1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 116 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设当 x1 时， 与 x-1 是等价无穷小量，则 m 等于( )（A）2（B） 3（C） 4（D）52 已知 f(x)在点 x=x0 处可导，且 f(x0)=k(k 是非零常数 )，=8，则 k 等于( )（A）2（B） -2（C） 4（D）-4 3 设 f(x)在(0，a)内可导，则下列命题正确的是( )4 曲线 的凹区间为( )5 设 f(x)= ，则( )（A）f(x)=f(x+2)（B） f(x)f(x+2)（C） f(x)f(x+2)（D）当 x0 时，f(x) f(
2、x+2)；当 x0 时，f(x)f(x+2)6 由曲线 xy=1 及直线 y=x，y=2 所围成的平面图形的面积为 ( )7 设 f(x，y)在点(x 0，y 0)处两个偏导数 fx(x0，y 0)，f y(x0，y 0)都存在，则( )（A）f(x，y)在点(x 0，y 0)处连续（B） f(x，y) 存在（C） f(x0，y)=f(x 0，y 0)（D）f(x，y)在点(x 0，y 0)处可微8 平面 2x+3y-z=是曲面 z=2x2+3y2 在点 处的切平面，则 =( )9 设空间区域 由球面 x2+y2+z2=1 与圆锥面 不等于( )10 设 是由圆锥面 围成的空间区域，是 的整个
3、边界的外侧，则 xdydz+ydzdx+zdxdy=( )11 下列命题：设幂级数 的收敛半径分别为 R1，R 2，则幂级数(anbn)xn 的收敛半径为 R=minR1，R 2；若幂级数 anxn 的收敛半径为R，则必有 若幂级数 anxn 的收敛半径为 R，则必有若 anx2n 的收敛半径为其中正确的有( )（A）1 个（B） 2 个（C） 3 个（D）4 个12 如果 y=xex+x 是微分方程 y-2y+ay=bx+c 的解，则( )（A）a=1 ，b=1，c=1（B） a=1，b=1，c=-2 （C） a=-3，b=-3，c=0（D）a=-3，b=1 ，c=1 二、填空题13 已知
4、，则 a=_，b=_14 当 x0 时，(sin2x-2sinx)与 x4 是同阶无穷小，则 k=_15 已知 ，则 f(x)=_16 函数 在区间0，2上的最大值是_，最小值是_17 =_.18 =_.19 由抛物线 y=x2 绕 y 轴旋转一周构成一旋转抛物面容器，高为 Hm，现于其中盛水，水高为 m，问要将水全部抽出，外力需要作的功为 _(其中水的密度为)20 设 z=z(x，y)是由方程 x+2y+z- 确定的隐函数，则 dz=_21 =_.22 设 L 为抛物线 上从点 A(1，)到点 B(2，)的有向曲线弧，则 =_.23 设 an= 的和等于_24 设 f(x)=x+2，x(0，
5、4，则 f(x)的以 4 为周期的傅里叶级数在 x=4 处收敛于_.25 y+y=xsinx 的通解为_考研数学一（高等数学）模拟试卷 116 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 由已知条件知所以m=3【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 C【试题解析】 因为=-3f(x0)+5f(x0)=2f(x0)=2k=8，所以 k=4【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 C【试题解析】 (反例排除法) 取 f(x)= ，则 f(x)在(0，1)内可导，f(x)=，排除 A取 f(x)= ，则 f(x)在(0，1)内可导， f(x
6、)= ，排除 B取 f(x)=x2sin ，则 f(x)在(0，1)内可导，但f(x)不存在，排除 D，故应选 C事实上，由洛必达法则，有【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 D【试题解析】 令 y=0，得 x1=，列表 3：【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 A【试题解析】 设 (t)=ecost-e-cost，则 (t+2)=e cos(t+2)-e-cos(t+2)=ecost-e-cost=(t)， (-t)=ecos(-t)-e-cos(-t)=ecost-e-cost=(t)，即 (t)是以 2 为周期的连续偶函数，由上题评注公式，有【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 C
7、【试题解析】 本题主要考查平面图形的面积在不同的积分变量下的计算方法 由xy=1， y=x 联立解得曲线的交点为(1，1)，(-1，-1)(舍去)，如图 13 所示选取 y 为积分变量，则平面图形的面积为排除 A、B选取 x 为积分变量，则平面图形的面积由两部分构成故应选 C【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 C【试题解析】 由上题评注知，A、D 不正确，B 与已知条件没有必然联系，故只有选 C事实上，因为即一元函数f(x，y 0)在 x0 点可导，一元函数 f(x0，y)在 y0 点可导，故一元函数 f(x，y 0)在 x0 点连续，一元函数 f(x0，y)在 y0 点连续，于是【知识模
8、块】 高等数学8 【正确答案】 D【试题解析】 因为平面 2x+3y-z= 是曲面 z=2x2+3y2 在点 处的切平面，所以点 在平面 2x+3y-z= 上，因此点的坐标满足平面方程，故【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 B【试题解析】 本题主要考查三重积分在不同坐标下化为三次积分的方法积分区域 如图 27 所示，由 消去 z 得 在 xOy 面上的投影区域为 x2+y2 于是在直角坐标下，用投影法化为累次积分为在直角坐标下，用截面法化为累次积分为 在柱坐标下，化为累次积分为 在球坐标下，化为累次积分为故选 B【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 A【试题解析】 本题考查利用高斯公式
9、计算封闭曲面上的第二类曲面积分由消去 z，得 x2+y2= ，于是 在 xOy 面上的投影区域为 x2+y2 利用高斯公式，得【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 A【试题解析】 取 的收敛半径均为 1，但 的收敛半径为+，命题错误对于幂级数未必存在如取 an=1+(-1)n，则幂级数 1+(-1)nxn 的收敛半径为 1，但极限命题与命题 错误故只有命题 正确，应选 A事实上，考虑 的绝对级数 ，利用比值审敛法， 当时，级数绝对收敛，从而原幂级数绝对收敛当 时，级数发散，从而原幂级数发散【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 B【试题解析】 因为 y=xex+x 是二阶线性常系数非齐次
10、微分方程 y-2y+ay=bx+C 的解，所以 xex 是对应的齐次微分方程的解，其特征方程有二重根 r1=r2=1，特征方程为 r2-2r+1=0，进一步齐次微分方程为 y-2y+y=0 ， 从而 a=1x 为微分方程本身的特解，将 y=x 代入微分方程 y-2y+y=bx+c， 得-2+x=bx+c ，于是 b=1，c=-2【知识模块】 高等数学二、填空题13 【正确答案】 2，-3【试题解析】 由 (x2+ax+b)=1+a+b=0，即 1+a+b=0从而 所以 a=2，b=-3【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 3【试题解析】 因为当 x0 时，sin2x-2sinx 与 xk
11、是同阶无穷小，所以故 k=3【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 2x【试题解析】 因为 ，则 f(t)=t2-2，从而 f(x)=x2-2，f(x)=2x【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 【试题解析】 先求函数在区间0，2上的驻点与使得一阶导数不存在的点令y=0，解得驻点为 (舍去)，当 x3=0，x 4=1，x 5=-1(舍去) 时，y不存在再求区间0，2 上的驻点、一阶导数不存在的点以及端点处的函数值，通过比较可知，函数在区间0 ，2上的最大值是【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 【试题解析】 本题主要考查第一换元法与分部积分法【知识模块】 高等数学18 【正确答案】
12、【试题解析】 令 x-1=sint，t，则【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 【试题解析】 取 y 为积分变量，y ，如图 41 所示，在 上的任一小区间y ，y+dy的一薄层水的高度为 dy，将这薄层水抽出的做功微元为 dW=x 2g(H-y)dy=gy(H-y)dy，其中 g 为重力加速度，于是所求的功为【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 【试题解析】 方程 x+2y+z- =0 两边求全微分，得【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 【试题解析】 按所给二次积分的次序，被积函数 关于 x 的原函数求不出来，因此须交换积分次序，再进行计算由已知二次积分知，积分区域由直线，y=
13、1，x=y 与曲线 两部分区域构成，如图 46 所示交换积分次序，得【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 1+【试题解析】 本题考查第二类曲线积分的计算记所以曲线积分与路径无关因此可以改变原有积分曲线路径，简化计算 取一条特殊的积分路径：由 A(1，)沿直线 y= 到 B(2，)，则【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 1【试题解析】 因为 an= tannxdx，所以【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 4【试题解析】 将 f(x)=x+2，x(0 ，4延拓成周期为 4 的周期函数，则 x=4 是间断点，由傅里叶级数收敛定理，f(x)的傅里叶级数在 x=4 处收敛于 f(4+0)
14、+f(4-0)= (2+6)=4【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 y=C 1cosx+C2sinx- xsinx【试题解析】 这是一个非齐次项形如 f(x)=exPm(x)cosx+Pn(x)sinx的形式的二阶线性常系数非齐次微分方程求通解问题 首先求 y+y=0 的通解y+y=0 的特征方程为 r2+1=0，特征根为 r1,2=i，所以其通解为 Y=C1cosx+C2sinx 其次求y+y=xsinx 的一个特解因为 iw=i 是特征根，故设 y*=x(Ax+B)cosx+(Cx+D)sinx是其一个特解则 y*=(Cx2+2Ax+Dx+B)cosx+(-Ax2-Bx+2Cx+D)sinx，y *=(-Ax2-Bx+4Cx+2A+2D)cosx+(-Cx2-4Ax-Dx-2B+2C)sinx，将其代入到 y+y=xsinx，并化简得 (4Cx+2A+2D)cosx+(-4Ax-2B+2C)sinx=xsinx，比较等式两边 cosx，sinx的系数，得 再比较等式两边 x 同次幂的系数，得最后写出y+y=xsinx 的通解，为 y=Y+y*=C1cosx+C2sinx- xsinx【知识模块】 高等数学
