1、考研数学一-一元函数积分学(三)及答案解析(总分：42.50，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：31，分数：42.50)求下列不定积分：（分数：4.50）(1).*（分数：0.50）_(2).*（分数：0.50）_(3).*（分数：0.50）_(4).*（分数：0.50）_(5).*（分数：0.50）_(6).*（分数：0.50）_(7).*（分数：0.50）_(8).*（分数：0.50）_(9).*（分数：0.50）_1.*（分数：1.00）_求下列不定积分：（分数：2.50）(1).*（分数：0.50）_(2).*（分数：0.50）_(3).*（分数：0.50）_(4).*（分数：
2、0.50）_(5).*（分数：0.50）_求下列不定积分：（分数：3.00）(1).x 2e2xdx；（分数：0.50）_(2).(2x 2+x+1)cos2xdx；（分数：0.50）_(3).xarcsinxdx；（分数：0.50）_(4).xlnxdx；（分数：0.50）_(5).e 2xcos(x+1)dx；（分数：0.50）_(6).*（分数：0.50）_2.设 f(x)连续，且关于 x=对称，a0 且单调减少，则这种 是唯一的（分数：1.00）_10.设函数 f(x)在(0，+)连续，且对任意 x0，y0，积分*与 x 无关，仅依赖于 y，f(2)=2，求*(x0)（分数：1.00）
3、_11.*（分数：1.00）_12.一个面密度为 (x)=x 2，曲线 y=4-x2和 x 轴围成的平而物体，用定积分求： ()质量； ()关于 x 轴，y 轴的静力矩； ()质心（分数：1.00）_13.证明：*（分数：1.00）_14.*（分数：1.00）_15.设有半径为 R(米)、长为 L(米)的均匀网柱体，平放在深度为 2R(米)的水池中(圆柱体的侧面与水面相切)，设圆柱的密度是水密度的 倍(1)，现将网柱体平移出水面，需做多少功?（分数：2.00）_判断下列反常积分的敛散性，如果是收敛的求出反常积分值（分数：2.00）(1).*（分数：0.50）_(2).*（分数：0.50）_(3
4、).*（分数：0.50）_(4).*（分数：0.50）_16.*（分数：1.00）_17.设 D 是曲线 y=2x-x2与 x 轴同成的平面图形，直线 y=kx 把 D 分成 D1与 D2上下两部分，若 D1的面积 S1与 D2的面积 S2之比 S1:S2=1:7求平面图形 D1绕 y 轴旋转一周所得旋转体的体积（分数：2.00）_18.设非负单减函数 f(x)在0，b上连续，00 且单调减少，则这种 是唯一的（分数：1.00）_正确答案：(证 令*，则 F(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导且 F(0)=F(1)=0，所以存在(0，1)，使得 F()=0，即* 又似设存在 ，使得*，则
5、* 这与 f(x)0，*应大于零矛盾所以若 F(x)0 且单调减少，则这种 是唯一的)解析：10.设函数 f(x)在(0，+)连续，且对任意 x0，y0，积分*与 x 无关，仅依赖于 y，f(2)=2，求*(x0)（分数：1.00）_正确答案：(由题意：* 上式中令 x=2 得：* 从而*)解析：11.*（分数：1.00）_正确答案：(*)解析：12.一个面密度为 (x)=x 2，曲线 y=4-x2和 x 轴围成的平而物体，用定积分求： ()质量； ()关于 x 轴，y 轴的静力矩； ()质心（分数：1.00）_正确答案：(选取 x 作积分变量，其取值范围为-2，2，在-2，2内任给一点 x，
6、给以小增量 dx，得到如图所示的一小片物体，则 * ()质量元素为 dm=(x)f(x)dx=x 2(4-x2)dx， 所以该物体的质量为* ()关于 x 轴的静力矩元素为 * 关于 y 轴的静力矩 dMy=xdm=x3(4-x2)dx，所以 * ()质心*)解析：13.证明：*（分数：1.00）_正确答案：(证 由于*， 而* 所以* 由于当 0x 时，*，sinx-cosx0，所以有 * 从而*)解析：14.*（分数：1.00）_正确答案：(*)解析：15.设有半径为 R(米)、长为 L(米)的均匀网柱体，平放在深度为 2R(米)的水池中(圆柱体的侧面与水面相切)，设圆柱的密度是水密度的
7、倍(1)，现将网柱体平移出水面，需做多少功?（分数：2.00）_正确答案：(设想把圆柱体切成许多水平小薄片，每片移动 2R，须克服重力做功在水中移动时，应将薄片重力减去所受浮力 * 圆柱体截面图及选取坐标系如图，则截面圆周方程为 x2+y2=R2，将位于x，x+dx处的水平薄片移动 2R 所做功为 * (小薄片在水中移动的距离为 R+x，出水后移动 R-x，体积元素为 2yLdx，其中*，故所求功为 *)解析：判断下列反常积分的敛散性，如果是收敛的求出反常积分值（分数：2.00）(1).*（分数：0.50）_正确答案：(是无穷区间上的反常积分先求原函数，有 *)解析：(2).*（分数：0.50
8、）_正确答案：(是无穷区间上的反常积分先求原函数，有 *)解析：(3).*（分数：0.50）_正确答案：(是有界区间上的无界函数的反常积分，先求原函数，有 *)解析：(4).*（分数：0.50）_正确答案：(是有界区间上的无界函数的反常积分，先求原函数，有 * 由于* 而*，所以该反常积分发散)解析：16.*（分数：1.00）_正确答案：(*)解析：17.设 D 是曲线 y=2x-x2与 x 轴同成的平面图形，直线 y=kx 把 D 分成 D1与 D2上下两部分，若 D1的面积 S1与 D2的面积 S2之比 S1:S2=1:7求平面图形 D1绕 y 轴旋转一周所得旋转体的体积（分数：2.00）
9、_正确答案：(* 由方程组*得直线 y=kx 与曲线 y=2x-x2的交点为(0，0)和(2-k，k(2-k)，其中 0k2于是 * 由题设 S1:S2=1:7 可得:*，于是 k=1。 从而 D1绕 y 轴旋转一周所得旋转体的体积 *)解析：18.设非负单减函数 f(x)在0，b上连续，0AB，证明：*（分数：1.00）_正确答案：(证 令*，则 * 由于 f(x)为非负单减函数，所以(b-x)f(x)-f()+2xf(x)0，即 F(x)0，故 F(x)在0，b上单增，又因为 F(0)=0，所以 F(a)F(b)=0，即*)解析：19.*（分数：1.00）_正确答案：(*)解析：解析 先用
10、倒置换将反常积分化为正常积分，然后再利用换元法即不难求出其结果20.*（分数：1.00）_正确答案：(*)解析：求下列不定积分（分数：1.50）(1).*（分数：0.50）_正确答案：(*)解析：(2).*（分数：0.50）_正确答案：(由于*，所以 *)解析：(3).*（分数：0.50）_正确答案：(*)解析：解析 凑微分一般有两种方法：一是观察法，须对求导公式熟练；二是检验法，对于被积函数复杂的积分，一般将较复杂的那个因子或其主要部分来求导，若其导数是另一个因子的常数倍，则将那个较复杂的因子凑成微分21.设 f(x)在01上有连续导函数，证明：对于 x01，有*（分数：1.00）_正确答案
11、：(证 因为 f(t)连续，|f(t)|也连续，所以由积分中值定理得 * 又*， 所以* 故*)解析：22.设*，f()=3，求 f(0)（分数：1.00）_正确答案：(*)解析：23.设*(-1)，求曲线 y=f(x)与 x 轴所围成的封闭图形的面积（分数：2.00）_正确答案：(因为 t|t|为奇函数，可知其原函数*为偶函数，而 f(-1)=0，f(1)=0(因为 t|t|是奇函数)，即 f(x)与 x 轴的交点为(-1，0)，(1，0) 又因 f(x)=x|x|，可知 x0 时 f(x)0，故 f(x)单调下降，从而-1x0 时 f(x)f(-1)=0当 x0时，f(x)=x|x|0，因此 x1 时，f(x)f(1)=0即 f(x)与 x 轴交点仅有两个 于是封闭曲线所围成的面积 *)解析：解析 由于被积函数 t|t|是奇函数，从而可知 f(x)是偶甬数，再由 f(x)的符号，可求出 y=f(x)在 x 轴的两个交点，最后由定积分的几何意义，可求出所围图形的面积24.设函数 f(x)连续且满足*（分数：1.00）_正确答案：(设* 即*)解析：解析 由于 f(x)连续知*为常数，记为 A，则 f(x)=x-2A，只需求 a25.*（分数：1.00）_正确答案：(由于*，所以 * 即* 所以*)解析：26.*（分数：1.00）_正确答案：(解法一* * 解法二* *)解析：
