1、考研数学一-116 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.y“+2y+y=e-x+1 的特解具有形式（分数：4.00）A.Ae-x+BB.Axe-x+BC.D.2.设随机变量 X 的数学期望 E(X)=75，方差 D(X)=5，用切比雪夫不等式估计得 P|X-75|k0.05，则 k等于（分数：4.00）A.0B.10C.20D.303.设 A 为 ms 矩阵，B 为 sn 矩阵，要使 ABx=0 与 Bx=0 为同解方程组的充分条件是（分数：4.00）A.r(A) =mB.r(AC.r(BD.r(B4.对于级数 （分数：4.00）
2、A.B.C.D.5.设随机变量 X 的密度为 （分数：4.00）A.B.C.D.6.已知 x=0 是函数 （分数：4.00）A.B.C.D.7.设 f(x)=ex2，f(x)=1+x，且 (x)0，则 (x)在其定义域内是（分数：4.00）A.有界函数B.周期函数C.单调增加函数D.单调减少函数8.已知实二次型f=(a11x1+a12x2+a13x3)2+(a21x1+a22x2+a23x3)2+(a31x1+a32x2+a33x3)2正定，矩阵 A=(aij)33，则（分数：4.00）A.A 是正定矩阵B.A 是可逆矩阵C.A 是不可逆矩阵D.以上结论都不对二、填空题(总题数：6，分数：24
3、.00)9.设 f(x)有连续导数且 （分数：4.00）填空项 1:_10. （分数：4.00）填空项 1:_11.曲面 x2-y2-z+1=0 在点(1，1，1)的切平面被柱面 （分数：4.00）填空项 1:_12.设 f(u)为连续函数，又设 f(r)dr=1，则 （分数：4.00）填空项 1:_13.设 （分数：4.00）填空项 1:_14.设 A、B 是两个随机事件，P(A) =0.4，P(AB)=0.2，P(A|B)+ （分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 f(x)在 x=0 的某邻域中有一阶连续导数且 f(0)0，f(0)0，当 h0
4、时，af(h)+bf(2h)-f(0)是比 h 高阶的无穷小，求 a，b 的值（分数：10.00）_16.设 f(x)在0，1上有连续导数，且 f(0)=0证明：至少 0，1，使 （分数：10.00）_17.(1)验证 满足微分方程(1-x)y+y=(1+x)，y| x=0=0；(2)利用(1)的结果求和函数 （分数：10.00）_18.已知为 yOz 面上经过原点的单调上升光滑曲线 y=f(x)(0zh)绕 z 轴旋转一周所成的曲面，其法向量与 z 轴正向夹角小于 （分数：10.00）_19.设 a0b，且 （分数：10.00）_20.设矩阵 （分数：11.00）_21.设 A 为三阶方阵，
5、 1， 2， 3为三维线性无关列向量组，且有A 1= 2+ 3，A 2= 3+ 1，A 3= 1+ 2(1)求 A 的全部特征值；(2)A 是否可对角化?（分数：11.00）_22.设随机变量 XN(2， 2)，YN(， 2)，且相互独立(1)写出随机变量(X+Y)与(X-Y)的分布；(2)求随机变量(X+Y)与(X-Y)的相关系数 ；(3)随机变量(X+Y)与(X-Y)是否相互独立?（分数：11.00）_23.设总体 X 的概率密度为 f(x；，)= （分数：11.00）_考研数学一-116 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.y
6、“+2y+y=e-x+1 的特解具有形式（分数：4.00）A.Ae-x+BB.Axe-x+BC. D.解析：详解 2+2+1=0 1,2=-1对于 e-x有特解为*，对于 1 有特解为*，特解为*，(C)为答案评注 对于方程 y“+py+py=f1(x)+f2(x)的特解为*是对应于 f1(x)的特解，*是对应于 f2(x)的特解-关于不同的 f(x)有不同形式的特解2.设随机变量 X 的数学期望 E(X)=75，方差 D(X)=5，用切比雪夫不等式估计得 P|X-75|k0.05，则 k等于（分数：4.00）A.0B.10 C.20D.30解析：分析 k 相当于切比雪夫不等式中的 ，将 k
7、代入不等式就可解出 k详解 *所以 k=10故(B)为答案3.设 A 为 ms 矩阵，B 为 sn 矩阵，要使 ABx=0 与 Bx=0 为同解方程组的充分条件是（分数：4.00）A.r(A) =mB.r(A C.r(BD.r(B解析：分析 利用齐次线性方程组解的性质详解 显然，方程组 Bx=0 的解是 ABx=0 的解，要使方程组 ABx=0 的解也是 Bx=0 的解，即由 ABx=0 推导出 Bx=0，只需方程组 Ax=0 只有零解，即秩(A)=s所以选(B)评注 相关结论：若方程组 Ax=0 与 Bx=0 同解，则 r(A)=r(B)若 r(A)=r(B)，且方程组 Ax=0 的解都是方
8、程组 Bx=0 的解，则方程组 Ax=0 与 Bx=0 同解4.对于级数 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：分析 利用重要级数*与*的收敛性质详解 对于级数*，当 0p1 时，条件收敛，当 p1 时，绝对收敛对于正项级数*，当 p2 时，收敛所以，由收敛级数的性质得，当 1p2 时，级数*绝对收敛因此选(D)评注 该题考察重要级数*与*的收敛性质涉及结论：若级数*与*都绝对收敛，则级数*也绝对收敛另外，若*绝对收敛，*条件收敛，则*条件收敛5.设随机变量 X 的密度为 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：分析 由密度表达式知：XN(1，1)详解 由密度表达式知：XN(1，1)，D
9、(X)=1，E(X)=1，P(X1)=P(X1)，即(A)，(C)，(D)都正确，所以(B)为答案由 N(1，1)图像知：P(X0)=P(X2)*评注 1由排除法排除(A)、(C)、(D)，直接得出(B)为答案；2由随机变量密度函数的图像找到正确答案是必须掌握的方法应熟记均匀分布、指数分布、正态分布的密度函数、分布函数的表达式及图像6.已知 x=0 是函数 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：分析 由已知可得极限*存在，再由已知极限求参数详解 方法一：由已知可得极限*存在，又*，*，极限=*所以，只有当 b-1，该极限存在，因此选(D)方法二：由洛必达法则：*为确定的实数，则 b-1，故
10、(D)为答案评注 该题以间断点类型的形式得到极限存在，进而转化为已知极限存在求极限中所含的参数7.设 f(x)=ex2，f(x)=1+x，且 (x)0，则 (x)在其定义域内是（分数：4.00）A.有界函数B.周期函数C.单调增加函数 D.单调减少函数解析：详解 由 f(x)=*得 f(x)=*=1+x，又因 (x)0，所以*，其定义域为 x0显然(x)不是周期函数，排除(B)又*，因此，(x)在其定义域内是无界的，所以不选(A)由于 In(1+x)以及*是单调增加函数，所以*为单调增加函数，因此选(C)不是选(D)评注 也可用*的导数符号来判断*的单调性：* (x0)，所以*在其定义域内是单
11、调增加的8.已知实二次型f=(a11x1+a12x2+a13x3)2+(a21x1+a22x2+a23x3)2+(a31x1+a32x2+a33x3)2正定，矩阵 A=(aij)33，则（分数：4.00）A.A 是正定矩阵B.A 是可逆矩阵 C.A 是不可逆矩阵D.以上结论都不对解析：分析 利用二次型正定的定义及方程组解的性质详解 由 f(a 11x1+a12x2+a13x3)2+(a21x1+a22x2+a23x3)2+(a31x1+a32x2+a33x3)2=XTATAX=(AX)T(AX)，所以，对于任意 X0，f0 的充要条件是 AX0，即方程组 Ax=0 只有零解因此实二次型 f 正
12、定的充要条件是方程组 Ax=0 只有零解，即 A 为可逆矩阵因此选(B)评注 该题将二次型正定的定义、方程组解的性质综合起来二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 f(x)有连续导数且 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：2）解析：分析 由已知得*，*可求得 k 的值详解 由已知得，*所以 *=-f(0)(当 k=2 时)因此，k=2评注 该题属于已知极限求参数，并且综合了导数定义、无穷小比较及洛必达法则10. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：lnn!）解析：分析 *详解 *评注 应熟记：当 k 为整数时，x=kxk，k+1)，x-1xx11.曲面 x2-y2
13、-z+1=0 在点(1，1，1)的切平面被柱面 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：6）解析：分析 设切平面方程为 z=f(x，y)，则所求面积为*详解 设 F(x，y，z)=x 2-y2-z+1，则曲面 x2-y2-z+1=0 在点(1，1，1)处的法向量为(F x，F y，F z)|(1,1,1)=(2，-2，-1)，得切平面为 z=2x-2y+1，所求面积为*评注 该题综合 y 求曲面切平面与曲面的面积12.设 f(u)为连续函数，又设 f(r)dr=1，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：）解析：分析 对于二重积分，积分区域为圆形区域，被积函数中出现 x2+y2
14、，应该使用极坐标变换详解 *评注 该题使用极坐标变换后，还应使用定积分变量替换 2=r 才能得出正确答案13.设 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：1）解析：分析 由 BA=0 得 r(A)+r(B)3，又 B 为非零矩阵，即 r(B)1，所以r(A)2，即|A|=0，由此可求得 a 的值，从而可求得 r(A)与 r(B)详解 由 BA=0 得 r(A)+r(B)3，又 B 为非零矩阵，即 r(B)1，所以r(A)2，即|A|=0又|A|=5a-15，所以 a=3因此 r(A)=2，得 r(B)1，所以 r(B)=1评注 该题主要考察矩阵的秩的有关性质14.设 A、B 是两个随机事
15、件，P(A) =0.4，P(AB)=0.2，P(A|B)+ （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：0.7）解析：分析 由已知可求得 P(B)，再利用公式 P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)即可详解 由*得 P(B)=0.5，所以，P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.7评注 该题主要考察事件概率的运算性质及公式其实，由 P(A|B)+P(*)=1 可得 A 与 B 相互独立，即P(AB)=P(A)P(B)应注意 A 与 B 相互独立的等价形式：P(AB)=P(A)P(B)；P(A|B)=P(*)；P(A|B)+P(*)=1；P(B|A)=P(B)三、解答题(总题数
16、：9，分数：94.00)15.设 f(x)在 x=0 的某邻域中有一阶连续导数且 f(0)0，f(0)0，当 h0 时，af(h)+bf(2h)-f(0)是比 h 高阶的无穷小，求 a，b 的值（分数：10.00）_正确答案：(详解 *a+b-1=0由洛必达法则*(a+2b)f(0)=0，a+2b=0b=-1，a=2)解析：分析 已知条件为*评注 该题还可用泰勒展开的方法或用导数定义的方法求解，读者可自行完成16.设 f(x)在0，1上有连续导数，且 f(0)=0证明：至少 0，1，使 （分数：10.00）_正确答案：(证明 因为 f(x)在0，1上有连续导数，所以，函数 f(x)在0，1上取
17、到最值设最大与最小值分别为 M 与 m，即有 mf(x)M，x0，1又由中值定理有 f(x)=f(x)-f(0)=xf()，得 2*f(x)dx=2*xf()dx，*，即*，由介值定理，至少*0，1，使*)解析：分析 因为 f(x)在0，1上有连续导数，所以只需证明常数 2*f(x)dx 在函数 f(x)的最大值与最小值之间，由介值定理即可证明评注 本题综合了最值定理、介值定理、中值定理及定积分的性质17.(1)验证 满足微分方程(1-x)y+y=(1+x)，y| x=0=0；(2)利用(1)的结果求和函数 （分数：10.00）_正确答案：(详解 (1)*所以*=1+x(2)该一阶线性方程的通
18、解为y=2-(x-1)ln(1-x)+C(x-1)，由 y(0)=0 得 C=2于是 y(x)=2x+(1-x)ln(1-x)，x-1，1)*)解析：分析 逐项求导后得到 y，代入方程，验证幂级数满足微分方程求解一阶线性方程的初值问题得到和函数评注 也可以用逐项求导、逐项求积分的方法求和函数，但不符合本题要求本题说明对于某些幂级数也可用解微分方程的方法求和函数18.已知为 yOz 面上经过原点的单调上升光滑曲线 y=f(x)(0zh)绕 z 轴旋转一周所成的曲面，其法向量与 z 轴正向夹角小于 （分数：10.00）_正确答案：(详解 曲面的方程为 x2+y2=f2(z)，作有向曲面 S：z=h
19、，x 2+y2f 2(h)，法向量取 z 轴负向，设曲面和 S 所围成的区域为 则*其中，区域 D(z)为 z=z，x 2+y2f 2(z)； 区域 Dxy为 z=0，x 2+y2f 2(h)所以有*，又 f(0)=0，解微分方程得*，即所求曲线为*)解析：分析 利用曲面积分的物理意义，将流量表示为曲面积分，再通过补面利用高斯公式求得积分由速度为导数，通过求导得到微分方程，解方程求得函数 f(z)评注 本题较好地综合了曲面积分的物理意义、高斯公式、导数的物理意义以及微分方程19.设 a0b，且 （分数：10.00）_正确答案：(详解 *a 2+b2=1求交点：*得 x=0，x=b-a*得条件极
20、值问题：*令*a0b，边界点为 a=0，b=1，a=-1，b=0，)解析：分析 *在 y=x2+ax 的上方，所以 S=*(bx-x2-ax)dx评注 这是综合了面积，条件极值等许多考点的综合题尤其要注意怎样从巳知条件导出条件极值问题，希望读者熟练掌握20.设矩阵 （分数：11.00）_正确答案：(详解 *得 1= 2= 3=1， 4=9对于 1= 2= 3=1，得特征向量 1=(1，0，0，0) T， 2=(0，1，0，0) T， 3=(0，0，-1，1) T，为正交的特征向量，标准化后得 1=(1，0，0，0) T， 2=(0，1，0，0) T，*对应于 4=9 的特征向量为 4=(0，0
21、，1，1) T，标准化后为*令*使*)解析：分析 *为对称矩阵，(AP) T(AP)=PT(ATA)P，所以可求正交矩阵 P，使 pT(ATA)P 为对角阵评注 *相应的二次型为*可用配方法将 f 转换成标准型，得出可逆矩阵 P(不同于详解中的正交矩阵 P)使(AP) TAP 为对角阵，由读者自己完成21.设 A 为三阶方阵， 1， 2， 3为三维线性无关列向量组，且有A 1= 2+ 3，A 2= 3+ 1，A 3= 1+ 2(1)求 A 的全部特征值；(2)A 是否可对角化?（分数：11.00）_正确答案：(详解 (1)由已知得，A( 1+ 2+ 3)=2( 1+ 2+ 3)，A( 2- 1
22、)=-( 2- 1)，A( 3- 1)=-( 3- 1)，又因为 1， 2， 3线性无关，所以， 1+ 2+ 30， 2- 10， 3- 10所以-1，2 是 A 的特征值； 2- 1， 3- 1， 1+ 2+ 3是相应的特征向量又由 1， 2， 3线性无关，得 2- 1， 3- 1也线性无关，所以-1 是矩阵 A 的二重特征值，即 A 的全部特征值为-1，2(2)由 1， 2， 3线性无关可证明 2- 1， 3- 1， 1+ 2+ 3线性无关，即矩阵 A 有三个线性无关的特征向量，所以，矩阵 A 可相似对角化)解析：分析 首先，由已知及特征值与特征向量的定义得矩阵的特征值与特征向量；其次，由
23、矩阵相似对角化的充要条件讨论矩阵是否可对角化评注 对于抽象的矩阵，经常利用定义与性质讨论其特征值与特征向量问题22.设随机变量 XN(2， 2)，YN(， 2)，且相互独立(1)写出随机变量(X+Y)与(X-Y)的分布；(2)求随机变量(X+Y)与(X-Y)的相关系数 ；(3)随机变量(X+Y)与(X-Y)是否相互独立?（分数：11.00）_正确答案：(详解 令 U=X+Y，V=X-Y，由已知 U 与 V 都服从正态分布(1)E(U)=E(X+Y)=E(X)+E(Y)=3，E(V)=E(X-Y)=E(X)-E(Y)=，D(U)=D(X+Y)=D(X)+D(Y)=2 2，D(V)=D(X-Y)=
24、D(X)+D(Y)=2 2，所以，UN(3，2 2)，VN(，2 2)(2)E(UV)=E(X+Y)(X-Y)=E(X2-Y2)=E(X2)-E(Y2)=D(X)+E2(X)-D(Y)-E2(Y)=3 2，所以，*(3)虽然 U 与 V 都服从正态分布，但是(U，V)不一定服从二维正态分布，所以，即使 u =0，也不能得到U 与 V 相互独立，即 U 与 V 不一定相互独立)解析：分析 利用正态分布的有关性质解题评注 对于正态分布，要注意：(1)如果(X，Y)服从二维正态分布，则 X 与 Y 相互独立*=0，即 X 与 Y 不相关。(2)X 与 Y 分别服从正态分布，且 XY=0，不能得到 X
25、 与 Y 相互独立23.设总体 X 的概率密度为 f(x；，)= （分数：11.00）_正确答案：(详解 (1)矩估计*所以*联立解得*即为 和 的矩估计(2)最大似然估计：似然函数为*当*(即 x1，x n)时*所以 *而 *，即 lnL 关于 单调递增观察 L 可得，当*，L 可达最大，故 的最大似然估计为*令*，代 为*，得 的最大似然估计为*)解析：评注 本题为双参数点估计，所以求矩估计时需示 E(X)和 E(X2)求最大似然估计时，L 中的 xi的下标 i 勿忘!区间范围中 x1，x n 等价于*(如果是 x1，x n，则等价于*)，不要将“其他”写成“x i”当发现*时，原来常用的老方法(令*，解方程)行不通了，这时经观察发现，想让 L 达最大，须*(否则 L=0，太小了)而*时，从 L 的表达式中看出：此时 越大，L 就越大(lnL当然就越大)，故 应在此限制(即*)下达最大才行(使 L 达最大)，故应取*作为最大似然估计，这种思路请体会之(本题中若取*，构成 2000 年数学一考研题，若令 =1，构成 2002 年数学三考研题)
