1、2010年攻读工学博士学位研究生入学考试（数值分析）真题试卷及答案解析(总分：20.00，做题时间：90 分钟)一、计算题(总题数：5，分数：10.00)1.设 x=112109，y=200911 是通过四舍五入得到的近似值，z=xsiny，试分析函数 z的绝对误差限、相对误差限和有效数字（分数：2.00）_2.用迭代法求方程组 （分数：2.00）_3.已知矩阵 （分数：2.00）_4.给定线性方程组 其中 ， 为常数设有求解上述方程组的迭代格式 Bx (k+1) +Cx (k) =b，k=0，1，(A)其中 （分数：2.00）_5.设 f(x)=e x ，将区间0，1作 n等分，记 x i
2、=in，i=0，1，n 1)写出函数 f(x)在0，1的分段线性插值函数 ； 2)若要使 （分数：2.00）_二、综合题(总题数：5，分数：10.00)6.求函数 （分数：2.00）_7.给定积分 I(f)= 1)写出求 I(f)的 Simpson求积公式 S(f)； 2)如果 fC 4 a，b，证明：存在(a，b)，使得 （分数：2.00）_8.给定常微分方程初值问题 取正整数 n，记 h=(ba)n，x i a+ih，i=0，1，n；y i y(x i )，1in，y 0 =设有下面的求解公式： （分数：2.00）_9.给定下面的初边值问题 其中 是光滑函数，满足 =0取正整数 M，N，记
3、h=1M，=1/N，x i =ih(0iM)，t k =k(0kN)设有求解上述问题的差分格式 （分数：2.00）_10.设 X是一个内积空间，(.,.)为内积， 是 x的一个 n维子空间fx， 对 ，1i，jn，b i =(f， )，1in，矩阵 A=a ij ，b=(b 1 ，b 2 ，b n ) T 1)证明：线性方程组 Ax=b存在唯一解； 2)如果 P满足f-p= （分数：2.00）_2010年攻读工学博士学位研究生入学考试（数值分析）真题试卷答案解析(总分：20.00，做题时间：90 分钟)一、计算题(总题数：5，分数：10.00)1.设 x=112109，y=200911 是通过
4、四舍五入得到的近似值，z=xsiny，试分析函数 z的绝对误差限、相对误差限和有效数字（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：e(x) 10 -4 ，e(y) 10 -4 ，e(x)(sin y)e(x)+x(cos y)e(y)2285610 -4 e r (z)= )解析：2.用迭代法求方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将方程 x=y+1代入第二个方程得(y+1) 2 -2y=2+e y ，即 y 2 1=e y 作函数z=y 2 1及 Z=e y 的图像(如下所示)，得知方程 y 2 1=e y 有一个实根 y * (-1，-2)用 Newton迭代求方程 y 2 1=
5、e y 的根迭代格式为 )解析：3.已知矩阵 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A =6A 对称，所以A 2 =(A) A 的特征方程为 )解析：4.给定线性方程组 其中 ， 为常数设有求解上述方程组的迭代格式 Bx (k+1) +Cx (k) =b，k=0，1，(A)其中 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将迭代格式写为 x (k+1) =-B -1 Cx (k) +B -1 b由迭代收敛性定理得该格式收敛的充要条件是 (-B -1 C)1 迭代矩阵的特征方程为 I+B -1 C=B -1 (B+C)=B -1 B+C=0，即B 十 C=0将矩阵代入得 )解析：5.设 f(x
6、)=e x ，将区间0，1作 n等分，记 x i =in，i=0，1，n 1)写出函数 f(x)在0，1的分段线性插值函数 ； 2)若要使 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：1)当 xx i ，x i+1 时 =f(x i )+fx i ，x i+1 (xx i )=e xi +n(e xi+1 -e xi )(xx i )，i=0，1，n-1 2) )解析：二、综合题(总题数：5，分数：10.00)6.求函数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：记 f(x)= ，则 f“(x)= 在(0，1)上保号，所以 f(x)-p 1 (x)在0，1上有 3个偏差点：0，x 1 ，1，其中
7、 x 1 (0，1)由特征定理得 即 求得 )解析：7.给定积分 I(f)= 1)写出求 I(f)的 Simpson求积公式 S(f)； 2)如果 fC 4 a，b，证明：存在(a，b)，使得 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：1) 2)作 f(x)的 3次 Hermite插值多项式 H(x)，满足 则 H(x)难一确定，且有 由插值条件和 Simpson公式的代数精度以及积分中值定理得 )解析：8.给定常微分方程初值问题 取正整数 n，记 h=(ba)n，x i a+ih，i=0，1，n；y i y(x i )，1in，y 0 =设有下面的求解公式： （分数：2.00）_正确答案：(
8、正确答案：局部截断误差为 )解析：9.给定下面的初边值问题 其中 是光滑函数，满足 =0取正整数 M，N，记h=1M，=1/N，x i =ih(0iM)，t k =k(0kN)设有求解上述问题的差分格式 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：1)由 Taylor展开得 截断误差为 2)记 r=h 2 ，s=h，则差分格式可写为(1+2r)u i k+1 =(t+s2)u i-1 k+1 +(rs2)u i+1 k+1 +u i k ， i=1，2，M-1；k=0，1，N-1，易知 )解析：10.设 X是一个内积空间，(.,.)为内积， 是 x的一个 n维子空间fx， 对 ，1i，jn，b i =(f， )，1in，矩阵 A=a ij ，b=(b 1 ，b 2 ，b n ) T 1)证明：线性方程组 Ax=b存在唯一解； 2)如果 P满足f-p= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：1)A 对称，对 =(x 1 ，x 2 ，x 3 ) T R n 有 当 x0 时，由于 1 ， 2 ， n 线性无关，所以 因而 x T Ax0 A正定 A非奇异 2)记 )解析：
