这件事 考法二 两个计数原理的综合应用 在解决实际问题的过程中，并不一定是单一的分类或分步，而可能是同时应用两个计数原理，即分类时，每类的方法可能要运用分步完成，而分步时，每步的方法数可能会采取分类的思想求解分类的关键在于做到“不重不漏” ，分步的关键在于正确设计分步的程序，即合理分类，准确分步例 2 如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”3的个数是( )A48 B18C24 D36解析 分类讨论：第 1 类，对
6、于每一条棱，都可以与两个侧面构成“正交线面对” ，这样的“正交线面对”有 21224 个；第 2 类，对于每一条面对角线，都可以与一个对角面构成“正交线面对” ，这样的“正交线面对”有 12 个所以正方体中“正交线面对”共有 241236(个)答案 D方法技巧使用两个计数原理进行计数的基本思想对需用两个计数原理解决的综合问题要“先分类，再分步” ，即先分为若干个“既不重复也不遗漏”的类，再对每类中的计数问题分成若干个“完整的步骤” ，求出每个步骤的方法数，按照分步乘法计数原理计算各类中的方法数，最后再按照分类加法计数原理得出总数 集 训 冲 关 1. 教学大楼共有五层，每层均有两个楼梯，由一层
7、到五层的走法有( )考 法 一 A10 种 B2 5种C5 2种 D2 4种解析：选 D 每相邻的两层之间各有 2 种走法，共分 4 步由分步乘法计数原理可知，共有 24种不同的走法2. 如图，从 A 到 O 有_种不同的走法(不重复过一点)考 法 一 解析：分 3 类：第一类，直接由 A 到 O，有 1 种走法；第二类，中间过一个点，有 A B O 和 A C O 2 种不同的走法；第三类，中间过两个点，有 A B C O 和 A C B O 2 种不同的走法由分类加法计数原理可得共有 1225 种不同的走法答案：53. 如图所示，用 4 种不同的颜色涂入图中的矩形考 法 二 A， B， C
8、， D 中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有_解析：按要求涂色至少需要 3 种颜色，故分两类：一是 4 种颜色都用，这时 A 有 4 种涂法， B 有 3 种涂法， C 有 2 种涂法， D 有 1 种涂法，共有432124(种)涂法；二是用 3 种颜色，这时 A， B， C 的涂法有 43224(种)， D4只要不与 C 同色即可，故 D 有 2 种涂法，所以不同的涂法共有 2424272(种)答案：72 种突破点二 排列、组合基 本 知 识 1排列与排列数排列从 n 个不同元素中取出 m(m n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列排列数
9、从 n 个不同元素中取出 m(m n)个元素的所有不同排列的个数叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数，记作 Amn2.组合与组合数组合从 n 个不同元素中取出 m(m n)个元素合成一组，叫做从 n 个不同元素中取出 m个元素的一个组合组合数从 n 个不同元素中取出 m(m n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数，记作 Cmn3排列数、组合数的公式及性质排列数 组合数公式A n(n1)( n2)( n m1)mnn！ n m ！ C mnAmnAm n n 1 n m 1m！n！m！ n m ！性质A n！；0！1n C 1；0nC C _
10、；mn n mnC C Cmn m 1n mn 1备注 n， mN *且 m n基 本 能 力 一、判断题(对的打“” ，错的打“”)(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列( )(2)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同( )(3)若组合式 C C ，则 x m 成立( )xn mn(4)(n1)！ n！ nn！.( )5(5)A nA .( )mn m 1n(6)kC nC .( )kn k 1n答案：(1) (2) (3) (4) (5) (6)二、填空题1某考生填报某高校专业意向，打算从 5 个专业中挑选 3 个，分别作为第一、第二、第三志愿，则不同的填法有_种答案：602用
11、1,2,3,4,5,6 组成数字不重复的六位数，满足 1 不在左、右两端，2,4,6 三个偶数中有且只有两个偶数相邻，则这样的六位数的个数为_答案：2883甲、乙、丙、丁四位同学各自在周六、周日两天中随机选一天郊游，则周六、周日都有同学参加郊游的情况共有_种答案：14全 析 考 法 考法一 排列问题 例 1 3 名女生和 5 名男生排成一排(1)如果女生全排在一起，有多少种不同排法？(2)如果女生都不相邻，有多少种排法？(3)如果女生不站两端，有多少种排法？解 (1)(捆绑法)由于女生排在一起，可把她们看成一个整体，这样同五个男生合在一起有 6 个元素，排成一排有 A 种排法，而其中每一种排法
12、中，三个女生间又有 A 种排6 3法，因此共有 A A 4 320 种不同排法6 3(2)(插空法)先排 5 个男生，有 A 种排法，这 5 个男生之间和两端有 6 个位置，从中5选取 3 个位置排女生，有 A 种排法，因此共有 A A 14 400 种不同排法36 5 36(3)法一：(位置分析法)因为两端不排女生，只能从 5 个男生中选 2 人排列，有 A 种25排法，剩余的位置没有特殊要求，有 A 种排法，因此共有 A A 14 400 种不同排法6 25 6法二：(元素分析法)从中间 6 个位置选 3 个安排女生，有 A 种排法，其余位置无限制，36有 A 种排法，因此共有 A A 1
13、4 400 种不同排法5 36 5方法技巧 求解排列应用题的 6 种主要方法直接法 把符合条件的排列数直接列式计算优先法 优先安排特殊元素或特殊位置捆绑法 把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列6插空法对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的间隔中先整体后局部“小集团”排列问题中先整体后局部间接法 正难则反，等价转化的方法考法二 组合问题 例 2 某市工商局对 35 种商品进行抽样检查，已知其中有 15 种假货现从 35 种商品中选取 3 种(1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？(2)其中某一种假货不能在内，不同的取
14、法有多少种？(3)恰有 2 种假货在内，不同的取法有多少种？解 (1)从余下的 34 种商品中，选取 2 种有 C 561 种取法，234某一种假货必须在内的不同取法有 561 种(2)从 34 种可选商品中，选取 3 种，有 C 种取法34某一种假货不能在内的不同取法有 5 984 种(3)从 20 种真货中选取 1 种，从 15 种假货中选取 2 种有 C C 2 100 种取法120215恰有 2 种假货在内的不同的取法有 2 100 种方 法 技 巧 组合问题的 2 种题型及解法(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含” ，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含” ，则
15、先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取(2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理 集 训 冲 关 1. 六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不考 法 一 同的排法共有( )A192 种 B216 种C240 种 D288 种解析：选 B 第一类：甲在左端，有 A 120 种排法；57第二类：乙在最左端，甲不在最右端，有 4A 96 种排法；4所以共有 12096216 种排法2. 在某校 2018 年举办的第 32 届秋季运动会上，甲、乙两位同学从四个不同考 法 二 的运动项目中各选两个项目报名，则甲、乙两位同学所选的项目中至少有 1 个不相同的选法种数为( )A30 B36C60 D72解析：选 A 因为甲、乙两位同学从四个不同的项目中各选两个项目的选法有 C C24种其中甲、乙所选的项目完全相同的选法有 C 种，所以甲、乙所选的项目中至少有 124 24个不相同的选法共有 C C C 30(种)故选 A.2424 248
