1、河南省专升本考试高等数学模拟 3 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：30，分数：60.00)1.若 (t)=t 3 +1，则 (t 3 +1)=_ A.t3+1 B.t6+1 C.t6+2 D.t9+3t6+3t3+2（分数：2.00）A.B.C.D.2.下列函数中，为奇函数的是_ A Bbx 2 sinx C D （分数：2.00）A.B.C.D.3.函数 y=f(x)与其反函数 y=f -1 (x)的图形对称于直线_（分数：2.00）A.y=0B.x=0C.y=xD.y=-x4.若函数 f(x)在某点 x 0 极限存在，则_（分数：2.00）A.
2、f(x)在 x0 的函数值必存在且等于极限值B.f(x)在 x0 的函数值必存在，但不一定等于极限值C.f(x)在 x0 的函数值可以不存在D.如果 f(x0)存在则必等于极限值5.当 x0 + 时，与 等价的无穷小是_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.6.下列极限计算正确的是_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.7.点 x=0 是函数 的连续点，则 a=_ A1 B C-2 D （分数：2.00）A.B.C.D.8._ （分数：2.00）A.1B.2C.0D.不存在9.若函数 y=f(u)可导，u=e x ，则 dy=_ A.f“(ex)dx B.f“(ex
3、)dex C.f“(x)exdx D.f(ex)“dex（分数：2.00）A.B.C.D.10.设 f(x)为可导函数，且满足 （分数：2.00）A.2B.-1C.1D.-211.已知 f(a)=g(a)，当 xa 时，f“(x)g“(x)，则当 xa 时必有_（分数：2.00）A.f(x)g(x)B.f(x)g(x)C.f(x)=g(x)D.以上全不成立12.设 则 （分数：2.00）A.B.C.D.13. _ A B-2x(1+x 6 ) C D （分数：2.00）A.B.C.D.14.设在0，1上 f“(x)0，则 f“(0)，f“(1)，f(1)-f(0)或 f(0)-f(1)几个数的
4、大小顺序为_（分数：2.00）A.f“(1)f“(0)f(1)-f(0)B.f“(1)f(1)-f(0)f“(0)C.f(1)-f(0)f“(1)f“(0)D.f“(1)f(0)-f(1)f“(0)15.曲线 y=xe -x 的拐点是_ A.(0，0) B.(2，2e -2) C.(1，e -2) D.(1，e -1)（分数：2.00）A.B.C.D.16.若 则xf“(x)dx=_ A B Cxlnx-x+C D （分数：2.00）A.B.C.D.17.若 f“(e x )=1+x，则 f(x)=_ A.xlnx+C B.2x+xlnx+C C.1+lnx D.xex+C（分数：2.00）A
5、.B.C.D.18.广义积分 _ A B C （分数：2.00）A.B.C.D.19.若 df(x)=dg(x)，则下列结论成立的是_（分数：2.00）A.f(x)=g(x)B.f(x)dx=g(x)dxC.df(x)dx=dg(x)dxD.f(x)-g(x)=C20.设 f(x)是连续函数，则 （分数：2.00）A.B.C.D.21.微分方程 y“+x 2 (y“) 3 -sinxy=0 的阶数是_（分数：2.00）A.1B.2C.3D.422.下列微分方程中，是一阶线性非齐次方程的是_ A(y 2 -x)dy=ydx By“=e 2x-y Cxy“+y=0 D （分数：2.00）A.B.C
6、.D.23.设 a 和 b 是非零向量，则(a+b)(a+2b)=_ A.ab B.3ab C.ba D.a2+3ab+b2（分数：2.00）A.B.C.D.24.设 （分数：2.00）AeB.0C.-1D.125.二元函数 （分数：2.00）A.连续，偏导数存在B.连续，偏导数不存在C.不连续，偏导数存在D.不连续，偏导数不存在26.如果区域 D 被分成两个子区域 D 1 和 D 2 ，且 则 （分数：2.00）A.8B.4C.6D.227.设 交换积分次序后 I=_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.28.如果 L 是摆线 从点 A(2，0)到点 B(0，0)的一段弧，则
7、（分数：2.00）A.B.C.D.29.若级数 在 x=0 处条件收敛，则级数 （分数：2.00）A.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.不能判定敛散性30.设级数 收敛，则级数 （分数：2.00）A.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.敛散性要看具体的 an二、填空题(总题数：10，分数：20.00)31.函数 （分数：2.00）32.函数 （分数：2.00）33.极限 （分数：2.00）34.曲线方程为 3y 2 =x 2 (x+1)，则在点(2，2)处的切线方程为 1 （分数：2.00）35.(lnx+1)dx= 1 （分数：2.00）36.设 则 （分数：2.00）37.设 z=x y ，则
8、dz| (2，1) = 1 （分数：2.00）38.过点(1，0，-2)且与平面 x-4z=3 及平面 3x-y-5z=1 的交线平行的直线方程为 1 （分数：2.00）39.微分方程 y“-4y=0 的通解是 1 （分数：2.00）40.函数 （分数：2.00）三、计算题(总题数：10，分数：50.00)41.求极限 （分数：5.00）_42.求函数 y=x(cosx) sinx 的导数 （分数：5.00）_43.求不定积分 （分数：5.00）_44.求定积分 （分数：5.00）_45.求垂直于向量 a=3i+6j+8k 和 x 轴的单位向量 （分数：5.00）_46.求函数 f(x，y)=
9、4(x-y)-x 2 -y 2 的极值 （分数：5.00）_47.计算二次积分 （分数：5.00）_48.求微分方程 y“+5y“+4y=3-2x 的通解 （分数：5.00）_49.求级数 （分数：5.00）_50.求幂级数 （分数：5.00）_四、应用题(总题数：2，分数：14.00)51.求由曲面 z=x 2 +2y 2 及 z=3-2x 2 -y 2 所围成立体的体积 （分数：7.00）_52.在某池塘内养鱼，该池塘最多能养鱼 1000 尾，鱼数 y 是时间 t(月)的函数，其变化率与鱼数 y 及1000-y 之积成正比，已知在池塘内养鱼 100 尾，3 个月后，池塘内有鱼 250 尾，
10、求放养 t 月后池塘内鱼数y(t)的函数 （分数：7.00）_五、证明题(总题数：1，分数：6.00)53.证明：当 x0 时，(x 2 -1)lnx(x-1) 2 （分数：6.00）_河南省专升本考试高等数学模拟 3 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：30，分数：60.00)1.若 (t)=t 3 +1，则 (t 3 +1)=_ A.t3+1 B.t6+1 C.t6+2 D.t9+3t6+3t3+2（分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 由于 (t)=t 3 +1，(t 3 +1)=(t 3 +1) 3 +1=t 9 +3t 6 +3t 3
11、+1+1=t 9 +3t 6 +3t 3 +2，故应选 D2.下列函数中，为奇函数的是_ A Bbx 2 sinx C D （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 对于 B 项，由于 f 1 (x)=bx 2 为偶函数，f 2 (x)=sinx 为奇函数，故 f(x)=f 1 (x)f 2 (x)为奇函数，故应选 B3.函数 y=f(x)与其反函数 y=f -1 (x)的图形对称于直线_（分数：2.00）A.y=0B.x=0C.y=x D.y=-x解析：解析 y=f(x)与其反函数 y=f -1 (x)的图像关于 y=x 对称，本题选 C4.若函数 f(x)在某点 x 0 极限存在，则
12、_（分数：2.00）A.f(x)在 x0 的函数值必存在且等于极限值B.f(x)在 x0 的函数值必存在，但不一定等于极限值C.f(x)在 x0 的函数值可以不存在 D.如果 f(x0)存在则必等于极限值解析：解析 由极限存在性与函数值的关系可知本题选 C：f(x)在 x=x 0 存在极限是 f(x)在 x=x 0 连续的必要非充分条件5.当 x0 + 时，与 等价的无穷小是_ A B C D （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 根据常见的等价无穷小量可知，选项 B 与 等价，而 A、C、D 与6.下列极限计算正确的是_ A B C D （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解
13、析 A 项中， A 错；B 项中，7.点 x=0 是函数 的连续点，则 a=_ A1 B C-2 D （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 因为 f(x)在 x=0 处连续，所以 即 8._ （分数：2.00）A.1 B.2C.0D.不存在解析：解析 9.若函数 y=f(u)可导，u=e x ，则 dy=_ A.f“(ex)dx B.f“(ex)dex C.f“(x)exdx D.f(ex)“dex（分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 由于 y=f(u)可导，所以 dy=df(u)=f“(u)du=f“(e x )de x ，故选 B10.设 f(x)为可导函数，且满足 （
14、分数：2.00）A.2 B.-1C.1D.-2解析：解析 11.已知 f(a)=g(a)，当 xa 时，f“(x)g“(x)，则当 xa 时必有_（分数：2.00）A.f(x)g(x) B.f(x)g(x)C.f(x)=g(x)D.以上全不成立解析：解析 当 xa 时，f“(x)g“(x)，得 F“(x)=f“(x)-g“(x)0， 所以 F(x)=f(x)-g(x)是增函数， 又 f(a)=g(a)，故当 xa 时，F(x)F(a)=0， 即 f(x)g(x)，故应选 A12.设 则 （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 13. _ A B-2x(1+x 6 ) C D （分数：2
15、.00）A. B.C.D.解析：解析 14.设在0，1上 f“(x)0，则 f“(0)，f“(1)，f(1)-f(0)或 f(0)-f(1)几个数的大小顺序为_（分数：2.00）A.f“(1)f“(0)f(1)-f(0)B.f“(1)f(1)-f(0)f“(0) C.f(1)-f(0)f“(1)f“(0)D.f“(1)f(0)-f(1)f“(0)解析：解析 由拉格朗日中值定理知 f(1)-f(0)=f“()，其中 (0，1)由于 f“(x)0，f“(x)单调增加，故 f“(0)f“()f“(1)即 f“(0)f(1)-f(0)f“(1)故应选 B15.曲线 y=xe -x 的拐点是_ A.(0
16、，0) B.(2，2e -2) C.(1，e -2) D.(1，e -1)（分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 因为 y“=(1-x)e -x ，y“=(x-2)e -x ，令 y“=0 得 x=2，当 x2 时，y“0，当 x2 时，y“2，故拐点坐标为(2，2e -2 )，故应选 B16.若 则xf“(x)dx=_ A B Cxlnx-x+C D （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 由 得 17.若 f“(e x )=1+x，则 f(x)=_ A.xlnx+C B.2x+xlnx+C C.1+lnx D.xex+C（分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 令 e
17、 x =t，则 x=lnt，f“(t)=1+lnt，f(t)=(1+lnt)dt=tlnt+C，所以 f(t)=xlnx+C，故应选 A18.广义积分 _ A B C （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 19.若 df(x)=dg(x)，则下列结论成立的是_（分数：2.00）A.f(x)=g(x)B.f(x)dx=g(x)dxC.df(x)dx=dg(x)dxD.f(x)-g(x)=C 解析：解析 由 df(x)=dg(x)，得 f(x)-g(x)=C故应选 D20.设 f(x)是连续函数，则 （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 因为 所以 21.微分方程 y“+x 2
18、 (y“) 3 -sinxy=0 的阶数是_（分数：2.00）A.1B.2 C.3D.4解析：解析 微分方程的阶指的是未知函数的最高阶导数的阶数，所给方程为二阶微分方程故应选B22.下列微分方程中，是一阶线性非齐次方程的是_ A(y 2 -x)dy=ydx By“=e 2x-y Cxy“+y=0 D （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 选项 A 整理为23.设 a 和 b 是非零向量，则(a+b)(a+2b)=_ A.ab B.3ab C.ba D.a2+3ab+b2（分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 (a+b)(a+2b)=aa+a(2b)+ba+b(2b) =2ab
19、-ab=ab， 故应选 A24.设 （分数：2.00）AeB.0C.-1D.1 解析：解析 因为 f(x，1)=e x-1 ，所以 f x (x，1)=e x-1 ，f x (1，1)=e 0 =1.故应选 D25.二元函数 （分数：2.00）A.连续，偏导数存在B.连续，偏导数不存在C.不连续，偏导数存在 D.不连续，偏导数不存在解析：解析 因为 不存在(若沿 x 轴(0，0)时，极限为 0，若沿直线 y=x(0，0)时，极限为 ，所以在(0，0)点函数无极限)所以函数在(0，0)点处不连续而 同理 26.如果区域 D 被分成两个子区域 D 1 和 D 2 ，且 则 （分数：2.00）A.8
20、 B.4C.6D.2解析：解析 根据二重积分的性质知 27.设 交换积分次序后 I=_ A B C D （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 所以 28.如果 L 是摆线 从点 A(2，0)到点 B(0，0)的一段弧，则 （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 令 有 故此积分与路径无关，取直线段 从 2 到 0，则 29.若级数 在 x=0 处条件收敛，则级数 （分数：2.00）A.绝对收敛B.条件收敛C.发散 D.不能判定敛散性解析：解析 由已知条件知，收敛半径为 R=2.所以级数在(0，4)内绝对收敛，在(-，0)和(4，+)内发散，由此可知在 x=5 处发散，故选 C
21、30.设级数 收敛，则级数 （分数：2.00）A.绝对收敛 B.条件收敛C.发散D.敛散性要看具体的 an解析：解析 因为 又 收敛， 也收敛， 从而 也收敛所以 二、填空题(总题数：10，分数：20.00)31.函数 （分数：2.00）解析：(2，3解析 由|x-2|1，得 1x3，且 x2，故 x(2，332.函数 （分数：2.00）解析：3解析 由于函数33.极限 （分数：2.00）解析：解析 34.曲线方程为 3y 2 =x 2 (x+1)，则在点(2，2)处的切线方程为 1 （分数：2.00）解析：4x-3y-2=0 解析 两边对 x 求导得 6yy“=3x 2 +2x，即 切线方程
22、为 35.(lnx+1)dx= 1 （分数：2.00）解析：xlnx+C解析 (lnx+1)dx=lnxdx+dx=xlnx-fdx+dx=xlnx+C36.设 则 （分数：2.00）解析：解析 令 对已知方程两边取定积分，得 即 即37.设 z=x y ，则 dz| (2，1) = 1 （分数：2.00）解析：dx+2ln2dy 解析 dz=yxy -1 dx+x y lnxdy,dz| (2,1) =dx+2ln2dy.38.过点(1，0，-2)且与平面 x-4z=3 及平面 3x-y-5z=1 的交线平行的直线方程为 1 （分数：2.00）解析： 解析 取所求直线的方向向量为 则所求直线
23、方程为 39.微分方程 y“-4y=0 的通解是 1 （分数：2.00）解析：y=C 1 e -2x +C 2 e 2x 解析 特征方程为 r 2 -4=0，解得 r 1 =-2，r 2 =2，所以通解为 y=C 1 e -2x +C 2 e 2x 40.函数 （分数：2.00）解析：解析 三、计算题(总题数：10，分数：50.00)41.求极限 （分数：5.00）_正确答案：()解析：42.求函数 y=x(cosx) sinx 的导数 （分数：5.00）_正确答案：()解析：y=x(cosx) sinx =xe sinxlncosx ， 43.求不定积分 （分数：5.00）_正确答案：()解
24、析：44.求定积分 （分数：5.00）_正确答案：()解析：45.求垂直于向量 a=3i+6j+8k 和 x 轴的单位向量 （分数：5.00）_正确答案：()解析：因为 a=3，6，8， 所以 所以，垂直于向量 a 与 x 轴的单位向量为 46.求函数 f(x，y)=4(x-y)-x 2 -y 2 的极值 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解方程组 47.计算二次积分 （分数：5.00）_正确答案：()解析：由 可知积分区域为 D=(x，y)|0x1，xy1， 积分区域也可表示为 D=x，y|0y1，0xy， 从而交换积分次序，得 48.求微分方程 y“+5y“+4y=3-2x 的通解
25、（分数：5.00）_正确答案：()解析：由 r2+5r+4=0 解得 r 1 =-1，r 2 =-4， 故对应齐次方程的通解为 Y=C 1 e -x +C 2 e -4x ， f(x)=3-2x，因为 =0 不是方程的特征根， 所以可设特解为 y * =ax+b， 代入原方程，得 4ax+5a+4b=-2x+3， 比较系数得 即 所以原方程的通解为 49.求级数 （分数：5.00）_正确答案：()解析： 当 时，对应的数项级数为 级数发散； 当 时，对应的数项级数为 该级数收敛； 所以原级数的收敛半径为 ，收敛域为 50.求幂级数 （分数：5.00）_正确答案：()解析：因为 所以幂级数的收敛
26、半径 R=1.故幂级数的收敛区间为(-1，1) 当 x(-1，1)时， 四、应用题(总题数：2，分数：14.00)51.求由曲面 z=x 2 +2y 2 及 z=3-2x 2 -y 2 所围成立体的体积 （分数：7.00）_正确答案：()解析：此立体的体积可看成两个曲顶柱体的体积之差， 从方程组 中消去 z，得 x 2 +y 2 =1， 故两曲顶柱体的底面为 xOy 面上的圆域 x 2 +y 2 1，所以所求立体体积 52.在某池塘内养鱼，该池塘最多能养鱼 1000 尾，鱼数 y 是时间 t(月)的函数，其变化率与鱼数 y 及1000-y 之积成正比，已知在池塘内养鱼 100 尾，3 个月后，池塘内有鱼 250 尾，求放养 t 月后池塘内鱼数y(t)的函数 （分数：7.00）_正确答案：()解析：由题意可得 且满足 y(0)=100，y(3)=250，方程化为 即 两边积分得 即 所以 把条件 y(0)=100，y(3)=250 代入得 故所求函数为 五、证明题(总题数：1，分数：6.00)53.证明：当 x0 时，(x 2 -1)lnx(x-1) 2 （分数：6.00）_正确答案：()解析：证明 设 f(x)=(x 2 -1)lnx-(x-1) 2 ，f(1)=0.
