1、山西省专升本考试大学数学模拟 7 及答案解析(总分：183.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：10，分数：33.00)1.函数 （分数：3.00）A.0，2B.0，1)C.(0，1)D.(-1，1)2. （分数：3.00）A.B.C.D.3.y=ln(x 2 +2)在 x=0 处取得其定义域上的_（分数：3.00）A.极大值且最大值B.极小值且最小值C.极大值但不是最大值D.极小值但不是最小值4.设 f(x)具有任意阶导数，且 f (2012) (x)=f(x) 2 ，则 f (2014) (x)=_ A.2f(x)f“(x) B.2(f“(x)2+f(x)f“(x) C.f
2、“(x)2+f“(x)f“(x) D.f(x)f“(x)（分数：3.00）A.B.C.D.5.设函数 f(x)在点 x=1 处可导，且 则 f“(1)=_ A B C D （分数：3.00）A.B.C.D.6.若 f(x)的一个原函数为 sinx，则f(2x)dx“=_ Asin2x Bcos2x Ccosx D （分数：3.00）A.B.C.D.7.函数 z=f(x，y)在点 P 0 (x 0 ，y 0 )处的两个偏导数 （分数：3.00）A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.无关条件8.设函数 y=y(x)由参数方程 确定，则 =_ A-2 B-1 C D （分数：3.00）A.B.C.
3、D.9.微分方程 xdy=ylnydx 的一解为_ A.y=lnx B.y=sinx C.y=ex D.ln2y=x（分数：3.00）A.B.C.D.(1).(经贸类)A，B 为两个事件，若 （分数：3.00）A.P(A|B)P(A)B.P(A|B)=P(A)C.P(A|B)P(A)D.无确定的大小关系(2).(工程类)下列级数中，发散的是_ A B C D （分数：3.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：10，分数：33.00)10.设 f(x)=2x+5，则 ff(x)-1= 1 （分数：3.00）11.设 （分数：3.00）12. 的 1 条件是 （分数：3.00）13.曲线 e
4、xy +2x+y=3 上纵坐标 y=0 处的切线方程是 1 （分数：3.00）14.设 y=f(cosx)，f 为可导函数，则 （分数：3.00）15.定积分 （分数：3.00）16.当 x1 时，有 （分数：3.00）17.设向量 a=i+3j-2k，b=2i+6j+lk，且 ab，则 l= 1 （分数：3.00）18.设 （分数：3.00）(1).(经贸类)设随机变量 X 服从参数为(2，p)的二项分布，随机变量 Y 服从参数为(3，p)的二项分布，若（分数：3.00）(2).(工程类)过原点且与直线 （分数：3.00）三、解答题(总题数：10，分数：117.00)19.求极限 （分数：9
5、.00）_20.设 y=f(lnx)e f(x) 其中 f 可微，求 （分数：9.00）_21.求定积分 （分数：9.00）_22.求曲面 3x 2 +y 2 -z 2 =27 在点(3，1，1)处的切平面方程和法线方程 （分数：9.00）_23.设 z=f(x 2 -y 2 ，e xy )，其中 f(u，v)具有一阶连续偏导数，求 （分数：9.00）_24.计算二重积分 （分数：9.00）_25.求微分方程(x 2 +1)y“+2xy-cosx=0 的通解 （分数：9.00）_(1).(经贸类)当 为何值时，线性方程组 （分数：9.00）_(2).(工程类)求幂级数 （分数：9.00）_(1
6、).(经贸类)设随机变量 X 的概率密度为 已知 （分数：9.00）_(2).(工程类)当 x1 时，证明 （分数：9.00）_(1).(经贸类)生产某产品的固定成本为 200(百元)，每生产一个产品，成本增加 5(百元)，且已知需求函数 Q=100-2P (1)试分别列出该产品的总成本函数 C(P)和总收入函数 R(P)的表达式； (2)求使该产品利润最大的产量及求最大利润（分数：9.00）_(2).(工程类)一曲线通过点(e 2 ，3)且在任一点处的切线的斜率等于该点横坐标的倒数，求： (1)该曲线的方程； (2)该曲线与 x 轴及直线 x=e 2 所围成的图形绕 y 轴旋转一周所成旋转体
7、的体积（分数：9.00）_山西省专升本考试大学数学模拟 7 答案解析(总分：183.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：10，分数：33.00)1.函数 （分数：3.00）A.0，2B.0，1) C.(0，1)D.(-1，1)解析：解析 对于 arcsin(1-x)，|1-x|1，0x2， 对于 2. （分数：3.00）A.B.C. D.解析：解析 因为3.y=ln(x 2 +2)在 x=0 处取得其定义域上的_（分数：3.00）A.极大值且最大值B.极小值且最小值 C.极大值但不是最大值D.极小值但不是最小值解析：解析 因为4.设 f(x)具有任意阶导数，且 f (2012)
8、 (x)=f(x) 2 ，则 f (2014) (x)=_ A.2f(x)f“(x) B.2(f“(x)2+f(x)f“(x) C.f“(x)2+f“(x)f“(x) D.f(x)f“(x)（分数：3.00）A.B. C.D.解析：解析 f (2013) (x)=2f(x)f“(x) f (2014) (x)=2(f“(x) 2 +2f(x)f“(x)=2(f“(x) 2 +f(x)f“(x) 故应选 B5.设函数 f(x)在点 x=1 处可导，且 则 f“(1)=_ A B C D （分数：3.00）A.B.C.D. 解析：解析 6.若 f(x)的一个原函数为 sinx，则f(2x)dx“=
9、_ Asin2x Bcos2x Ccosx D （分数：3.00）A.B. C.D.解析：解析 因为 f(x)=(sinx)“=cosx，所以 7.函数 z=f(x，y)在点 P 0 (x 0 ，y 0 )处的两个偏导数 （分数：3.00）A.充分条件B.必要条件 C.充要条件D.无关条件解析：解析 8.设函数 y=y(x)由参数方程 确定，则 =_ A-2 B-1 C D （分数：3.00）A.B.C.D. 解析：解析 9.微分方程 xdy=ylnydx 的一解为_ A.y=lnx B.y=sinx C.y=ex D.ln2y=x（分数：3.00）A.B.C. D.解析：解析 由 xdy=y
10、lnydx 得 (1).(经贸类)A，B 为两个事件，若 （分数：3.00）A.P(A|B)P(A)B.P(A|B)=P(A)C.P(A|B)P(A) D.无确定的大小关系解析：解析 因为(2).(工程类)下列级数中，发散的是_ A B C D （分数：3.00）A. B.C.D.解析：解析 选项 B 条件收敛，选项 C 和 D 均绝对收敛，只有选项 A 是发散故应选 A二、填空题(总题数：10，分数：33.00)10.设 f(x)=2x+5，则 ff(x)-1= 1 （分数：3.00）解析：4x+13 解析 因为 f(x)-1=2x+4， 所以 ff(x)-1=2(2x+4)+5=4x+13
11、11.设 （分数：3.00）解析：1解析 12. 的 1 条件是 （分数：3.00）解析：充要解析 根据函数极限的定义可知函数极限在某点存在的充要条件是左、右极限都存在且相等13.曲线 e xy +2x+y=3 上纵坐标 y=0 处的切线方程是 1 （分数：3.00）解析：y=1-x 解析 方程两边求导，得 e xy (y+xy“)+2+y“=0， 所以当 y=0 时，x=1，y“=-1，切线方程为 y=1-x14.设 y=f(cosx)，f 为可导函数，则 （分数：3.00）解析：-sinxf“(cosx)解析 15.定积分 （分数：3.00）解析：解析 16.当 x1 时，有 （分数：3.
12、00）解析： 解析 对 两边求导得 g(x 2 -1)2x=-1， 即 取 x=2，得 17.设向量 a=i+3j-2k，b=2i+6j+lk，且 ab，则 l= 1 （分数：3.00）解析：10解析 由 ab 得 12+36+(-2)l=0，l=1018.设 （分数：3.00）解析： 解析 积分区域 所以 (1).(经贸类)设随机变量 X 服从参数为(2，p)的二项分布，随机变量 Y 服从参数为(3，p)的二项分布，若（分数：3.00）解析：解析 由 XB(2，p)，有 则 YB(3，p)中，(2).(工程类)过原点且与直线 （分数：3.00）解析：2x+y-3z=0解析 由题意知平面的法向
13、量为 n=2，1，-3且平面经过原点 O(0，0，0)，所以所求平面方程为 2x+y-3z=0.三、解答题(总题数：10，分数：117.00)19.求极限 （分数：9.00）_正确答案：()解析：20.设 y=f(lnx)e f(x) 其中 f 可微，求 （分数：9.00）_正确答案：()解析：21.求定积分 （分数：9.00）_正确答案：()解析：22.求曲面 3x 2 +y 2 -z 2 =27 在点(3，1，1)处的切平面方程和法线方程 （分数：9.00）_正确答案：()解析：设 F(x，y，z)=3x 2 +y 2 -z 2 -27，F x =6x，F y =2y，F z =-2z，
14、在点(3，1，1)处切平面的法向量为 n=6x，2y，-2z| (3，1，1) =18，2，-2=29，1，-1， 所以切平面方程为 9(x-3)+1(y-1)-1(z-1)=0， 即 9x+y-z-27=0 法线方程为 23.设 z=f(x 2 -y 2 ，e xy )，其中 f(u，v)具有一阶连续偏导数，求 （分数：9.00）_正确答案：()解析：设 u=x 2 -y 2 ，v=e xy ，则 z=f(u，v)， 24.计算二重积分 （分数：9.00）_正确答案：()解析：积分区域用极坐标表示为 0r1，0故有 25.求微分方程(x 2 +1)y“+2xy-cosx=0 的通解 （分数：
15、9.00）_正确答案：()解析：方程可化为 通解为 (1).(经贸类)当 为何值时，线性方程组 （分数：9.00）_正确答案：()解析：方程组的系数行列式为 (1)当 D0 即 -2 且 1 时，方程组只有零解； (2)当 D=0 即 =-2 或 =1 时，方程组有非零解 当 =-2 时，原线性方程组为 所以，所求线性方程组的同解方程组为 所以，原线性方程组的通解为 当 =1 时，方程组为 x 1 +x 2 +x 3 =0， 或 x 1 =-x 2 -x 3 所以，原线性方程组的通解为 (2).(工程类)求幂级数 （分数：9.00）_正确答案：()解析：令 2x+1=t，级数化为 级数 的收敛
16、区间为(-1，1)，当 t=1 时，级数化为 (1).(经贸类)设随机变量 X 的概率密度为 已知 （分数：9.00）_正确答案：()解析：(经贸类)(1)由 得 即 2a+6c+2b=1 由 E(X)=2，得 即 由 得 即 解联立的方程组有： (2) 所以 (2).(工程类)当 x1 时，证明 （分数：9.00）_正确答案：()解析：证明 构造函数 f(t)=ln(1+t)，则 当 x1 时，显然 f(t)在1，x上连续，在(1，x)内可导 所以至少存在一个 (1，x)使 又 所以 即 (1).(经贸类)生产某产品的固定成本为 200(百元)，每生产一个产品，成本增加 5(百元)，且已知需
17、求函数 Q=100-2P (1)试分别列出该产品的总成本函数 C(P)和总收入函数 R(P)的表达式； (2)求使该产品利润最大的产量及求最大利润（分数：9.00）_正确答案：()解析：精析 (1)总成本函数和总收入函数分别为： C(P)=200+5Q=200+5(100-2P)=700-10P， R(P)=PQ-P(100-2P)=100P-2P 2 ； (2)利润函数 L(P)=R(P)-C(P)=110P-2P 2 -700， L“(P)=110-4P=0，得 P=27.5，当 P=27.5 时，Q=45 所以，当产量为 Q=45 单位时，利润最大， 最大利润为 L(27.5)=11027.5-227.5 5 -700=812.5(2).(工程类)一曲线通过点(e 2 ，3)且在任一点处的切线的斜率等于该点横坐标的倒数，求： (1)该曲线的方程； (2)该曲线与 x 轴及直线 x=e 2 所围成的图形绕 y 轴旋转一周所成旋转体的体积（分数：9.00）_正确答案：()解析：精析 (1)设曲线方程为 y=f(x)，则有 所以 f(x)=lnx+C把点(e 2 ，3)代入得 C=1， 从而所求曲线的方程为 y=lnx+1； (2)曲线与 z 轴交点为 ，即 y 为积分变量，则 y0，3，
