1、2017年上海市高考模拟数学 一、填空题 (本大题满分 54 分， 1-6每小题 4分， 7-12每小题 4分 ) 1.计算： 4321=_. 解析：利用二阶行列式对角线法则直接求解 . 答案： -2. 2.设函数 f(x)= x 的反函数是 f-1(x)，则 f-1(4)=_. 解析：先求出 x=y2， y 0，互换 x， y，得 f-1(x)=x2， x 0，由此能求出 f-1(4). 答案： 16. 3.已知复数 z=1+ 3 i(i为虚数单位 )，则 |z|=_. 解析：利用复数模的计算公式即可得出 . 答案： 2. 4.函数 f(x)=sinx+ 3 cosx，若存在锐角满足 f(
2、)=2，则 =_. 解析：运用两角和的正弦公式和特殊角的正弦函数值，计算即可得到所求值 . 答案：6. 5.已知球的半径为 R，若球面上两点 A， B的球面距离为3R，则这两点 A， B间的距离为 _. 解析：两点 A、 B间的球面距离为3R，可得 AOB=3，即可求出两点 A， B间的距离 . 答案： R. 6.若 (2+x)n的二项展开式中，所有二项式的系数和为 256，则正整数 n=_. 解析：由题意可得： 2n=256，解得 n=8. 答案： 8. 7.设 k为常数，且 cos(4- )=k，则用 k表示 sin2的式子为 sin2 =_. 解析：利用两角差的余弦函数公式化简已知等式，
3、进而两边平方利用二倍角的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式即可求解 . 答案： sin2 =2k2-1. 8.设椭圆 2 24x y=1 的两个焦点为 F1， F2， M 是椭圆上任一动点，则12MF MF的取值范围为 _. 解析：由题意可知：焦点坐标为 F1(- 3 ， 0)， F2( 3 ， 0)，设点 M 坐标为 M(x， y)，可得y2=1- 24x，12MF MF=(- 3 -x， -y) ( 3 -x， -y)=x2-3+1- 24x= 234x-2，则 x2 0， 4，12MF MF的取值范围为 -2， 1. 答案： -2， 1. 9.在 ABC中，内角 A， B， C的对边分
4、别是 a， b， c，若 a2-b2= 3 bc， sinC=2 3 sinB，则A角大小为 _. 解析：先利用正弦定理化简 sinC=2 3 sinB，得到 c与 b的关系式，代入 a2-b2= 3 bc 中得到 a2与 b2的关系式，然后利用余弦定理表示出 cosA，把表示出的关系式分别代入即可求出cosA的值，根据 A的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出 A的值 . 答案：6. 10.设 f(x)=lgx，若 f(1-a)-f(a) 0，则实数 a的取值范围为 _. 解析：由题意， f(x)=lgx在 (0， + )上单调递增，利用 f(-a)-f(a) 0，可得 -a a 0，即可求
5、出实数 a的取值范围 . 答案： (0， 12). 11.已知数列 an满足： a1=1， an+1+an=(13)n， n N*，则2lim nn a=_. 解析：由已知推导出 S2n=38(1-213n)， S2n-1=1+18(1-2113n)，从而 a2n=S2n-S2n-1=38(1-213n)-1+18(1-2113n)，由此能求出2lim nn a. 答案： -34. 12.已知 ABC的面积为 360，点 P是三角形所在平面内一点，且 1144A P A B A C，则PAB的面积为 _. 解析：取 AB 的中点 D， AC的中点 E，则 P为 DE 的中点，利用相似比，可得结
6、论 . 答案： 90. 二、选择题 (本大题满分 20 分 ) 13.已知集合 A=x|x -1，则下列选项正确的是 ( ) A.0 A B.0 A C. A D.0 A 解析：根据元素与集合的关系，用，集合与集合的关系，用 ，可得结论 . 答案： B. 14.设 x， y R，则“ |x|+|y| 1”的一个充分条件是 ( ) A.|x| 1 B.|x+y| 1 C.y -2 D.|x| 12且 |y| 12解析：根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可 . 答案： C. 15.图中曲线的方程可以是 ( ) A.(x+y-1) (x2+y2-1)=0 B. 1xy (x2+y2-1)=0 C
7、.(x+y-1) 221xy=0 D. 1xy 221xy=0 解析：由图象可知曲线的方程可以是 x2+y2=1或 x+y-1=0(x2+y2 1)，即可得出结论 . 答案： C. 16.已知非空集合 M满足：对任意 x M，总有 x2 M且 x M，若 M 0， 1， 2， 3， 4， 5，则满足条件 M的个数是 ( ) A.11 B.12 C.15 D.16 解析：由题意 M 是集合 2， 3， 4， 5的非空子集，且 2， 4不同时出现，同时出现有 4个，即可得出结论 . 答案： A. 三、解答题 (本大题满分 76 分 ) 17.已知 A是圆锥的顶点， BD是圆锥底面的直径， C是底面
8、圆周上一点， BD=2， BC=1， AC 与底面所成角的大小为3，过点 A作截面 ABC， ACD，截去部分后的几何体如图所示 . (1)求原来圆锥的侧面积； (2)求该几何体的体积 . 解析： (1)设 BD的中点为 O，连结 OA， OC，则 OA平面 BCD.由经能求出 S 圆锥侧 . (2)该几何体的体积 V=13(S BCD+S 半圆 ) AO，由此能求出结果 . 答案： (1)设 BD的中点为 O，连结 OA， OC， A是圆锥的顶点， BD 是圆锥底面的直径， OA平面 BCD. BD=2， BC=1， AC与底面所成角的大小为3，过点 A作截面 ABC， ACD， 在 Rt
9、AOC中， OC=1， ACO=3， AC=2， AO= 3 ， S 圆锥侧 = rl= 22 2=2 . (2)该几何体为三棱锥与半个圆锥的组合体， AO= 3 ， BCD=90， CD= 3 ， 该几何体的体积 V=13(S BCD+S 半圆 ) AO= 1 1 3 31 3 33 2 2 6() . 18.已知双曲线： 22xyab=1(a 0， b 0)，直线 l： x+y-2=0， F1， F2为双曲线的两个焦点， l与双曲线的一条渐近线平行且过其中一个焦点 . (1)求双曲线的方程； (2)设与 l的交点为 P，求 F1PF2的角平分线所在直线的方程 . 解析： (1)依题意，双曲
10、线的渐近线方程为 y= x，焦点坐标为 F1(-2， 0)， F2(2， 0)，即可求双曲线的方程； (2)设与 l 的交点为 P，求出 P 的坐标，利用夹角公式，即可求 F1PF2的角平分线所在直线的方程 . 答案： (1)依题意，双曲线的渐近线方程为 y= x，焦点坐标为 F1(-2， 0)， F2(2， 0)， 双曲线方程为 x2-y2=2； (2) 22220xyxy P(32 ， 12 )，显然 F1PF2的角平分线所在直线斜率 k 存在，且 k 0，117PFk ， 2PFk =-1，于是 121211P F P FP F P Fk k k kk k k kk=3. y-12=3(
11、x-32) 3x-y-4=0为所求 . 19.某租车公司给出的财务报表如下： 有投资者在研究上述报表时，发现租车公司有空驶情况，并给出空驶率的计算公式为 T= t akak 100%. (1)分别计算 2014， 2015年该公司的空驶率的值 (精确到 0.01%)； (2)2016 年该公司加强了流程管理，利用租车软件，降低了空驶率并提高了平均每单里程，核算截止到 11 月 30 日，空驶率在 2015 年的基础上降低了 20 个百分点，问 2016 年前 11个月的平均每单油费和平均每单里程分别为多少？ (分别精确到 0.01元和 0.01 公里 ) 解析： (1)根据空驶率的计算公式为
12、T=t akak 100%，带入计算即可； (2)根据 T2016的值，求出 k 的值，从而求出 2016 年前 11 个月的平均每单油费和平均每单里程 . 答案： (1)T2014=1 4 .8 2 0 .7 1 50 .7 1 5 100% 41.14%， T2015=1 4 .4 9 0 .7 1 50 .7 1 5 100% 38.00%， 2014、 2015年，该公司空驶率分别为 41.14%和 38.00%. (2)t2016= 65321496350331996 12.98， T2016=38%-20%=18%. 由 T2016=12.98 0.70.7 kk 100% 18.
13、00% k=15.71， 2016年前 11个月的平均每单油费为 12.98元， 平均每单里程为 15.71km. 20.已知数列 an， bn与函数 f(x)， an是首项 a1=15，公差 d 0 的等差数列， bn满足：bn=f(an). (1)若 a4， a7， a8成等比数列，求 d的值； (2)若 d=2， f(x)=|x-21|，求 bn的前 n项和 Sn； (3)若 d=-1， f(x)=ex， Tn=b1 b2 b3 bn，问 n为何值时， Tn的值最大？ 解析： (1)由 a4， a7， a8成等比数列，可得 27a=a4 a8，可得 (15+6d)2=(15+3d)(15
14、+7d)，化简解出即可得出 . (2)依题意， an=15+2(n-1)=2n+13， bn=|2n-8|，对 n分类讨论，利用等差数列的求和公式即可得出 . (3)依题意， an=15-(n-1)=16-n， bn=e16-n，利用指数运算性质、等差数列的求和公式及其二次函数的单调性即可得出 . 答案： (1) a4， a7， a8成等比数列， 27a=a4 a8， (15+6d)2=(15+3d)(15+7d)，化为： d2+2d=0， d 0， d=-2. (2)依题意， an=15+2(n-1)=2n+13， bn=|2n-8|， bn=|2n-8|= 8 2 42 8 4nnnn，
15、， Sn=|b1|+|b2|+|b3|+ +|bn|= 22747 2 4 4n n nn n n ， . (3)依题意， an=15-(n-1)=16-n， bn=e16-n， Tn=b1 b2 b3 bn= 212 1 312n nna a aee ， 当 n=15或 16时， Tn最大 . 21.对于函数 f(x)，若存在实数 m，使得 f(x+m)-f(m)为 R 上的奇函数，则称 f(x)是位差值为 m的“位差奇函数” . (1)判断函数 f(x)=2x+1和 g(x)=2x是否为位差奇函数？说明理由； (2)若 f(x)=sin(x+ )是位差值为4的位差奇函数，求的值； (3)若
16、 f(x)=x3+bx2+cx 对任意属于区间 -12， + )中的 m 都不是位差奇函数，求实数 b， c满足的条件 . 解析： (1)根据“位差奇函数”的定义 .考查 h(x)=g(x+m)-g(m)=2x+m-2m=2m(2x-1)即可， (2)依题意， f(x+4)-f(4)=sin(x+4+ )-sin(4+ )是奇函数，求出； (3)记 h(x)=f(x+m)-f(m)=(x+m)3+b(x+m)2+c(x+m)-m3-bm2-cm=x3+(3m+b)x2+(3m2+2bm+c)x.假设 h(x)是奇函数，则 3m+b=0，此时 b=-3m 32.故要使 h(x)不是奇函数，必须且
17、只需 b 32. 答案： (1)对于 f(x)=2x+1， f(x+m)-f(m)=2(x+m)+1-(2m+1)=2x， 对任意实数 m， f(x+m)-f(m)是奇函数， 即 f(x)是位差值为任意实数 m的“位差奇函数”； 对于 g(x)=2x，记 h(x)=g(x+m)-g(m)=2x+m-2m=2m(2x-1)， 由 h(x)+h(-x)=2m(2x-1)+2m(2-x-1)=0，当且仅当 x=0等式成立， 对任意实数 m， g(x+m)-g(m)都不是奇函数，则 g(x)不是“位差奇函数”； (2)依题意， f(x+4)-f(4)=sin(x+4+ )-sin(4+ )是奇函数，4+ =k =k -4(k Z). (3)记 h(x)=f(x+m)-f(m)=(x+m)3+b(x+m)2+c(x+m)-m3-bm2-cm=x3+(3m+b)x2+(3m2+2bm+c)x. 依题意， h(x)对任意 m -12， + )都不是奇函数， 若 h(x)是奇函数，则 3m+b=0，此时 b=-3m 32. 故要使 h(x)不是奇函数，必须且只需 b 32，且 c R.
