1、考研数学一-一元函数积分学及答案解析(总分：222.50，做题时间：90 分钟)一、B选择题/B(总题数：31，分数：124.00)1.下列命题不正确的是（分数：4.00）A.(A) 若 f(x)在区间(a，b)内的某个原函数是常数，则 f(x)在(a，b)内恒为零B.(B) 若 f(x)的某个原函数为零，则 f(x)的所有原函数为常数C.(C) 若 f(x)在区间(a，b)内不是连续函数，则在这个区间内 f(x)必无原函数D.(D) 若 F(x)是 f(x)的任意一个原函数，则 F(x)必定为连续函数2.设则下列结论 在-1，1上 f1(x)存在原函数 存在定积分 存在 f2(0) 在-1，
2、1上 f2(x)存在原函数 中正确的是（分数：4.00）A.(A) 、B.(B) 、C.(C) 、D.(D) 、。3.设函数 f(x)在a，b上有界，把a，b任意分成 n个小区间， i为每个小区间x i-1，x i上任取的一点，则所表示的和式极限是（分数：4.00）A.B.C.D.4.下列关于反常积分的命题 设 f(x)是(-，+)上的连续奇函数，则 设 f(x)在(-，+)上连续，且存在，则必收敛，且 若都发散，则不能确定是否收敛 若都发散，则不能确定是否收敛 中是真命题的个数有（分数：4.00）A.(A) 1个B.(B) 2个C.(C) 3个D.(D) 4个5.设 f(x)及 g(x)在a
3、，b上连续，则下列命题 若在a，b上，f(x)0，则 f(x)0， 若在a，b上，f(x)0，且，则在a，b上 f(x)=0 若 f(x)在a，b的任意子区间，上有，则 f(x)=0() 若在a，b上，f(x)g(x)，且，则在a，b上 f(x)g(x) 中正确的是（分数：4.00）A.(A) 、B.(B) 、C.(C) 、D.(D) 、6.积分上限函数(axb)是一种由积分定义的新的函数，它的特征是自变量 x为积分上限，F(x)与 x的对应法则由定积分给出下列对 F(x)的理解不正确的是（分数：4.00）A.(A) 若函数 f(x)在a，b上连续，则 F(x)可导，且 F(x)=f(x)B.
4、(B) 若函数 f(x)存a，b上连续，则 F(x)就是 f(x)在a，b上的一个原函数C.(C) 若函数 f(x)存a，b上(有界，且只有有限个第一类间断点)可积，则 F(x)在a，b上连续，且可微D.(D) 若积分上限是 x的可微函数 g(x)，则是 F(u)与 u=g(x)的复合函数，求导时必须使用复合函数求导法则，即7.设 F(x)是函数 f(x)=maxx，x 2的一个原函数则（分数：4.00）A.(A) F(x)可能在 x=0，x=1 两点处间断B.(B) F(x)只可能在 x=1处间断C.(C) F(x)的导函数可能在 x=1处间断D.(D) F(x)的导函数处处连续8.设 F(
5、x)是 f(x)在(a，b)上的一个原函数，则 f(x)+F(x)在(a，b)上（分数：4.00）A.(A) 可导B.(B) 连续C.(C) 存在原函数D.(D) 不是分段函数9.设 F(x)是函数 f(x)在区间 I上的原函数，则（分数：4.00）A.(A) F(x)必是初等函数且有界B.(B) F(x)必是初等函数，但未必有界C.(C) F(x)在 I上必连续且有界D.(D) F(x)在 I上必连续，但未必有界10.设，则根据定积分的几何意义可知下列结论正确的是（分数：4.00）A.(A) I是由曲线 y=f(x)及直线 x=a、x=b 与 x轴所围图形的面积，所以 I0B.(B) 若 I
6、=0，则上述图形面积为零，从而图形的“高”f(x)=0C.(C) I是曲线 y=f(x)及直线 x=a、x=b 与 x轴之间各部分而积的代数和D.(D) I是曲线 y=|f(x)|及直线 x=a、x=b 与 x轴所围图形的面积11.下列结论不正确的是（分数：4.00）A.(A) 若函数 f(x)在a，b上可积，则定积分表示一个常数值，且该值与区间a，b、函数 f(x)及积分变量的记号均有关B.(B) 若函数 f(x)在a，b上可积，将a，bn 等分，在每个小区间x i上任取一点 i，则必定存在，且C.(C) 设有常数 I，如果对于任意给定的正数 ，总存在一个正数 ，使得对于区间a，b的任何分法
7、，不论 i在x i-1，x i中怎样选取，只要 ，总有D.(D) 若函数 f(x)在a，b上满足下列条件之一：()在a，b上连续；()在a，b上有界，且只有有限个间断点；()在a，b上单调，则 f(x)在a，b上可积12.设 f(x)在(-，+)内连续，则下列叙述正确的是（分数：4.00）A.(A) 若 f(x)为偶函数，则B.(B) 若 f(x)为奇函数，则C.(C) 若 f(x)为非奇非偶函数，则D.(D) 若 f(x)为以 T为周期的周期函数，且是奇函数，则是以 T为周期的周期隔数13.下列命题不正确的是（分数：4.00）A.(A) 初等函数在其定义区间(a，b)内必定存在原函数B.(B
8、) 设 acb，f(x)定义在(a，b)上，若 x=c是 f(x)的第一类间断点，则 f(x)在(a，b)不存在原函数C.(C) 若函数 f(x)在区间，上含有第二类间断点，则该函数在区间，上不存在原函数D.(D) 设函数 x(-，+)，则函数 f(x)在(-，+)上不存在原函数14.下列命题正确的是（分数：4.00）A.(A) 设 f(x)为(-，+)上的偶函数且在0，+)内可导，则，f(x)在(-，+)内可导B.(B) 设 f(x)为(-，+)上的奇函数且在0，+)内可导，则 f(x)在(-，+)内可导C.(C) 设D.(D) 设 x0(a，b)，f(x)在a，b除 x0外连续，x 0是
9、f(x)的第一类间断点，则 f(x)在a，b上存在原函数15.下列命题 设f(x)dx=F(x)+C，则对任意函数 g(x)，有fg(x)dx=Fg(x)+C 设函数 f(x)在某区间上连续、可导，且 f(x)0又 f-1(x)是其反函数，且f(x)dx=F(x)+C，则 f -1(x)dx=xf-1(x)-Ff-1(x)+C 设f(x)dx=F(x)+C，x(-，+)，常数 a0，则f(ax)dx=F(ax)+C 设f(x)dx=F(x)+C，x(-，+)，则 中正确的是（分数：4.00）A.(A) 、B.(B) 、C.(C) 、D.(D) 、16.设 f(ex)=x，则函数 f(x)在区间
10、1，2上的平均值等于（分数：4.00）A.(A) ln2+1B.(B) ln2-1C.(C) 2ln2+1D.(D) 2ln2-117.下列反常积分发散的是（分数：4.00）A.B.C.D.18.设，则 F(x)（分数：4.00）A.(A) 是零B.(B) 是一个正数C.(C) 是一个负数D.(D) 不是常数19.下列各式成立的是（分数：4.00）A.B.C.D.20.曲线 y=x2与直线 y=2x围成的平面图形绕 Y轴旋转一周所得旋转体的体积 V等于 （分数：4.00）A.B.C.D.21.下列结果正确的是（分数：4.00）A.B.C.D.22.下列结果不正确的是（分数：4.00）A.B.C
11、.D.23.下列等式或结论正确的是（分数：4.00）A.(A) f(x)dx=f(x)dx=f(x)B.(B) df(x)dx=f(x)C.(C) df(x)dx=f(x)dxD.(D) 若f(x)dx=g(x)dx，则f(x)dx=g(x)dx.设A.(A) 为反常积分，且发散B.(B) 为反常积分，且收敛C.(C) 不是反常积分，且其值为 10D.(D) 不是反常积分，且其值为25.下列结论正确的是（分数：4.00）A.(A) 若函数 f(x)在a，b上可积，则 f(x)在a，b上必有界；反之，若函数 f(x)在a，b上有界，则 f(x)在a，b上必可积B.(B) 若函数 f(x)在a，b
12、上可积，则 f(x)在a，b内必定有原函数；反之，若函数 f(x)在a，b内有原函数，则 f(x)在a，b上必定可积C.(C) 若函数 f(x)在任何有限区问上可积，则对任一点 c，有D.(D) 若函数 f(x)在a，b上可积，则必存在 a，b，使得26.设有一椭圆形的薄板，长半轴为 a，短半轴为 b，薄板垂直立于液体巾，而其短半轴与液面相齐，液体的比重为 ，则液体对薄板的侧压力为（分数：4.00）A.B.C.D.27.下列命题 若函数 F(x)、(x)是同一个函数 f(x)在区间 I上的两个原函数，则其差 F(x)-(x)等于确定的常数 设 F(x)、(x)，f(x)在集合 D上有定义，且满
13、足 F(x)=(x)=f(x)，则 F(x)-(x)C 若取积分常数 C=0，则可积函数 f(x)的原函数唯一 若 f(x)在区间 I上有原函数，则 f(x)的任意两个原函数之和必为 2f(x)的原函数 中正确的是（分数：4.00）A.(A) 、B.(B) 、C.(C) 、D.(D) 、28.下列计算（分数：4.00）A.(A) 0个B.(B) 1个C.(C) 2个D.(D) 3个29.设 a0，f(x)在-a，a上连续，则在-a，a上（分数：4.00）A.(A) f(cosx)的全体原函数为奇函数B.(B) xf(x)-f(-x)的全体原函数为偶函数C.(C) f(x2)有唯一原函数为奇函数
14、D.(D) xf(x)-f(-x)的任一原函数既不是奇函数也不是偶函数30.下列函数不可积的是（分数：4.00）A.(A) f(x)=xa，x0，1，a0B.(B) x0，2C.(C) x-1，1D.(D) x0，131.下列等式或结论正确的是（分数：4.00）A.(A) 0dx=0B.(B) C.(C)D.(D) 设等式 a+f(x)dx=f(x)dx 成立，则 a=0二、B填空题/B(总题数：40，分数：40.00)填空项 1:_填空项 1:_41.若的原函数 F(x)的表达式中，()不包含对数函数；()不含反正切函数，则其中的常数 a和 b分别满足条件_（分数：1.00）填空项 1:_4
15、2.设 ab，则 A 1，B 2（分数：1.00）43.设 x0，则f(x)dx 1（分数：1.00）44.设，且 f(x)=lnx，则(x)dx=_（分数：1.00）45.已知 f(x)的一个原函数为，则xf(2x)dx=_（分数：1.00）填空项 1:_填空项 1:_填空项 1:_填空项 1:_填空项 1:_填空项 1:_56.设，则 f(x)=_（分数：1.00）填空项 1:_若58.已知 f(x)为非负连续函数，且当 x0 时，则 f(x)=_（分数：1.00）59.设 F(x)是 f(x)的一个原函数，f(x)具有连续导数，且 F(0)=0，F(2)=F(2)=1，则= 1（分数：1
16、.00）填空项 1:_60.设 f(x)在-1，1上连续，则（分数：1.00）填空项 1:_61.已知 f(x)满足（分数：1.00）填空项 1:_62.设 f(x)有一个原函数为（分数：1.00）63.设连续非负函数满足 f(x)f(-x)=1(-x+)，则（分数：1.00）填空项 1:_65.函数 f(x)在1，+)上连续，且反常积分收敛，并满足 则函数 f(x)的表达式是_（分数：1.00）66.已知，则 a= 1，b= 2（分数：1.00）填空项 1:_67.曲线 y=ln(1-x2)相应于的一段的弧长为 1（分数：1.00）68.摆线的一拱(0t2)的弧长为_（分数：1.00）填空项
17、 1:_69.曲线 y=x2-x与 x轴及直线 y=-2x+6在 x0 时所围成图形的面积为 1（分数：1.00）填空项 1:_70.曲线 y=xsinx(0x)与 x轴所围成的图形绕 y轴旋转一周所成旋转体的体积= 1（分数：1.00）填空项 1:_71.在 y轴上的 0y2 一段上，有一根细棒，其上每一点处的线密度等于该点到棒两端的距离平方之积，则其质心（分数：1.00）填空项 1:_三、B解答题/B(总题数：7，分数：58.50)求下列不定积分（分数：4.50）(1).（分数：1.50）_(2).（分数：1.50）_(3).（分数：1.50）_求下列不定积分：（分数：13.50）(1).
18、（分数：1.50）_(2).（分数：1.50）_(3).（分数：1.50）_(4).（分数：1.50）_(5).（分数：1.50）_(6).（分数：1.50）_(7).（分数：1.50）_(8).（分数：1.50）_(9).（分数：1.50）_求下列不定积分：（分数：9.00）(1).x 2e2xdx；（分数：1.50）_(2).(2x 2+x+1)cos2xdx；（分数：1.50）_(3).xarcsinxdx；（分数：1.50）_(4).xlnxdx；（分数：1.50）_(5).e 2xcos(x+1)dx；（分数：1.50）_(6).（分数：1.50）_求下列不定积分：（分数：7.50）
19、(1).（分数：1.50）_(2).（分数：1.50）_(3).（分数：1.50）_(4).（分数：1.50）_(5).（分数：1.50）_求下列不定积分：（分数：15.00）(1).（分数：0.30）_(2).（分数：0.30）_(3).（分数：0.30）_(4).（分数：0.30）_(5).（分数：0.30）_(6).（分数：0.30）_(7).（分数：0.30）_(8).（分数：0.30）_(9).（分数：0.30）_(10).（分数：0.30）_判断下列反常积分的敛散性，如果是收敛的求出反常积分值（分数：6.00）(1).（分数：1.20）_(2).（分数：1.20）_(3).（分数：
20、1.20）_(4).（分数：1.20）_试解下列各题：（分数：3.00）(1).计算导数；（分数：0.30）_(2).利用积分性质比较的大小（分数：0.30）_考研数学一-一元函数积分学答案解析(总分：222.50，做题时间：90 分钟)一、B选择题/B(总题数：31，分数：124.00)1.下列命题不正确的是（分数：4.00）A.(A) 若 f(x)在区间(a，b)内的某个原函数是常数，则 f(x)在(a，b)内恒为零B.(B) 若 f(x)的某个原函数为零，则 f(x)的所有原函数为常数C.(C) 若 f(x)在区间(a，b)内不是连续函数，则在这个区间内 f(x)必无原函数 D.(D) 若 F(x)是 f(x)的任意一个原函数，则 F(x)必定为连续函数解析：分析 假设 F(x)是 f(x)的一个原函数，则必有 F(x)=f(x) 对于命题(A)：如果 f(x)在区间(a，b)内的某个原函数 F(x)=k(k是常数)，则在(a，b)内任意点 x处，f(x)=F(x)=0，所以此命题正确 对于命题(B)：若 F(x)=0是 f(x)的一个原函数，则 F(x)+c=c就是 f(x)的所有原函数，从而此命题正确 f(x)在区间(a，b)内连续是其原函数存在的充分条件，命题(C)是错误的，只需举反例说明，如函数在(-1，1)内不连续，但它存在原函数 若 F(x)是 f(x)
