1、考研数学（数学二）模拟试卷 427 及答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.已知当 x0 时，f(x)=arcsinxarctanax 与 g(x)=bxxln(1+x)是等价无穷小，则( )（分数：2.00）A.a=b=1。B.a=1，b=2。C.a=2，b=1。D.a=b1。3.设 f(x)在 x=x 0 处取得极大值，则( )（分数：2.00）A.f (x 0 )=0。B.存在 0 使得 f(x)在(x 0 ，x 0 )上单调递增，在(x 0 ，x
2、0 +)上单调递减。C.存在 0 使得 f(x)在(x 0 ，x 0 )上 f (x)0，在(x 0 ，x 0 +)上 f (x)0。D.一 f(x)在 x=x 0 处取得极小值。4.设 f(x)是连续且单调递增的奇函数，则 F(x)= 0 x (2 一 x)f(x 一 )d，则 F(x)是( )（分数：2.00）A.单调递增的奇函数。B.单调递减的奇函数。C.单调递增的偶函数。D.单调递减的偶函数。5.已知函数 f(x，y)满足 （分数：2.00）A.f(x，y)在(0，0)点可微。B.f x (0，0)=一 2。C.f y (0，0)=1。D.f x (0，0)和 f y (0，0)不一定
3、都存在。6.设函数 f(x)在 x=0 的某邻域内有定义，且 均存在，则下列叙述错误的是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.7.设 f(x)= （分数：2.00）A.两条斜渐近线。B.一条水平渐近线，一条斜渐近线。C.两条水平渐近线。D.一条斜渐近线，没有水平渐近线。8.设 （分数：2.00）A.合同且相似。B.合同不相似。C.相似不合同。D.既不相似，也不合同。9.设 A，B 均为 3 阶非零矩阵，满足 AB=O，其中 B= （分数：2.00）A.若 a=2，则 r(A)=1。B.若 a2，则 r(A)=2。C.若 a=一 1，则 r(A)=1。D.若 a一 1，则 r(A)=2。二、
4、填空题(总题数：6，分数：12.00)10.= 1。 （分数：2.00）填空项 1:_11.设 f(x)=xsin 2 x，则 f (2017) (0)= 1。（分数：2.00）填空项 1:_12.二阶常系数非齐次线性微分方程 y 2y +5y=e x cos 2 x 的通解为 y(x)= 1。（分数：2.00）填空项 1:_13.= 1。 （分数：2.00）填空项 1:_14.设曲线 r=2cos， ，则该曲线所围成的平面区域绕直线 = （分数：2.00）填空项 1:_15.设 A 为三阶非零矩阵，已知 A 的各行元素和为 0，且 AB=0，其中 B= （分数：2.00）填空项 1:_三、解
5、答题(总题数：10，分数：24.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_17.求极限 （分数：2.00）_设 f(t)在1，+)上具有连续的二阶导数，且 f(1)=0，f (1)=1，z=(x 2 +y 2 )f(x 2 +y 2 )满足 （分数：4.00）(1).求函数 f(t)的表达式；（分数：2.00）_(2).求函数 f(t)在1，+)上的最大值。（分数：2.00）_18.根据 k 的不同的取值情况，讨论方程 x 3 3x+k=0 实根的个数。（分数：2.00）_19.设 f(x)在0，1上连续，在(0，1)上可导，且 f(0)=f(1)，证明：存在满足 01 的，
6、使得 f ()+f ()=0。（分数：2.00）_20.计算二重积分 （分数：2.00）_21.设 0x 1 1，x n1 = 0 1 maxx n ，tdt，n=1，2，3，证明： （分数：2.00）_设 f(x)在(一，+)连续，且 F(x)= （分数：4.00）(1).F(x)在(一，+)内具有连续的导数；（分数：2.00）_(2).若 f(x)在(一，+)内单调递增，则 F(x)在(一，0内单调递增，在(0，+)内单调递减。（分数：2.00）_22.讨论线性方程组 （分数：2.00）_设 A 是各行元素和均为零的三阶矩阵， 是线性无关的三维列向量，并满足A=3，A=3。（分数：4.00
7、）(1).证明矩阵 A 能相似于对角矩阵；（分数：2.00）_(2).若 =(0，一 1，1) T ，=(1，0，一 1) T ，求矩阵 A。（分数：2.00）_考研数学（数学二）模拟试卷 427 答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.已知当 x0 时，f(x)=arcsinxarctanax 与 g(x)=bxxln(1+x)是等价无穷小，则( )（分数：2.00）A.a=b=1。 B.a=1，b=2。C.a=2，b=1。D.a=b1。解析：解析：
8、根据等价无穷小的定义， 那么 1 一 a=0，3.设 f(x)在 x=x 0 处取得极大值，则( )（分数：2.00）A.f (x 0 )=0。B.存在 0 使得 f(x)在(x 0 ，x 0 )上单调递增，在(x 0 ，x 0 +)上单调递减。C.存在 0 使得 f(x)在(x 0 ，x 0 )上 f (x)0，在(x 0 ，x 0 +)上 f (x)0。D.一 f(x)在 x=x 0 处取得极小值。 解析：解析：极值对函数性质无要求，极值点处不一定可导，仅需函数有定义即可，所以排除(A)(C)。 (B)选项仅为取得极大值的充分条件，而非必要条件，例如 f(x)= 4.设 f(x)是连续且单
9、调递增的奇函数，则 F(x)= 0 x (2 一 x)f(x 一 )d，则 F(x)是( )（分数：2.00）A.单调递增的奇函数。B.单调递减的奇函数。 C.单调递增的偶函数。D.单调递减的偶函数。解析：解析：令 x 一 =t，则 F(x)= 0 x (x 一 2t)f(t)dt，F(一 x)= 0 x (一 x 一 2t)f(t)dt， 令t=一 ， F(一 x)=一 0 x (一 x+2)f(一 )d= 0 x (x 一 2)f(一 )d。 因为 f(x)是奇函数，f(x)=一 f(一 x)，F(一 x)=一 0 x (x 一 2)d， 则有 F(x)=一 F(一 x)为奇函数。 F (
10、x)= 0 x f(t)dt 一 xf(x)， 由积分中值定理可得 0 x f(t)dt=f()x， 介于 0 到 x 之间， F (x)=f()x一 xf(x)=f()一 f(x)x， 因为 f(x)单调递增，当 x0 时，0，x，f()一 f(x)0，所以 F (x)0，F(x)单调递减；当 x0 时，x，0，f()一 f(x)0，所以 F (x)0，F(x)单调递减。所以 F(x)是单调递减的奇函数。5.已知函数 f(x，y)满足 （分数：2.00）A.f(x，y)在(0，0)点可微。B.f x (0，0)=一 2。C.f y (0，0)=1。D.f x (0，0)和 f y (0，0)
11、不一定都存在。 解析：解析：根据多元函数可微的定义， =0， 其中 A=f x (x，y)，B=f y (x，y)，那么有 6.设函数 f(x)在 x=0 的某邻域内有定义，且 均存在，则下列叙述错误的是( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：当 x0 时，一 x0 ；当 x0 时，x0 ，x 2 0 ，所以正确答案是(D)。7.设 f(x)= （分数：2.00）A.两条斜渐近线。B.一条水平渐近线，一条斜渐近线。 C.两条水平渐近线。D.一条斜渐近线，没有水平渐近线。解析：解析：函数 f(x)无间断点，所以不存在垂直渐近线。 水平渐近线：在 x一方向， =0， 所以 y=0
12、为函数 f(x)的一条水平渐近线。 斜渐近线：8.设 （分数：2.00）A.合同且相似。B.合同不相似。 C.相似不合同。D.既不相似，也不合同。解析：解析：因为EA=9.设 A，B 均为 3 阶非零矩阵，满足 AB=O，其中 B= （分数：2.00）A.若 a=2，则 r(A)=1。 B.若 a2，则 r(A)=2。C.若 a=一 1，则 r(A)=1。D.若 a一 1，则 r(A)=2。解析：解析：因为 AB=O，所以 r(A)+r(B)3。当 a=2 时，r(B)=2，所以 r(A)3 一 r(B)=1；另一方面，A 为 3 阶非零矩阵，所以 r(A)1，从而 r(A)=1。故选(A)。
13、二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10.= 1。 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：该题极限形式为和式极限，则可使用夹逼定理进行计算。 由夹逼定理可知，原极限式为11.设 f(x)=xsin 2 x，则 f (2017) (0)= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 2 2015 2017）解析：解析：f(x)=xsin 2 x= xcos2x， 求 2017 次导数为 0，对于 xcos2x，根据莱布尼茨公式可得 则 f (2017) (0)= 12.二阶常系数非齐次线性微分方程 y 2y +5y=e x cos 2
14、x 的通解为 y(x)= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：e x (C 1 cos2x+C 2 sin2x)+ ）解析：解析：该方程的齐次方程所对应的特征方程为 2 一 2+5=0，解得特征根为 =12i，可知齐次方程的通解为 e x (C 1 cos2x+C 2 sin2x)。 该方程的非齐次项 e x cos 2 x=e x e x cos2x， 根据叠加原理 y 一 2y +5y=e x cos 2 x= e x cos2x， 此方程的特解可由如下两个方程的特解相加求得， y 一 2y +5y= e x ， (1) y 一 2y +5y= e x cos2x，
15、 (2) 根据特征根=12i 可知，方程(1)的特解可设为 y 1 * =Ce x 代入方程(1)解得 C= ， 故 y 1 * = e x ；方程(2)的特解可设为 y 2 * =xe x (Acos2x+Bsin2x)， 代入方程(2)解得 A=0，B= xe x sin2x。 则 y * (x)=y 1 * +y 2 * = xe x sin2x。 故该方程的通解为 e x (C 1 cos2x+C 2 sin2x)+ 13.= 1。 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：14.设曲线 r=2cos， ，则该曲线所围成的平面区域绕直线 = （分数：2.0
16、0）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2 2）解析：解析：将极坐标曲线 r=2cos， 化为直角坐标下的曲线为 x 2 +y 2 =2x，可见该曲线围成的平面区域为圆，如图 1 所示。根据图形的对称性，该圆绕 = (y 轴)旋转后的体积为区域 D 绕 y轴旋转体积的 2 倍，即 y=2 0 2 2xf(x)dx=2 0 2 2x dx=2 2 。 15.设 A 为三阶非零矩阵，已知 A 的各行元素和为 0，且 AB=0，其中 B= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：k 1 (1，2，3) T +k 2 (1，1，1) T ，k 1 ，k 2 为任意常数）解析：解析：因
17、为 AB=0，所以显然有 A(1，2，3) T =0；另一方面，因为 A 的各行元素和为 0，所以A(1，1，1) T =0。 又因为 A 为三阶非零矩阵，所以 Ax=0 的基础解系的线性无关的解向量至多有两个，所以 Ax=0 的通解为 k 1 (1，2，3) T +k 2 (1，1，1) T ，k 1 ，k 2 为任意常数。三、解答题(总题数：10，分数：24.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：17.求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：利用泰勒公式展开可得 )解析：设 f(t)在1，+)上具有连续的二阶导数，且 f(1)=0，f (1)=1，z=
18、(x 2 +y 2 )f(x 2 +y 2 )满足 （分数：4.00）(1).求函数 f(t)的表达式；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： =2xf(x 2 +y 2 )+(x 2 +y 2 )f (x 2 +y 2 )2x， =2f(x 2 +y 2 )+8x 2 f (x 2 +y 2 )+2(x 2 +y 2 )f (x 2 +y 2 )+(x 2 +y 2 )f (x 2 +y 2 )4x 2 ， 同理 =2f(x 2 +y 2 )+8y 2 f (x 2 +y 2 )+2(x 2 +y 2 )f (x 2 +y 2 )+(x 2 +y 2 )f (x 2 +y 2 )4y 2
19、 。 代入 =0，可得 4f(x 2 +y 2 )+12(x 2 +y 2 )f (x 2 +y 2 )+4(x 2 +y 2 ) 2 f (x 2 +y 2 )=0， 令 x 2 +y 2 =，可化简为 f()+3f ()+ 2 f ()=0。 设 =e ，则有 f ()= ， f ()= ， 代入可得 +y=0。 常系数齐次线性微分方程 y=0 的通解为 y=C 1 e t +C 2 e t ，将 e t = 代入可得 f()= ， 又因为 f(1)=0，f (1)=1，得 C 1 =0，C 2 =1，所以 f()= ln， 则所求函数为 f(t)= )解析：(2).求函数 f(t)在1，
20、+)上的最大值。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f (t)= =0，则 t=e，1te 时，f (t)0，te 时， f(t)0，f(t)的最大值为 f(e)= )解析：18.根据 k 的不同的取值情况，讨论方程 x 3 3x+k=0 实根的个数。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f(x)=x 3 3x+k，xR， 令 f (x)=3x 2 一 3=0，解得驻点 x=一 1，x=1，函数的单增区间为(一，一 1)，(1，+)， 单减区间为一 1，1，因此该函数至多有三个根。 因为函数 f(x)连续，根据零点定理， f(一)0，f(一 1)=2+k，f(1)=k 一 2
21、，f(+)0。 k一 2 时，f(一1)0，f(1)0，函数在(1，+)上存在唯一一个根； 一 2k2 时，f(一 1)0，f(1)0，函数在每个单调区间有一根，共有三个根； k2 时，f(一 1)0，f(1)0，函数在(一，一 1)存在唯一一个根；k=一 2 时，f(一 1)=0，f(1)0，方程在 x=一 1 处和(1，+)内各有一个根，共两个根； k=2 时，f(一1)0，f(1)=0，方程在 x=1 处和(一，一 1)内各有一个根，共两个根。 综上所述，k一 2 或 k2，方程有且仅有一个根；一 2k2，方程有三个根；k=2，方程有两个根。)解析：19.设 f(x)在0，1上连续，在(
22、0，1)上可导，且 f(0)=f(1)，证明：存在满足 01 的，使得 f ()+f ()=0。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f(x)在0，1上连续，在(0，1)上可导，在 上分别使用拉格朗日中值定理，可知 )解析：20.计算二重积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：二重积分先画出积分区域，如图 3 所示，为右侧的阴影部分，由于积分区域关于x 轴对称，根据被积函数中 y 的奇偶性， )解析：21.设 0x 1 1，x n1 = 0 1 maxx n ，tdt，n=1，2，3，证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：x n1 = 0 1 maxx n ，tdt=
23、， 因为 x 1 1，假设 x n 1，则 x n1 = (1+x n 2 )1，数列x n 以 1 为上界。 x n1 一 x n = (1x 0 ) 2 0， 可得数列x n 是单调递增数列。所以根据单调有界定理可知 存在。 设 )解析：设 f(x)在(一，+)连续，且 F(x)= （分数：4.00）(1).F(x)在(一，+)内具有连续的导数；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 x0 时，对 F(x)求导可得 当 x=0 时， 综上可得 )解析：(2).若 f(x)在(一，+)内单调递增，则 F(x)在(一，0内单调递增，在(0，+)内单调递减。（分数：2.00）_正确答案：(
24、正确答案：F (x)= )解析：22.讨论线性方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：系数矩阵为 A= ，增广矩阵为 (A，b)= 从而A=(a+3)(a 一 1) 3 。 当 a一 3 且 a1 时，方程组有唯一解； 当 a=1 时，r(A)=r(A，b)=1，方程组有无穷多解，对增广矩阵作初等变换 (A，b)= 从而所对应的齐次方程组的基础解系为 1 =(一 1，1，0，0) T ， 2 =(一 1，0，1，0) T ， 3 =(一 1，0，0，1) T ， 特解为 * =(1，0，0，0) T ，则方程通解 x= * +k 1 1 k 2 2 +k 3 3 ，k 1 ，k 2
25、，k 3 为任意常数。 当 a=一 3 时，r(A)=r(A，b)=3，方程组有无穷多解，对增广矩阵作初等变换 )解析：设 A 是各行元素和均为零的三阶矩阵， 是线性无关的三维列向量，并满足A=3，A=3。（分数：4.00）(1).证明矩阵 A 能相似于对角矩阵；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 A 的各行元素和为零，从而 =0 为 A 的一个特征值，并且 r=(1，1，1) T 为 A 属于 =0 的特征向量。 另一方面，又因为 A=3，A=3，所以 A(+)=3(+)，A( 一)=3( 一 )， =3 和 =3 为 A 的两个特征值，并且 + 和 一 为 A 属于 =3，一 3 的特征向量，可见 A 有三个不同的特征值，所以 A 能相似于对角矩阵。)解析：(2).若 =(0，一 1，1) T ，=(1，0，一 1) T ，求矩阵 A。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A 的三个特征向量为 =(1，1，1) T ，+=(1，-1，0) T ， 一=(1，1，2) T ， 令 P=(，+， 一 )，A= ， 则 P 1 AP=A，所以 A=PAP 1 = )解析：
