1、2017年福建省中考数学 一、选择题：本题共 10 小题，每小题 4分，共 40 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1. 3的相反数是 ( ) A. 3 B. 13C.13D.3 解析： 3的相反数是 3 答案： A. 2.如图，由四个正方体组成的几何体的左视图是 ( ) A. B. C. D. 解析：图形的左视图为： . 答案： B. 3.用科学记数法表示 136 000，其结果是 ( ) A.0.136 106 B.1.36 105 C.136 103 D.136 106 解析：用科学记数法表示 136 000，其结果是 1.36 105. 答案： B. 4.化
2、简 (2x)2的结果是 ( ) A.x4 B.2x2 C.4x2 D.4x 解析： (2x)2=4x2. 答案： C. 5.下列关于图形对称性的命题，正确的是 ( ) A.圆既是轴对称性图形，又是中心对称图形 B.正三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形 C.线段是轴对称图形，但不是中心对称图形 D.菱形是中心对称图形，但不是轴对称图形 解析： A、圆既是轴对称性图形，又是中心对称图形，故 A符合题意； B、正三角形既是轴对称图形，不是中心对称图形，故 B不符合题意； C、线段是轴对称图形，是中心对称图形，故 C不符合题意； D、菱形是中心对称图形，是轴对称图形，故 D符合题意 . 答案： A
3、. 6.不等式组： 2030xx 的解集是 ( ) A. 3 x 2 B. 3 x 2 C.x 2 D.x 3 解析： 2030xx 解不等式 得： x 2， 解不等式 得： x 3， 不等式组的解集为： 3 x 2， 答案： A. 7.某校举行 “ 汉字听写比赛 ” ， 5 个班级代表队的正确答题数如图 .这 5 个正确答题数所组成的一组数据的中位数和众数分别是 ( ) A.10， 15 B.13， 15 C.13， 20 D.15， 15 解析：把这组数据从小到大排列： 10、 13、 15、 15、 20， 最中间的数是 15， 则这组数据的中位数是 15； 15出现了 2次，出现的次数
4、最多，则众数是 15. 答案： D. 8.如图， AB 是 O的直径， C， D 是 O上位于 AB 异侧的两点 .下列四个角中，一定与 ACD互余的角是 ( ) A. ADC B. ABD C. BAC D. BAD 解析：连接 BC，如图所示： AB是 O的直径， ACB= ACD+ BCD=90 ， BCD= BAD， ACD+ BAD=90. 答案： D. 9.若直线 y=kx+k+1经过点 (m， n+3)和 (m+1， 2n 1)，且 0 k 2，则 n的值可以是 ( ) A.3 B.4 C.5 D.6 解析：依题意得： 312 1 1n k m kn k m k k ， k=n
5、4， 0 k 2， 0 n 4 2， 4 n 6. 答案： C. 10.如图，网格纸上正方形小格的边长为 1.图中线段 AB和点 P绕着同一个点做相同的旋转，分别得到线段 AB和点 P，则点 P所在的单位正方形区域是 ( ) A.1区 B.2区 C.3区 D.4区 解析：如图，连接 AA 、 BB ，分别作 AA 、 BB 的中垂线，两直线的交点即为旋转中心， 由图可知，线段 AB和点 P绕着同一个该点逆时针旋转 90 ， 点 P逆时针旋转 90 后所得对应点 P 落在 4区 . 答案： D. 二、填空题：本题共 6 小题，每小题 4分，共 24分 . 11.计算 | 2| 30=_. 解析：
6、原式 =2 1 =1. 答案： 1. 12.如图， ABC中， D， E分别是 AB， AC的中点，连线 DE.若 DE=3，则线段 BC的长等于 _. 解析： ABC中， D， E分别是 AB， AC的中点， DE是 ABC的中位线 . DE=3， BC=2DE=6. 答案： 6. 13.一个箱子装有除颜色外都相同的 2 个白球， 2 个黄球， 1个红球 .现添加同种型号的 1 个球，使得从中随机抽取 1个球，这三种颜色的球被抽到的概率都是 13，那么添加的球是 _. 解析： 这三种颜色的球被抽到的概率都是 13， 这三种颜色的球的个数相等， 添加的球是红球 . 答案：红球 . 14.已知
7、A， B， C是数轴上的三个点，且 C在 B的右侧 .点 A， B表示的数分别是 1， 3，如图所示 .若 BC=2AB，则点 C表示的数是 _. 解析： 点 A， B表示的数分别是 1， 3， AB=3 1=2， BC=2AB=4， OC=OA+AB+BC=1+2+4=7， 点 C表示的数是 7. 答案： 7. 15.两个完全相同的正五边形都有一边在直线 l 上，且有一个公共顶点 O，其摆放方式如图所示，则 AOB等于 _度 . 解析：如图 由正五边形的内角和，得 1= 2= 3= 4=108 ， 5= 6=180 108=72 ， 7=180 72 72=36 . AOB=360 108
8、108 36=108 ， 答案： 108. 16.已知矩形 ABCD的四个顶点均在反比例函数 1yx的图象上，且点 A的横坐标是 2，则矩形 ABCD的面积为 _. 解析：如图所示，根据点 A在反比例函数 1yx的图象上，且点 A的横坐标是 2，可得 A(2，12 )， 根据矩形和双曲线的对称性可得， B(12， 2)， D( 12， 2)， 由 两 点 间 距 离 公 式 可 得 ， 221 1 32 2 22 2 2AB ，221 1 52 2 22 2 2AD ， 矩形 ABCD的面积 =AB AD= 3 5 1 5222 2 2， 答案 ： 152. 三、解答题：本题共 9 小题，共
9、86分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 17.先化简，再求值：211 1aaa，其中 a= 2 1. 解析： 根据分式的运算法则即可求出答案 . 答案 ：当 a= 2 1时 原式 = 1 11aaa a a = 11a= 2218.如图，点 B、 E、 C、 F在同一直线上， AB=DE， AC=DF， BE=CF.求证： A= D. 解析： 证明 BC=EF，然后根据 SSS即可证明 ABC DEF，然后根据全等三角形的对应边相等即可证得 . 答案 ： BE=DF， BC=EF， 在 ABC和 DEF中， AB DEAC DFBC EF ， ABC DEF(SSS). A= D
10、. 19.如图， ABC中， BAC=90 ， AD BC，垂足为 D.求作 ABC 的平分线，分别交 AD， AD于 P， Q两点；并证明 AP=AQ.(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法 ) 解析： 根据角平分线的性质作出 BQ 即可 .先根据垂直的定义得出 ADB=90 ，故 BPD+PBD=90 . 再根据余角的定义得出 AQP+ ABQ=90 ，根据角平分线的性质得出 ABQ= PBD，再由 BPD= APQ可知 APQ= AQP，据此可得出结论 . 答案 ： BQ就是所求的 ABC 的平分线， P、 Q就是所求作的点 . 证明： AD BC， ADB=90 ， BPD+ PBD
11、=90 . BAC=90 ， AQP+ ABQ=90 . ABQ= PBD， BPD= AQP. BPD= APQ， APQ= AQP， AP=AQ. 20.我国古代数学著作孙子算经中有 “ 鸡兔同笼 ” 问题： “ 今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足 .问鸡兔各几何 .” 其大意是： “ 有若干只鸡和兔关在同一笼子里，它们一共有 35 个头， 94 条腿 .问笼中的鸡和兔各有多少只？ ” 试用列方程 (组 )解应用题的方法求出问题的解 . 解析： 设鸡有 x只，兔有 y只，根据等量关系：上有三十五头，下有九十四足，可分别得出方程，联立求解即可得出答案 . 答案 ：设鸡有 x只，兔有 y
12、只，鸡有一个头，两只脚，兔有 1个头，四只脚， 结合上有三十五头，下有九十四足可得： 352 4 9 4xyxy， 解得： 2312xy. 答：鸡有 23 只，兔有 12只 . 21.如图，四边形 ABCD 内接于 O， AB 是 O的直径，点 P在 CA 的延长线上， CAD=45 . ( )若 AB=4，求 CD 的长； ( )若 BC AD ， AD=AP，求证： PD 是 O的切线 . 解析： ( )连接 OC， OD，由圆周角定理得到 COD=2 CAD， CAD=45 ，于是得到 COD=90 ，根据弧长公式即可得到结论； ( )由已知条件得到 BOC= AOD，由圆周角定理得到
13、AOD=45 ，根据等腰三角形的性质得到 ODA= OAD，求得 ADP=12 CAD=22.5 ，得到 ODP= ODA+ ADP=90 ，于是得到结论 . 答案 ： ( )连接 OC， OD， COD=2 CAD， CAD=45 ， COD=90 ， AB=4， OC=12AB=2， CD 的长 =90180 2= ； ( ) BC AD ， BOC= AOD， COD=90 ， AOD=45 ， OA=OD， ODA= OAD， AOD+ ODA= OAD=180 ， ODA=67.5 ， AD=AP， ADP= APD， CAD= ADP+ APD， CAD=45 ， ADP=12 C
14、AD=22.5 ， ODP= ODA+ ADP=90 ， PD是 O的切线 . 22.小明在某次作业中得到如下结果： sin27 +sin283 0.122+0.992=0.9945， sin222 +sin268 0.372+0.932=1.0018， sin229 +sin261 0.482+0.872=0.9873， sin237 +sin253 0.602+0.802=1.0000， sin245 +sin245 22222 12 . 据此，小明猜想：对于任意锐角 ，均有 sin2 +sin2(90 )=1. ( )当 =30 时，验证 sin2 +sin2(90 )=1是否成立； (
15、 )小明的猜想是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请举出一个反例 . 解析： (1)将 =30 代入，根据三角函数值计算可得； (2)设 A= ，则 B=90 ，根据正弦函数的定义及勾股定理即可验证 . 答案 ： (1)当 =30 时， sin2 +sin2(90 ) =sin230 +sin260 = 221322 =1443=1； (2)小明的猜想成立，证明如下： 如图，在 ABC中， C=90 ， 设 A= ，则 B=90 ， sin2 +sin2(90 ) = 22B C A CA B A B = 222BC ACAB = 22ABAB =1. 23.自 2016 年国庆后，许多高
16、校均投放了使用手机就可随用的共享单车 .某运营商为提高其经营的 A品牌共享单车的市场占有率，准备对收费作如下调整：一天中，同一个人第一次使用的车费按 0.5元收取，每增加一次，当次车费就比上次车费减少 0.1元，第 6次开始，当次用车免费 .具体收费标准如下： 使用次数 0 1 2 3 4 5(含 5次以上 ) 累计车费 0 0.5 0.9 a b 1.5 同时，就此收费方案随机调查了某高校 100名师生在一天中使用 A品牌共享单车的意愿，得到如下数据： 使用次数 0 1 2 3 4 5 人数 5 15 10 30 25 15 ( )写出 a， b的值； ( )已知该校有 5000 名师生，且
17、 A品牌共享单车投放该校一天的费用为 5800 元 .试估计：收费调整后，此运营商在该校投放 A品牌共享单车能否获利？说明理由 . 解析： ( )根据收费调整情况列出算式计算即可求解； ( )先根据平均数的计算公式求出抽取的 100名师生每人每天使用 A品牌共享单车的平均车费，再根据用样本估计总体求出 5000名师生一天使用共享单车的费用，再与 5800 比较大小即可求解 . 答案 ： ( )a=0.9+0.3=1.2， b=1.2+0.2=1.4； ( )根据用车意愿调查结果，抽取的 100名师生每人每天使用 A品牌共享单车的平均车费为： 1100 (0 5+0.5 15+0.9 10+1.
18、2 30+1.4 25+1.5 15)=1.1(元 )， 所以估计 5000名师生一天使用共享单车的费用为： 5000 1.1=5500(元 )， 因为 5500 5800， 故收费调整后，此运营商在该校投放 A品牌共享单车不能获利 . 24.如图，矩形 ABCD 中， AB=6， AD=8， P， E 分别是线段 AC、 BC 上的点，且四边形 PEFD 为矩形 . ( )若 PCD是等腰三角形时，求 AP 的长； ( )若 AP= 2 ，求 CF的长 . 解析： ( )先求出 AC，再分三种情况讨论计算即可得出结论； ( )先判断出 1122O C E D O C P F，进而得出 OC=
19、OP=OF，即可得出 OCF= OFC， OCP= OPC，最后判断出 ADP CDF，得出比例式即可得出结论 . 答案 ： ( )在矩形 ABCD中， AB=6， AD=8， ADC=90 ， DC=AB=6， AC= 22AD DC =10， 要使 PCD是等腰三角形， 当 CPCD时， AP=AC CP=10 6=4， 当 PD=PC时， PDC= PCD， PCD+ PAD= PDC+ PDA=90 ， PAD= PDA， PD=PA， PA=PC， AP=12AC=5， 当 DP=DC时，如图 1，过点 D作 DQ AC 于 Q，则 PQ=CQ， 1122A D CS A D D C
20、 A C D Q ， DQ= 245AD DCAC ， 22 185C Q D C D Q ， PC=2CQ=365， AP=AC PC=10 36 1455； 所以，若 PCD是等腰三角形时， AP=4或 5或 145； ( )如图 2，连接 PF， DE记 PF与 DE的交点为 O，连接 OC， 四边形 ABCD和 PEFD 是矩形， ADC= PDF=90 ， ADP+ PDC= PDC+ CDF， ADP= CDF， BCD=90 ， OE=OD， OC=12ED， 在矩形 PEFD中， PF=DE， OC=12PF， OP=OF=12PF， OC=OP=OF， OCF= OFC， O
21、CP= OPC， OPC+ OFC+ PCF=180 ， 2 OCP+2 OCF=180 ， PCF=90 ， PCD+ FCD=90 ， 在 Rt ADC中， PCD+ PAD=90 ， PAD= FCD， ADP CDF， 34CF CDAP AD， AP= 2 ， CF=324. 25.已知直线 y=2x+m与抛物线 y=ax2+ax+b有一个公共点 M(1， 0)，且 a b. ( )求抛物线顶点 Q的坐标 (用含 a的代数式表示 )； ( )说明直线与抛物线有两个交点； ( )直线与抛物线的另一个交点记为 N. ( )若 1 a 12，求线段 MN长度的取值范围； ( )求 QMN面
22、积的最小值 . 解析： ( )把 M点坐标代入抛物线解析式可得到 b与 a的关系，可用 a表示出抛物线解析式，化为顶点式可求得其顶点坐标； ( )由直线解析式可先求得 m的值，联立直线与抛物线解析式，消去 y，可得到关于 x的一元二次方程，再判断其判别式大于 0即可； ( )(i)由 ( )的方程，可求得 N点坐标，利用勾股定理可求得 MN2，利用二次函数性质可求得 MN长度的取值范围； (ii)设抛物线对称轴交直线与点 E，则可求得 E点坐标，利用 S QMN=S QEN+S QEM可用 a 表示出 QMN 的面积，再整理成关于 a 的一元二次方程，利用判别式可得其面积的取值范围，可求得答案
23、 . 答案 ： ( ) 抛物线 y=ax2+ax+b过点 M(1， 0)， a+a+b=0，即 b= 2a， 222 19224ay a x a x b a x a x a a x ， 抛物线顶点 Q的坐标为 ( 1924a ,)； ( ) 直线 y=2x+m经过点 M(1， 0)， 0=2 1+m，解得 m= 2， 联立直线与抛物线解析式，消去 y可得 ax2+(a 2)x 2a+2=0(*) =(a 2)2 4a( 2a+2)=9a2 12a+4， 由 ( )知 b= 2a，且 a b， a 0， b 0， 0， 方程 (*)有两个不相等的实数根， 直线与抛物线有两个交点； ( ) 联 立
24、 直 线 与 抛 物 线 解 析 式 ， 消 去 y 可得 ax2+(a 2)x 2a+2=0 ，即2 221 2 0xxaa ， (x 1)x (2a 2)=0，解得 x=1或 x=2a 2， N点坐标为 ( 2 - 2 - 64aa，)， (i)由勾股定理可得 MN2= 2 2222 2 0 6 0 32 1 6 4 5 2 0241a a a a a ， 1 a 12， 2 1a 1， MN2随 1a的增大而减小， 当 1a= 2时， MN2有最大值 245，则 MN有最大值 75， 当 1a= 1时， MN2有最小值 125，则 MN有最小值 55， 线段 MN长度的取值范围为 5 5
25、 7 5MN； (ii)如图，设抛物线对称轴交直线与点 E， 抛物线对称轴为 x= 12， E( 12， 3)， M(1， 0)， N 2 426aa ， ，且 a 0，设 QMN的面积为 S， 1 2 9 2 7 3 2 72 1 32 4 4 8Q E N Q E MaaS S Saa ， 27a2+(8S 54)a+24=0(*)， 关于 a的方程 (*)有实数根， =(8S 54)2 4 27 24 0，即 (8S 54)2 (36 2 )2， a 0， S= 2 7 3 2 7 2 74 8 4aa ， 8S 54 0， 8S 54 36 2 ，即 S 27 9 242， 当 S= 27 9 242时，由方程 (*)可得 a= 223满足题意， 当 a= 223， b=423时， QMN面积的最小值为 27 9 242.
