1、2011年工程硕士研究生学位课程（数值分析）真题试卷 B及答案解析(总分：16.00，做题时间：90 分钟)一、计算题(总题数：3，分数：6.00)1.设 x=1231，y=05122 是由四舍五入法得到的近似值，试计算函数 e xy 的绝对误差限和相对误差限（分数：2.00）_2.给定方程 x 3 +2x-1=0，判别该方程有几个实根，并用迭代法求出方程所有实根，精确到 4位有效数字（分数：2.00）_3.用列主元 Gauss消去法求下面线性方程组的解： （分数：2.00）_二、综合题(总题数：5，分数：10.00)4.给定线性方程组 （分数：2.00）_5.已知 f(x)=xe x ，求一
2、个 3次多项式 H(x)，使之满足 H(0)=f(0)，H(1)=f(1)，H“(0)=f“(0)，H“(1)=f“(1)（分数：2.00）_6.求 a，b，使得积分 （分数：2.00）_7.试用 Simpson公式计算积分 （分数：2.00）_8.给定常微分方程初值问题 取正整数 n，记 h=(ba)n，x i =a+ih，i=0，1，2，n；y i y(x i )，1in，y 0 = 求常数 A，B，使数值求解公式 y i+1 =y i 十 hA，(x i+1 ,y i+1 )+ （分数：2.00）_2011年工程硕士研究生学位课程（数值分析）真题试卷 B答案解析(总分：16.00，做题时
3、间：90 分钟)一、计算题(总题数：3，分数：6.00)1.设 x=1231，y=05122 是由四舍五入法得到的近似值，试计算函数 e xy 的绝对误差限和相对误差限（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据题意，可知e(x) 10 -3 ，e(y) 10 -4 ，e(e xy )ye xy e(x)+xe xy e(y)e xy (ye(x)+xe(y)0596710 -3 ， )解析：2.给定方程 x 3 +2x-1=0，判别该方程有几个实根，并用迭代法求出方程所有实根，精确到 4位有效数字（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：改写方程为 x 3 =-2x+1，作函数 y=x 3
4、 和 y=-2x+1的图像(见下图)，由图像知方程有一个实根 x * 构造 Newton迭代格式：x k+1 =x k - )解析：3.用列主元 Gauss消去法求下面线性方程组的解： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：二、综合题(总题数：5，分数：10.00)4.给定线性方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：Gauss-Seidel 迭代格式为 GaussSeidel迭代矩阵的特征方程为 展开得 4 3 4 2 2+8 2 +2 2 2 2 =0，即 (2 2 +2-1)=0，求得 1 =0， 因为 )解析：5.已知 f(x)=xe x ，求一个 3次多项式 H
5、(x)，使之满足 H(0)=f(0)，H(1)=f(1)，H“(0)=f“(0)，H“(1)=f“(1)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：作 2次插值多项式 p(x)，满足 p(0)=f(0) p(1)=f(1)，P“(0)=f“(0)，则 p(x)=f(0)+f0,0x+y0，0，1x 2 列表求差商： 可得 p(x)=x+(e-1)x 2 由插值条件易知 H(x)=p(x)+Ax 2 (x-1)，其中 A为待定系数由条件 H“(1)=f“(1)得 2(e-1)+4A=3e，求得 A= 所以 H(X)=x+(e-1)x 2 + )解析：6.求 a，b，使得积分 （分数：2.00）_正
6、确答案：(正确答案：取 0 (x)=1， 1 (x)=x 2 ，则( 0 ， 0 )= -1 1 1dx=2，( 0 ， 1 )= -1 1 x 2 dx= )解析：7.试用 Simpson公式计算积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由复化 Simpson公式得 S 1 (f)= f(1)+4f(15)+f(2)= (e -1 +4e -1.52 +e -22 )=013463，S 2 (f)= f(1)+4f(125)+2f(15)+4f(175)+f(2)=013521，因为 )解析：8.给定常微分方程初值问题 取正整数 n，记 h=(ba)n，x i =a+ih，i=0，1，2，n；y i y(x i )，1in，y 0 = 求常数 A，B，使数值求解公式 y i+1 =y i 十 hA，(x i+1 ,y i+1 )+ （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：求解公式的局部截断误差为 R i+1 =y(x i+1 )-y(x i )-Ahf(x i+1 ，y(x i+1 )- hy(x i ，y(x i )-Bhf(x i-1 ，y(x i-1 )=y(x i+1 )-y(x i )-Ahy“(x i+1 )- )解析：
