1、行列式、矩阵(二)及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择(总题数：40，分数：100.00)1.已知 ，则 An=_。ABCD （分数：2.50）A.B.C.D.2.设 （分数：2.50）A.B.C.D.3.设 = 1， 2， 3T，=b 1，b 2，b 3T，A= T，则 An=_。A(a 1b1+a2b2+a3b3)nA B(a 1b1+a2b2+a3b3)n-1AC(a 1b1+a2b2+a3b3)n-1A D(a 1b1+a2b2+a3b3)An-2（分数：2.50）A.B.C.D.4.设 ，则 A-1=_。ABCD （分数：2.50）A.B.C.D.5.设
2、 A 与 B 是 n 阶可逆矩阵，则_。AA+B 是可逆矩阵 BA+B 是不可逆矩阵CAB 是可逆矩阵 DAB 是不可逆矩阵（分数：2.50）A.B.C.D.6.已知 A、B 为 3 阶矩阵，且满足 2A-1B=B-4E，其中 E 是 3 阶单位矩阵，则 A-2E=_。AB-4E B(B-4E) -1 C （分数：2.50）A.B.C.D.7.设 A，B，A+B 均可逆，则(A+B) -1=_。A(A -1+B-1)-1 BA -1(A-1+B-1)-1A-1CB -1(A-1+B-1)B-1 DA -1(A-1+B-1)-1B-1（分数：2.50）A.B.C.D.8.已知 4 阶矩阵 A 的
3、逆矩阵为，则|A|中所有元素的代数余子式之和等于_。A-98 B C98 D （分数：2.50）A.B.C.D.9.设 A、B 为 n 阶矩阵，A *、B *分别是 A、B 的伴随矩阵，且|A|=a0，|B|=b0，则|k(A *)*(B-1)*|=_。A B Ck nan-1b1-n D （分数：2.50）A.B.C.D.10.设 A、B 是 n 阶矩阵，E 是 n 阶单位矩阵。(A+B) 2=A2+2AB+B2(A-B)(A+B)=A 2-B2(A-E)(A+E)=(A+E)(A-E)A 2A5=A5A2(A-E)(A k+Ak-1+A+E)-Ak+1-E则上述命题中，正确的共有_。A1
4、个 B2 个 C3 个 D4 个（分数：2.50）A.B.C.D.11.设 A、B 均为 n 阶对称矩阵，那么不是对称矩阵的是_。A3A+2B B-ABA CAB+BA DAB-BA（分数：2.50）A.B.C.D.12.设 （分数：2.50）A.B.C.D.13.已知 AP=PB，其中 ，则 A5=_。ABCD （分数：2.50）A.B.C.D.14.设 A、B、C 均为 n 阶矩阵。若 AB，则|A|B|若 AB=AC，且 A0，则 B=C若 A2=E，且 AE，则 A=-E若 A 可逆，且 A-1B=CA-1，则 B=C则上述命题中，正确的命题个数为_。A0 B1 C2 D3（分数：2.
5、50）A.B.C.D.15.已知 =1，-2，3 T， ，A= T，则 A6=_。ABCD （分数：2.50）A.B.C.D.16.设 （分数：2.50）A.B.C.D.17.设 A=(a1，a 2，a 3)T，B=(b 1，b 2，b 3)T，若 （分数：2.50）A.B.C.D.18.下列矩阵中为不可逆矩阵的是_。ABCD （分数：2.50）A.B.C.D.19.矩阵 的逆矩阵为_。ABCD （分数：2.50）A.B.C.D.20.设 ，则(AB T)-1=_。ABCD （分数：2.50）A.B.C.D.21.设 ，则 A-1=_。ABCD （分数：2.50）A.B.C.D.22.设矩阵
6、满足 AX+E=A2+X，则矩阵 X=_。ABCD （分数：2.50）A.B.C.D.23.设 A、B 为 3 阶矩阵，且满足方程 A-1BA=6A+BA，若 ，则 B=_。ABCD （分数：2.50）A.B.C.D.24.设 A、B 均为 3 阶矩阵，且|A|=3，|B|=-2，则 =_。A B （分数：2.50）A.B.C.D.25.已知 ，若 X 满足 AX+2B=BA+2X，则 X4=_。ABCD （分数：2.50）A.B.C.D.26.矩阵 （分数：2.50）A.B.C.D.27.设 ，A *是 A 的伴随矩阵，则|A -1+A*|=_。ABCD （分数：2.50）A.B.C.D.2
7、8.设 A，B 均为 n 阶矩阵，则下列运算中，|A+B|=|A|+|B| |A-B|=-|B-A|AB|=|BA| |A TB|=|BTA|A|B|=|B|A|恒正确的个数为_。A1 B2 C3 D4（分数：2.50）A.B.C.D.29.设 （分数：2.50）A.B.C.D.30.已知 A、B、C 均为 n 阶矩阵，其中 C 可逆，若 AXA-BXB=AXB-BXA+C，则 X=_。A(A 2-B2)C B(A+B)C(A-B)C(A-B) -1C(A+B)-1 D(A+B) -1C(A-B)-1（分数：2.50）A.B.C.D.31.已知 A 是 n 阶矩阵，A 2+5A+6E=0，则(
8、A+E) -1=_。AA+5E B C D （分数：2.50）A.B.C.D.32.设 （分数：2.50）A.B.C.D.33.若 A2B-A-B=E， ，则|B|=_。A2 B C-2 D （分数：2.50）A.B.C.D.34.设 A 为反对称矩阵，且|A|0，B 可逆，A、B 为同阶方阵，A *为 A 的伴随矩阵，则A TA*(B-1)T-1=_。ABCD （分数：2.50）A.B.C.D.35.设 A、B 均为可逆矩阵，则必有_。A(A+B) -1=A-1+B-1 B(AB) -1=A-1B-1C(AB) *=A*B* D|(AB) *|=|A|n-1|B|n-1（分数：2.50）A.
9、B.C.D.36.设 A 为 n 阶对称矩阵，B 为咒阶反对称矩阵，则下列矩阵中是反对称矩阵的是_。AAB-BA BAB+BA C(AB) 2 DBAB（分数：2.50）A.B.C.D.37.分块矩阵 ，其中 A1、A 2为 nn 可逆矩阵， 1、 2为 n1 矩阵， 1、 2为 1n 矩阵，则实数 k 的值等于_。A 1A 1 B C D （分数：2.50）A.B.C.D.38. ，则必有_。AB=AP 1P2 BB=AP 2P1 CB=P 1P2A DBP 2P1A（分数：2.50）A.B.C.D.39.设 3 阶矩阵 （分数：2.50）A.B.C.D.40.已知 1， 2， 1， 2是
10、3 维列向量，设A= 1， 2， 1，B= 1， 2， 2则|A+B|+|2A-5B|等于_。A3|A|-4|B| B9|A|-74|B|C22|A|-41|B| D3|A|-4|B|（分数：2.50）A.B.C.D.行列式、矩阵(二)答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择(总题数：40，分数：100.00)1.已知 ，则 An=_。ABCD （分数：2.50）A.B.C. D.解析：解析 其中2.设 （分数：2.50）A.B.C. D.解析：解析 AB=(E- T)(E+2 T)=E+ T-2 T T3.设 = 1， 2， 3T，=b 1，b 2，b 3T，A= T
11、，则 An=_。A(a 1b1+a2b2+a3b3)nA B(a 1b1+a2b2+a3b3)n-1AC(a 1b1+a2b2+a3b3)n-1A D(a 1b1+a2b2+a3b3)An-2（分数：2.50）A.B. C.D.解析：解析 4.设 ，则 A-1=_。ABCD （分数：2.50）A.B.C.D. 解析：解析 5.设 A 与 B 是 n 阶可逆矩阵，则_。AA+B 是可逆矩阵 BA+B 是不可逆矩阵CAB 是可逆矩阵 DAB 是不可逆矩阵（分数：2.50）A.B.C. D.解析：解析 由于 A、B 是 n 阶可逆矩阵，故|AB|=|A|B|0即 AB 是可逆矩阵，故 C 正确，D
12、错。A 与 B 都可逆，则 A+B 是否可逆不能一概而论，如 均可逆，则 不可逆，6.已知 A、B 为 3 阶矩阵，且满足 2A-1B=B-4E，其中 E 是 3 阶单位矩阵，则 A-2E=_。AB-4E B(B-4E) -1 C （分数：2.50）A.B.C.D. 解析：解析 由 2A-1B=B-4E，得 2B=AB-4A 或(A-2E)(B-4E)-8E=0，故 ，故7.设 A，B，A+B 均可逆，则(A+B) -1=_。A(A -1+B-1)-1 BA -1(A-1+B-1)-1A-1CB -1(A-1+B-1)B-1 DA -1(A-1+B-1)-1B-1（分数：2.50）A.B.C.
13、D. 解析：解析 (A+B) -1=(E+BA-1)A-1=A-1(E+BA-1)-1=A-1B(B-1+A-1)-1=A-1(A-1+B-1)-1B-1故 D 正确，只要 AB，A、B 不是单位矩阵，A、B、C 都不正确，故正确答案为 D。8.已知 4 阶矩阵 A 的逆矩阵为，则|A|中所有元素的代数余子式之和等于_。A-98 B C98 D （分数：2.50）A.B. C.D.解析：解析 本题可根据 A*=|A|A-1比较快地得到所有元素的代数余子式，|A -1|=-24，于是9.设 A、B 为 n 阶矩阵，A *、B *分别是 A、B 的伴随矩阵，且|A|=a0，|B|=b0，则|k(A
14、 *)*(B-1)*|=_。A B Ck nan-1b1-n D （分数：2.50）A.B. C.D.解析：解析 10.设 A、B 是 n 阶矩阵，E 是 n 阶单位矩阵。(A+B) 2=A2+2AB+B2(A-B)(A+B)=A 2-B2(A-E)(A+E)=(A+E)(A-E)A 2A5=A5A2(A-E)(A k+Ak-1+A+E)-Ak+1-E则上述命题中，正确的共有_。A1 个 B2 个 C3 个 D4 个（分数：2.50）A.B.C. D.解析：解析 矩阵的乘法没有交换律，故命题均错误，注意，(A+B)2=A2+AB+BA+B2，(A-B)(A+B)=A 2+AB-BA-B2由于
15、(A-E)(A+E)=A 2-E2=(A+E)(A-E)命题正确。乘法结合律，故命题正确。利用分配律可知命题正确。故正确答案为 C。11.设 A、B 均为 n 阶对称矩阵，那么不是对称矩阵的是_。A3A+2B B-ABA CAB+BA DAB-BA（分数：2.50）A.B.C.D. 解析：解析 按对称矩阵的定义，A T=A，B T=B，有(3A+2B) T=(3A)T+(2B)T=3AT+2BT=3A+2B，故 3A+2B 是对称矩阵，由于(AB-BA)T=(AB)T-(BA)T=BTAT-ATBT=BA-ABAB-BA故 AB-BA 不是对称矩阵，故正确答案为 D。12.设 （分数：2.50
16、）A.B.C.D. 解析：解析 由于13.已知 AP=PB，其中 ，则 A5=_。ABCD （分数：2.50）A. B.C.D.解析：解析 因为 P 可逆，且故由于 A2=PBP-1PBP-1=PB2P-1，可见 A5=PB5P-1=PBP-1=A故14.设 A、B、C 均为 n 阶矩阵。若 AB，则|A|B|若 AB=AC，且 A0，则 B=C若 A2=E，且 AE，则 A=-E若 A 可逆，且 A-1B=CA-1，则 B=C则上述命题中，正确的命题个数为_。A0 B1 C2 D3（分数：2.50）A. B.C.D.解析：解析 对命题，当矩阵 AB 时，行列式|A|与|B|有可能相等亦可能不
17、相等，例如 ，虽然AB，但|A|=|B|，故不正确；对命题，设 ，则虽然 A0，AB=AC，但 BC，故不正确；对命题，设15.已知 =1，-2，3 T， ，A= T，则 A6=_。ABCD （分数：2.50）A.B. C.D.解析：解析 因为 A6=( T)( T)( T)( T)( T)( T)。由于 是 31 矩阵， T是 13矩阵，故 A= T是 3 阶矩阵，而 T 是 11 矩阵，是一个数，矩阵的乘法虽没有交换律，但有结合律，这样利用 T 是一个数就可简洁求出 An。因为故 A2=( T)( T)=( T) T=3 T=3A归纳得16.设 （分数：2.50）A.B.C. D.解析：解
18、析 由于 r(A)=1，那么 A 可分解为 ，从而因为故17.设 A=(a1，a 2，a 3)T，B=(b 1，b 2，b 3)T，若 （分数：2.50）A.B. C.D.解析：解析 因为 A 与 B 均是 31 矩阵，故 BTA 是 11 矩阵，是一个数，故应排除选项 D，又由故18.下列矩阵中为不可逆矩阵的是_。ABCD （分数：2.50）A.B.C.D. 解析：解析 本题考查矩阵可逆的判定，A 可逆 |A|0由于19.矩阵 的逆矩阵为_。ABCD （分数：2.50）A. B.C.D.解析：解析 解法 1(用伴随矩阵)：因为，又因为|A|=2故解法 2(用初等行变换)：对(A E)作初等行
19、变换故20.设 ，则(AB T)-1=_。ABCD （分数：2.50）A. B.C.D.解析：解析 由于故21.设 ，则 A-1=_。ABCD （分数：2.50）A.B.C. D.解析：解析 由于 ，又有22.设矩阵 满足 AX+E=A2+X，则矩阵 X=_。ABCD （分数：2.50）A. B.C.D.解析：解析 化简矩阵方程为(A-E)X=A 2-E由于 ，|A-E|=-10知 A-E 可逆，那么(A-E) -1左乘式两端，得X=(A-E)-1(A2-E)=(A-E)-1(A-E)(A+E)23.设 A、B 为 3 阶矩阵，且满足方程 A-1BA=6A+BA，若 ，则 B=_。ABCD （
20、分数：2.50）A. B.C.D.解析：解析 对于矩阵方程应先化简，不要急于代入已知数据，由于 A 可逆，用 A-1右乘方程的两端，有A-1B=6E+B进而得(A -1-E)B=6E 或那么24.设 A、B 均为 3 阶矩阵，且|A|=3，|B|=-2，则 =_。A B （分数：2.50）A.B. C.D.解析：解析 |kA|=k n|A|，|AB|=|A|B|，及行列式经转置其值不变，即|A T|=|A|，有25.已知 ，若 X 满足 AX+2B=BA+2X，则 X4=_。ABCD （分数：2.50）A.B. C.D.解析：解析 由矩阵方程得(A-2E)X=B(A-2E)因为 可逆，故 X=
21、(A-2E)-1B(A-2E)从而 X4=(A-2E)-1B4(A-2E)26.矩阵 （分数：2.50）A.B.C. D.解析：解析 对矩阵 A 作初等变换，可以用列变换，也可以行、列变换都用，而求逆矩阵只用行变换。27.设 ，A *是 A 的伴随矩阵，则|A -1+A*|=_。ABCD （分数：2.50）A.B.C.D. 解析：解析 由于28.设 A，B 均为 n 阶矩阵，则下列运算中，|A+B|=|A|+|B| |A-B|=-|B-A|AB|=|BA| |A TB|=|BTA|A|B|=|B|A|恒正确的个数为_。A1 B2 C3 D4（分数：2.50）A.B. C.D.解析：解析 一般情
22、况下|A+B|A|+|B|，例如 ，则 A+B=29.设 （分数：2.50）A.B. C.D.解析：解析 因为 BA+2A=(B+2E)A，显然 B+2E 是可逆矩阵，可知 r(BA+2A)=r(A)，对 A 作初等变换，有30.已知 A、B、C 均为 n 阶矩阵，其中 C 可逆，若 AXA-BXB=AXB-BXA+C，则 X=_。A(A 2-B2)C B(A+B)C(A-B)C(A-B) -1C(A+B)-1 D(A+B) -1C(A-B)-1（分数：2.50）A.B.C.D. 解析：解析 由已知条件 AXA-AXB+BXA-BXB=C得 AX(A-B)+BX(A-B)=C(A+B)X(A-
23、B)=C因为 C 可逆，由行列式乘法公式知 A+B，X，A-B 均可逆，那么左乘(A+B) -1，右乘(A-B) -1，得 X=(A+B)-1C(A-B)-1故正确答案为 D。31.已知 A 是 n 阶矩阵，A 2+5A+6E=0，则(A+E) -1=_。AA+5E B C D （分数：2.50）A.B. C.D.解析：解析 矩阵 A 的元素没有具体给出，故应当用定义法，从 A+E 出发向已知条件靠拢，有(A+E)(A+4E)+2E=A2+5A+6E=0故(A+E)(A+4E)=-2E那么按定义，知32.设 （分数：2.50）A.B.C. D.解析：解析 对矩阵 A 作初等变换33.若 A2B
24、-A-B=E， ，则|B|=_。A2 B C-2 D （分数：2.50）A.B. C.D.解析：解析 (A 2-E)B=A+E，(A+E)(A-E)B=A+E由于|A+E|=180，故(A-E)B=E由于|A-E|=20，故 B=(A-E)-1，34.设 A 为反对称矩阵，且|A|0，B 可逆，A、B 为同阶方阵，A *为 A 的伴随矩阵，则A TA*(B-1)T-1=_。ABCD （分数：2.50）A.B.C. D.解析：解析 A TA*(B-1)T-1=(B-1)T-1(A*)-1(AT)-135.设 A、B 均为可逆矩阵，则必有_。A(A+B) -1=A-1+B-1 B(AB) -1=A
25、-1B-1C(AB) *=A*B* D|(AB) *|=|A|n-1|B|n-1（分数：2.50）A.B.C.D. 解析：解析 (AB) *=|AB|(AB)-1=|A|B|(B-1A-1)=B*A*|(AB)*|=|B*|A*|=|B|n-1|A|n-1故正确答案为 D。36.设 A 为 n 阶对称矩阵，B 为咒阶反对称矩阵，则下列矩阵中是反对称矩阵的是_。AAB-BA BAB+BA C(AB) 2 DBAB（分数：2.50）A.B. C.D.解析：解析 因为(AB-BA) T=(AB)T-(BA)T=BTAT-ATBT=-BA+AB=AB-BA故其为对称矩阵，可排除选项 A；又(AB+BA
26、) T=(AB)T+(BA)T=BTAT+ATBT=-BA-AB=-(AB+BA)则 AB+BA 是反对称矩阵，故正确答案为 B。37.分块矩阵 ，其中 A1、A 2为 nn 可逆矩阵， 1、 2为 n1 矩阵， 1、 2为 1n 矩阵，则实数 k 的值等于_。A 1A 1 B C D （分数：2.50）A.B.C. D.解析：解析 因为故 A1A2+ 1 2=EnA1 2+k 1=0 1A2+ 2=0 1 2+k=1由式得 k=1- 1 2，由式得故 ，即38. ，则必有_。AB=AP 1P2 BB=AP 2P1 CB=P 1P2A DBP 2P1A（分数：2.50）A.B.C. D.解析：
27、解析 用初等矩阵 P2，左乘 A，相当于把 A 的第一行加到第三行上去，再用初等矩阵 P1左乘上步骤所得矩阵(P 2A)，相当于将该矩阵的第一、二行对换，而此时所得结果恰好是 B，因此 P1P2A=B，故正确答案为 C。39.设 3 阶矩阵 （分数：2.50）A.B.C. D.解析：解析 由秩(A *)=1 知秩(A)=3-1=2，则|A|=0由40.已知 1， 2， 1， 2是 3 维列向量，设A= 1， 2， 1，B= 1， 2， 2则|A+B|+|2A-5B|等于_。A3|A|-4|B| B9|A|-74|B|C22|A|-41|B| D3|A|-4|B|（分数：2.50）A.B.C. D.解析：解析 |A+B|+|2A-5B|=| 1， 2， 1+ 1， 2， 2|+|2 1，2 2，2 1|-5 1，5 2，5 2|=12 1，2 2， 1+ 2|+|-3 1，-3 2，2 1-5 2|=|2 1，2 2， 1|+|2 1，2 2， 2|+|-3 1，-3 2，2 1|+|-3 1，-3 2，-5 2|=4| 1， 2， 1|+4| 1， 2， 2|+(-3)22| 1， 2， 1|+(-3)2(-5)| 1， 2， 2|=4|A|+4|B|+18|A|-45|B|=22|A|-41|B|故正确答案为 C。
