1、考研数学一（线性代数）模拟试卷 116 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A 为 3 阶非零矩阵，且 A20，则 A 的线性无关的特征向量的个数为（A）0 个（B） 1 个（C） 2 个（D）3 个2 已知 A 是 3 阶矩阵， 1， 2 是 A 的两个线性无关的特征向量，特征值都是 2， 3也是 A 的特征向量，特征值是 6记 P( 2， 1， 3) P(3 3， 2， 1) P( 1， 1 2， 3) P( 1， 2 3， 3) 则满足 P-1AP 的是（A），（B） ，（C） ，（D），二、填空题3 已知 A 有三个线性无关的特征向量，则
2、a_4 设 n 阶矩阵 A 的各行元素之和均等于 2，且满足 A2kA6E 0，其中 E 为 n 阶单位矩阵，则参数 k_5 设 A 是 3 阶矩阵，向量 1(1，2，0) T， 2(1，0，1) T，(1，2，2)T已知 2 是矩阵 A 的一个特征值， 1， 2 是 A 的属于 2 的特征向量，则A_ 6 已知矩阵 A 第一行 3 个元素分别是 3，1，2 ，又 1(1，1，1)T， 2(1，2，0) T， 3(1，0，1) T 是矩阵 A 的三个特征向量，则矩阵A_7 设二次型 4223 322a 124 138 23 经正交变换化为标准形y126y 22by 32，则 a_ 8 若 f(
3、1， 2， 3)(a 12 23 3)2( 22 3)2( 1a 2 3)2 是正定二次型，则a 的取值范围是 _9 已知 1(1，1，1) T， 2(1，2，4) T， 3(1，1，1) T 是 3 维空间的一组基，则 (1 ，3，9) T 在基 1， 2， 3 下的坐标是_10 已知 1(1 ，1，1) T， 2(0，1，1) T， 3(0，0，1) T 与 1(1，0，1)T， 2(1，1，0) T， 3(0，1，1) T 是 3 维空间的两组基，那么坐标变换公式为_11 已知 1(1 ，1，1) T， 2(1，0，1) T， 3(1，0，1) T 与 1(1，2，1)T， 2(3，3，
4、3) T， 3(2，4，3) T 是 R3 的两组基，那么在这两组基下有相同坐标的向量是_12 已知 A ，则 A 的解空间的规范正交基是_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 已知矩阵 A 和 B 相似，其中 求a，b，c 的值14 设 3 阶实对称矩阵 A 的特征值是 18， 2 32，矩阵 A 属于特征值 1 的特征向量是 1(1，k，1) T，属于特征值 2 3 的一个特征向量是 2(1，1，0)T () 求参数 k 及 A 的属于特征值 2 3 的另一个特征向量； ()求矩阵 A15 设 A 是 3 阶实对称矩阵，其主对角线元素都是 0，并且 (1，2，1) T 满
5、足A2 ()求矩阵 A； ()求正交矩阵 P，使 P-1AP 为对角矩阵16 设 3 阶实对称矩阵 A 的特征值是 1，2，1，矩阵 A 的属于特征值 1 与 2 的特征向量分别是 1(2 ，3， 1)T 与 2(1，a ，2a) T，A *是 A 的伴随矩阵，求齐次方程组(A *2E)0 的通解17 设 A 是 3 阶实对称矩阵， 1， 2， 3 是矩阵 A 的三个不同的特征值，1， 2， 3 是相应的单位特征向量，证明 A 111T 222T 333T18 设三元二次型 TA 经正交变换化为标准形 5y12y 22y 32，若 A5 ，其中(1，1，1) T，求此二次型的表达式19 设二次
6、型 f(1， 2， 3， 4) TA 的正惯性指数为 p1，又矩阵 A 满足A22A3E，求此二次型的规范形并说明理由20 设 A ， ()若矩阵 A 正定，求 a 的取值范围； ()若 a 是使 A 正定的正整数，求正交变换化二次型 TA 为标准形，并写出所用坐标变换21 已知矩阵 A 能相似对角化，求正交变换化二次型 TA 为标准形22 设 A，B 分别是 m 阶与 n 阶正定矩阵，证明 C 是正定矩阵23 已知 A ，其中 aiaj，i ，j1，2，s 试讨论矩阵 ATA 的正定性24 设 A 为 m 阶正定矩阵，B 是 mn 矩阵，证明矩阵 BTAB 正定的充分必要条件是秩 r(B)n
7、25 已知 是 n 维向量，证明矩阵 AE4 T 的列向量是 n维向量空间的一组规范正交基考研数学一（线性代数）模拟试卷 116 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 由 A0 及 A20 2r(A)r(A)3 r(A)1设 为 A 的任一特征值，对应的特征向量为 ，则 A，于是有 A2 2由 A20 可知20，又 0，所以 0，由此可知 A 的特征值全为零A 的线性无关特征向量的个数即齐次线性方程组 A0 的基础解系中解向量的个数，则有 3r(A) 2个，故选 C【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 B【试题解析】 P -
8、1AP P 的列向量组是 A 的一组线性无关的特征向量，特征值依次为 2，2，6 的第 2 个列向量 2 3，不是 A 的特征向量， 不合要求中 33， 2， 1 的特征值依次为 6，2，2， 也不合要求于是选项A，C，D 都排除，选 B【知识模块】 线性代数二、填空题3 【正确答案】 10【试题解析】 先求矩阵 A 的特征值，由 EA (1)( 2) 2， 知矩阵 A 的特征值是 11 ， 2 32 因为矩阵 A 有三个线性无关的特征向量，2 是二重特征值，故 2 必有两个线性无关的特征向量，那么秩 r(2EA)1所以 a10【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 5【试题解析】 设 是 A
9、 的特征值， 为属于 的特征向量，则 A 于是，有 (A2kA6E)( 2k 6)0， 由于 0，故有 2k60 (*) 又因为矩阵 A 的各行元素之和等于 2，从而 这里(1，1，1) T 是 n 维列向量所以 2 是矩阵 A 的一个特征值代入(*)式，得 2 22k 60， 因此，解得 k5【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 (2，4，4) T【试题解析】 将向量 表示为 1， 2 的线性组合形式由于所以，向量 12 2因为2 是矩阵 A 的一个特征值， 1， 2 是属于 2 的特征向量，故有 A A(12 2)A 12A 22 12.2 2 2(2)2 (2，4，4) T， 即向量
10、仍是矩阵 A 属于 2 的特征向量【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 【试题解析】 设矩阵 A 的三个特征值依次为 1， 2， 3，则利用第 1 行相乘，可知 10，类似可知2 31，于是得关于 A 的矩阵方程 A(1， 2， 3)(0， 2， 3)用初等变换法求解：【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 2【试题解析】 二次型矩阵与标准形矩阵分别是由 A ，有a2【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 a1 且 a【试题解析】 由题设条件知，对任意的 1， 2， 3，恒有 f(1， 2， 3)0，其中等号成立的充分必要条件是 而上述齐次方程组仅有零解的充分必要条件是其系数行列式所以，当
11、a1 且 a时， (1， 2， 3)T0，恒有 f(1， 2， 3)0，即二次型正定【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 【试题解析】 设 11 22 33，即 解出12， 2 ， 3 ，即 在基 1， 2， 3 下的坐标是 【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 【试题解析】 求坐标变换公式就是求两组基之间的过渡矩阵按定义( 1， 2， 3)( 1， 2， 3)C，则 C (1， 2， 3)-1(1， 2， 3)因此坐标变换公式为【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 (4t，5t，2t) T【试题解析】 设 11 22 33 11 22 33，则 1(1 1) 2(2 2) 3(3
12、3)0 对( 1 1， 2 2， 3 3)作初等行变换，有解出 2t， 32t， 15y于是 5t1t 22t 3(4t， 5t，2t) T 为所求【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 1 ( 1，1，1，0) T， 2 (5，4，1，3) T【试题解析】 对矩阵 A 作初等行变换，有得到 A0 的基础解系是 1( 1，1，1，0) T， 2(2，1，0，1) T 将其 Schmidt 正交化，有 1 1(1，1，1，0) T， 2(2，1，0，1) T (1，1，1，0)T (5，4，1，3) T 单位化为 1 (1，1，1，0) T， 2 (5，4，1，3) T 即是 A 的解空间的规
13、范正交基【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 【正确答案】 A 相似于对角矩阵 B，则 A 的特征值为曰的对角线元素b，b，c，并且 2bc tr(A)12又 AbE 相似于 BbE，因此 r(AbE)r(B bE)1 由于 r(AbE)1，它的任何两个行向量都线性相关，对应分量成比例，于是 1b1，a(5b)， 解得b2，a 3 c 1226 8【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 () 因为 A 是实对称矩阵，属于不同特征值的特征向量相互正交 1， 2 是 A 的分别属于特征值 1， 2 3 的特征向量，故有 1T20，即 1k00 解得 k1，
14、从而， 1(1 ，1，1) T 设矩阵 A 的属于特征值2 3 的另一个特征向量为 3( 1， 2， 3)T由于 1， 3 是 A 的属于不同特征值的特征向量，故有 1T30为使属于同一特征值 2 3 的 2 个特征向量线性无关，进一步设 2T30于是有齐次线性方程组 解得方程组的基础解系为(1 ，1，2) T所以，矩阵 A 的属于 2 32 的另一个特征向量3(1，1，2) T ()建立关于 A 的矩阵方程：用初等变换法求 A：【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 () 设 A ，由 A2 得到 a122，a 132，a 232 故 A ()由矩阵 A 的特征多项式 EA(2) 2(4)
15、， 得到矩阵 A 的特征值为 1 22， 34 对于 2，由(2EA) 0，得到属于 2 的特征向量1 (1，2， 1)T， 2(1，0，1) T 对 4，由(4E A) 0，得到属于 4 的特征向量 3(1，1，1)T 因为 1， 2 已正交，故只需单位化，有那么，令 P( 1， 2， 3)则 P-1AP【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 由 A 的特征值是 1，2，1，可知行列式 A2，那么 A*的特征值是2，1，2于是 从而 A*2E 所以 r(A*2E) r()2那么，(A *2E)0 的基础解系由一个线性无关的解向量所构成 又因矩阵 A 属于 1 的特征向量就是 A*属于2 的
16、特征向量，亦即 A*2E 属于 0 的特征向量 由于 A 是实对称矩阵，不同特征值的特征向量相互正交设矩阵 A 属于特征值 1 的特征向量是3 (1， 2， 3)T，则有 a2 3(2，1， 1)T 所以齐次方程组(A *2E)0 的通解是：k(2， 1，1) T，其中 k 为任意实数【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 令 P( 1， 2， 3)，则 P 是正交矩阵，由于 A 是实对称矩阵，故必有 P -1AP 那么 APP -1PP T由于从而有 A 111T 222T 333T【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 二次型经正交变换化为标准形 5y12y 22y 32，知矩阵 A
17、的特征值是 5，1，1设 1 的特征向量是 ( 1， 2， 3)T，由于 A 是实对称矩阵，故 与 正交，则有 1 2 30 解出 1( 1，1，0) T， 2( 1，0，1) T 那么令 P(， 1， 2) 则 P-1AP 于是APP -1 所以 TA 12 22 324 124 234 31【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 设 是矩阵 A 的任一特征值， 是矩阵 A 属于特征值 的特征向量，即 A，0那么(A 22A)3 ，即有 (33)0，即有2230，故 3 或 1 又因正惯性指数 P1，故 f 的特征值必为3，1，1，1 所以，二次型的规范形是 y12y 22y 32y 42
18、【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 () 由 A 的特征多项式 E A ( a 2) 2(2a2)， 得到矩阵 A 的特征值是 1 22a ， 32a2 那么 A 正定 a(1，2) ()满足矩阵 A 正定的正整数 a1，那么 此时，矩阵 A 的特征值是 1 21， 34 对于 1，由(EA) 0，得到属于 1 的特征向量 1(1，1，0)T， 2(1，0，1) T 对于 A=4，由(4EA) 0，得到属于 4 的特征向量 3(1，1，1)T 对 1， 2 正交规范化处理，有则经Py，有 TAy Tyy 12y 224y 32【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 由 A 的特征多项式
19、 E A ( 6) 2(2)， 知矩阵 A 的特征值是1 26， 32由于矩阵 A 可以相似对角化，故 6 必有 2 个线性无关的特征向量，那么由 r(6E A) 1， 得知 a0因此TA2 122 226 3210 12 二次型的矩阵为 A1 由 E A1 ( 6)( 7)(3)， 知二次型TA TA1 的特征值是 6，7，3 对 6，由(6EA 1)0 得 1(0，0，1)T 对 7，由(7E A 1)0 得 2(1，1，0) T 对 3，由(3E A 1)0得 3 (1， 1，0) T 不同特征值的特征向量已正交，故只需单位化，有那么，令 P( 1， 2， 3)则经 Py，有 TA6y
20、12 7y223y 32【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 由于 A，B 均是正定矩阵，知 ATA ，B TB，那么所以，矩阵 C 是对称矩阵。由于 EC E mA E nB， 可知矩阵 A的特征值 1， 2， m 与矩阵 B 的特征值 1， 2， n 就是矩阵 C 的特征值 因为矩阵 A，B 均正定，所以 i(i1，2， ，m) ， j(j1，2，n)均为正数，即矩阵 C 的特征值全大于零，故矩阵 C 正定【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 由(A TA)TA T(AT)TA TA，知 ATA 是对称矩阵 ()如果sn，则齐次方程组 A0 有非零解，设为 0，那么 0T(ATA)
21、0 0TATA00， 00所以矩阵 ATA 不正定 ()如果 sn，因为aiaj，A(a ia j)0，A 是可逆矩阵，那么 BA TAA TEA 即 B 与 E 合同故矩阵 B 正定 ()如果 sn，则因 可逆， 知线性无关， 那么延伸后 A的列向量仍线性无关 从而，对任意 0，恒有 A0，于是 T(ATA)(A) T(A)A 20 即矩阵 ATA 正定【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 首先证必要性 由 BTAB 正定，知B TAB0，那么 nr(B TAB)r(B)min(m，n)n 所以 r(B)n 或者，由 A 正定，知AD TD，D 是可逆矩阵，那么 nr(B TAB)r(B
22、 TDTDB)r(DB) T(DB)r(DB)r(B) 再证充分性 因为(B TAB)TB TAT(BT)TB TAB，故矩阵 BTAB 对称 设A 是矩阵 BTAB 的任一特征值， 是属于特征值 的特征向量，即 BTAB，0 用 T 左乘上式的两端，有(B) TA(B) T 由于秩 r(B)n，0，知 B0 及 T 20，又因 A 正定，从而 T() TA(B)0 因此，特征值 0，即 BTAB 正定【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 因为 AT(E4 T)TE 4( T)TTA ，又 T 故 ATAAA T(E 4 T)(E4 T)E4 T4 T16 TT E8 T16( T)TE 即 A 是正交矩阵，所以矩阵 A 的列向量是 n 维空间的规范正交基【知识模块】 线性代数
