1、考研数学一-向量代数和空间解析几何及答案解析(总分：110.00，做题时间：90 分钟)一、B选择题/B(总题数：11，分数：22.00)1.设 a，b 为非零向量，且 ab，则必有（分数：2.00）A.(A) |a+b|=|a|+|b|B.(B) |a-b|=|a|-|b|C.(C) |a+b|=|a-b|D.(D) a+b=a-b2.直线与平面 6x+15y-10z+31=0 的夹角 为（分数：2.00）A.B.C.D.3.下列曲面中，不是旋转曲面的是（分数：2.00）A.B.C.D.4.下列直线对，不共面的是（分数：2.00）A.B.C.D.5.若单位向量 a，b，c 满足 a+b+c=
2、0，则 ab+bc+ca=（分数：2.00）A.B.C.D.6.已知平面：x+2y-z+1=0，曲面 z=xy 上点 P 处的法线与平面垂直，则点 P 的坐标为（分数：2.00）A.(A) (1，2，2)B.(B) (2，1，2)C.(C) (-1，-2，2)D.(D) (-2，-1，2)7.设曲面 z2-xy=8(z0)上某点的切平面平行于已知平面 x-y+2z-1=0，则该点的坐标为（分数：2.00）A.(A) (-2，2，2)B.(B) (1，-4，2)C.(C) (2，-2，2)D.(D) (4，-1，2)8.设曲线在点(1，3，4)处的法平面为，则原点到的距离为（分数：2.00）A.
3、B.C.D.9.设非零向量 a 与 b 不平行，c=(ab)a，则（分数：2.00）A.B.C.D.10.过点 M0(1，-1，1)与平面 x=y+2z=1 平行且与相交的的直线方程为 （分数：2.00）A.B.C.D.11.没有直线 L:和曲面 z=x2-y22+z2在点(1，1，1)处的切平面，则直线 L 与平面，的位置关系是（分数：2.00）A.(A)B.(B) LC.(C) LD.(D) L 与斜交二、B填空题/B(总题数：11，分数：22.00)12.已知 a=i，b=j-2k，c=2i-2j+k，若有一单位向量 r，满足 rc，且 r 与 a，b 共面，则r=_（分数：2.00）1
4、3.设直线 L 平行于平面 3x+2y-z+5=0，且与直线 H：x=3+2t，y=-2+4t，z=t 垂直，则直线 L 的方向余弦为_（分数：2.00）14.设空间两条直线 L1：和 L2：x+1=y-1=z 相交，则 = 1（分数：2.00）15.设直线在平面 z=1 上的投影为直线 L，则点(1，2，1)到直线 L 的距离 d=_（分数：2.00）16.设一直线通过点 B(1，2，3)且与向量 C=6，6，7平行，则点 A(3，4，2)到该直线的距离d=_（分数：2.00）17.直线的最短距离 d=_（分数：2.00）18.平面曲线 L：绕 z 轴旋转而生成的曲面 S 的方程为_（分数：
5、2.00）19.直线绕 x 轴旋转一周所得旋转曲面的方程_（分数：2.00）填空项 1:_20.已知直线 L 过点 M(1，-2，0)且与两条直线，垂直，则 L 的参数方程为 1（分数：2.00）填空项 1:_21.过直线，且垂直平面：4x-y+z=1 的平面方程为_，直线 L 在平面上的投影直线方程为_（分数：2.00）22.曲线方程化为参数方程是 1（分数：2.00）三、B解答题/B(总题数：11，分数：66.00)23.求通过点(1，2，-1)且与直线垂直的平面方程（分数：6.00）_24.求过定点(3，-1，3)且通过直线 x=2+3t，y=-1+t，z=1+2t 的平面方程（分数：6
6、.00）_25.求垂直于平面：x-y+z=0 且通过直线的平面方程（分数：6.00）_26.求过点(1，1，1)且与平面 1:x-y+z=7 和 2:3x+2y-12z+5=0 都垂直的平面方程（分数：6.00）_27.求过点(1，2，1)且与直线平行的平面方程（分数：6.00）_28.求过点 P1(1，0，2)，P 2(-1，3，1)且平行于直线的平面方程（分数：6.00）_29.求平行于直线，且通过直线的平面方程（分数：6.00）_30.求过点(1，2，3)和 z 轴相交，且垂直于直线的直线方程（分数：6.00）_31.求过点(-3，5，-9)且与二直线相交的直线方程（分数：6.00）_3
7、2.求直线在平面：x+2y-z=0 上的投影直线方程（分数：6.00）_设有直线（分数：6.00）(1).判定，L 1，L 2是否为异面直线；（分数：3.00）_(2).求平行于 L1，L 2且与它们等距的平面方程（分数：3.00）_考研数学一-向量代数和空间解析几何答案解析(总分：110.00，做题时间：90 分钟)一、B选择题/B(总题数：11，分数：22.00)1.设 a，b 为非零向量，且 ab，则必有（分数：2.00）A.(A) |a+b|=|a|+|b|B.(B) |a-b|=|a|-|b|C.(C) |a+b|=|a-b| D.(D) a+b=a-b解析：分析 由“非零向量 a，
8、b 满足|a+b|=|a|+|b|的充要条件是 a 与 b 方向相同”可知，(A)不对 由“非零向量 a，b 满足|a-b|=|a|-|b|的充要条件是 a 与 b 方向相反”可知，(B)也不对 对于(C)：非零向量 a、b 垂直时，以 a，b 为两邻的平行四边形是矩形，而矩阵的对角线长度相等，故必有|a+b|=“a-b|，即(C)正确 至于(D)，显然不对 综上分析，应选(C)2.直线与平面 6x+15y-10z+31=0 的夹角 为（分数：2.00）A. B.C.D.解析：分析 直线方向向量为 故选(A)3.下列曲面中，不是旋转曲面的是（分数：2.00）A.B.C. D.解析：分析 (A)
9、是绕 x 轴旋转而成； (B)是绕 y 旋转而成； (D)是绕 z 轴旋转而成 (A)，(B)，(D)都应排除，故应选(C)4.下列直线对，不共面的是（分数：2.00）A. B.C.D.解析：分析 对于(A)：两条直线分别过点 M1(-1，0，0)与 M2(1，0，2)，方向向量分别为 对三个向量，由于 所以(A)中二直线不共面，故应选(A)5.若单位向量 a，b，c 满足 a+b+c=0，则 ab+bc+ca=（分数：2.00）A. B.C.D.解析：分析 由， 从而故选(A)6.已知平面：x+2y-z+1=0，曲面 z=xy 上点 P 处的法线与平面垂直，则点 P 的坐标为（分数：2.00
10、）A.(A) (1，2，2)B.(B) (2，1，2) C.(C) (-1，-2，2)D.(D) (-2，-1，2)解析：分析 z=xy 的法向量 n=y，x，-1，法线与平面 H 垂直，从而与平面的法向量1，2，-1平行，故有，即点 P 的坐标为(2，1，2)故应选(B)7.设曲面 z2-xy=8(z0)上某点的切平面平行于已知平面 x-y+2z-1=0，则该点的坐标为（分数：2.00）A.(A) (-2，2，2)B.(B) (1，-4，2)C.(C) (2，-2，2) D.(D) (4，-1，2)解析：分析 记 F(x，y，z)=z 2-xy-8，曲面在任意点的法向量 n=Fx，F y，F
11、 z：-y，-x，2x已知平面的法向量 n1=1，-1，2，令 nn 1，即，得 x=z=t，y=-t，代入曲面方程 F=0，得，因为 z=t0，舍去负值，得切点坐标为(2，-2，2)，故应选(C)8.设曲线在点(1，3，4)处的法平面为，则原点到的距离为（分数：2.00）A.B. C.D.解析：分析一 因在点(1，3，4)处解得 dx=4dz，即，故曲线在点(1，3,4)法平面的法向量，法平面的方程为 12(x-1)-4(y-3)+3(z-4)=0，即 12x-4y+3z-12=0，于是原点到的距离 故应选(B) 分析二 曲线在点(1，3，4)处法平面的法向量 下同分析一9.设非零向量 a
12、与 b 不平行，c=(ab)a，则（分数：2.00）A.B. C.D.解析：分析 如下图所示 因，故应选(B) 评注 若 ab，则(ab)a=b，=010.过点 M0(1，-1，1)与平面 x=y+2z=1 平行且与相交的的直线方程为 （分数：2.00）A. B.C.D.解析：分析一 于是 分析二 过 B 的直线方程为 L： 过 A 与 L 垂直的平面方程为： 6(x-3)+6(y-4)+7(z-2)=0，即 6x+6y+7z-56=0。 L 与的交点(x 0，y 0，z 0)为 11.没有直线 L:和曲面 z=x2-y22+z2在点(1，1，1)处的切平面，则直线 L 与平面，的位置关系是（
13、分数：2.00）A.(A)B.(B) LC.(C) L D.(D) L 与斜交解析：分析 L 的方向向量，曲面 F(x，y，z)=x 2-y2+z2-z=0 在点(1，1，1)处的切平面的法向量由于 ns，因此 L故应选(C)二、B填空题/B(总题数：11，分数：22.00)12.已知 a=i，b=j-2k，c=2i-2j+k，若有一单位向量 r，满足 rc，且 r 与 a，b 共面，则r=_（分数：2.00）解析：分析 设 r=x，y，z，则由 rc 可得 rc=0，即 2x-2y+z=0， 由|r|=1 可得 x2+y2+z2=1， 由 r 与 a，b 共面可得(ab)r=0，即 联立，可
14、解得13.设直线 L 平行于平面 3x+2y-z+5=0，且与直线 H：x=3+2t，y=-2+4t，z=t 垂直，则直线 L 的方向余弦为_（分数：2.00）解析：分析一 L 的方向向量为 分析二 设 L 的方向向量为 s=m，n，p，则由题设，有14.设空间两条直线 L1：和 L2：x+1=y-1=z 相交，则 = 1（分数：2.00）解析：分析 因直线 L1过点 M(1，-1，1)，直线 L2过点 P(-1，1，0)，两条直线 L1，L 2相交，则三个向量共面由 15.设直线在平面 z=1 上的投影为直线 L，则点(1，2，1)到直线 L 的距离 d=_（分数：2.00）解析：分析 取平
15、面束 x+2y-3z-2+(2x-y+z-3)=0， 其法向量为 n1=1+2，2-，-3+，平面 z=1 的法向量为 n2=0，0，1，n 1n 2，所以 n1n2=-3=0，于是 =3于是投影平面的方程为 7x-y-11=0因而投影直线 L 的方程为其方向向量为 s=7，-1，00，0，1=-1，7，0又 L 通过点 P1(1，-4，1)， 于是点 P0(1，2，1)到直线 L 的距离为 16.设一直线通过点 B(1，2，3)且与向量 C=6，6，7平行，则点 A(3，4，2)到该直线的距离d=_（分数：2.00）解析：分析一于是 分析二 过 B 的直线方程为 L： 过 A 与 L 垂直的
16、平面方程为： 6(x-3)+6(y-4)+7(z-2)=0，即 6x+6y+7z-56=0。 L 与的交点(x 0，y 0，z 0)为 17.直线的最短距离 d=_（分数：2.00）解析：分析一 公垂线的方向向量为 公垂线方程为 直线，L 1的参数方程为 x=3+2t，y=t，z=1； 直线 L2的参数方程为 x=-1+t，y=2，z=t 将 L1的参数方程代入公垂线方程得垂足；将 L2的参数方程代入公垂线方程得垂足，所以 L1与 L2的最短距离 分析二 记 M1(3，0，1)，M 2(-1，2，0)，则，L 1的方向向量 s1=2，1，0；L 2的方向向量 s2=1，0，1；18.平面曲线
17、L：绕 z 轴旋转而生成的曲面 S 的方程为_（分数：2.00）解析：分析 设 P(x，y，z)是空间一点，由旋转面特性可知，P 在曲面 S 上的充要条件是：存在点Q(0，Y，z)在曲线 L 上，P，Q 的 z 坐标相同，且使得旋转半径相同，即 由于 Q(0，Y，Z)在曲线 L 上，因此有 Z=f(Y) 再以 P(x，y，z)的坐标代入，得到旋转面 S 的方程19.直线绕 x 轴旋转一周所得旋转曲面的方程_（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：x 2-2y2-2z2=-4）解析：分析 曲线上任取点 P(x，y，z)，过 P 作平面垂直于 x 轴(如下图)，该平面与直线的交点为Q(x，y
18、 0，z 0)，与 x 轴的交点为 M(x，0，0)，则|PM|=|QM|，即 由于点 Q(x，y 0，z 0)在直线 AB 上，所以 因此可得旋转曲面方程为 即 x2-2y2-2z2=-420.已知直线 L 过点 M(1，-2，0)且与两条直线，垂直，则 L 的参数方程为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：x=1+8t，y=-2+2t，z=-t）解析：分析 直线 L1的方向向量 s1=2，0，11，-1，3=1，-5，-2，直线 L2的方向向量 s2=1，-4，0，于是所求直线的方向向量 s=1，-5，-21，-4，0=-8，2，-1，从而所求直线 L 的参数方程为x=1+8t
19、，y=-2+2t，z=-t21.过直线，且垂直平面：4x-y+z=1 的平面方程为_，直线 L 在平面上的投影直线方程为_（分数：2.00）解析：分析 通过 L 的平面束方程为 1:(2+3)x-(4+)y+(1-2)z-9=0，因为 1即 n1n，所以 从而平面方程为 17x+31y-37z-117=0， 而直线 L 在平面上的投影直线方程为 评注 过直线，的平面束方程 A1x+B1y+C1z+D1+(A 2x+B2y+C2z+D2)=0，通常是建立空间的平面方程或直线方程的常用方法之一22.曲线方程化为参数方程是 1（分数：2.00）解析：分析 由曲线方程消去 y，得母线平行于 y 轴的投
20、影柱面方程 2x2+z2=9令可得曲线的参数方程为三、B解答题/B(总题数：11，分数：66.00)23.求通过点(1，2，-1)且与直线垂直的平面方程（分数：6.00）_正确答案：()解析：由题意，直线的方向向量为所求平面的一个法向量，所以所求平面方程为 5(x-1)+7(y-2)+11(z+1)=024.求过定点(3，-1，3)且通过直线 x=2+3t，y=-1+t，z=1+2t 的平面方程（分数：6.00）_正确答案：()解析：设所求平面方程为 A(x-3)+B(y+1)+C(z-3)=0，因为所求平面通过给定的直线，所以所求平面的法向量A，B，C与所给直线的方向向量垂直，而所给直线的方
21、向向量为 s=3，1，2，因此有 3A+B+2C=0 又所给直线上的点(2，-1，1)也在所求平面上，所以 -A-2C=0 由，可得：A=-2C，B=4c 故所求平面方程为-2(x-3)+4(y+1)+(z-3)=025.求垂直于平面：x-y+z=0 且通过直线的平面方程（分数：6.00）_正确答案：()解析：由题意所求平面通过点(2，-1，0)，故设所求平面的方程为 A(x-2)+B(y+1)+Cz=0 由于所求平面与已知平面垂直，所以 A-B+C=0 又由于所求平面通过已知直线，所以 A+2B+3C=0 由，可得，故所求平面方程为 -5(x-2)-2(y+1)+3z=026.求过点(1，1
22、，1)且与平面 1:x-y+z=7 和 2:3x+2y-12z+5=0 都垂直的平面方程（分数：6.00）_正确答案：()解析：设所求平面方程为 A(x-1)+B(y-1)+C(z-1)=0，由题设知它的法向量A，B，C与平面 1的法向量n1=1，-1，1及平面 2的法向量，n 2=3，2，-12都垂直，所以有 所以所求平面的方程为 2(x-1)+3(y-1)+(z-1)=027.求过点(1，2，1)且与直线平行的平面方程（分数：6.00）_正确答案：()解析：设所求平面方程为 A(x-1)+B(y-2)+C(z-1)=0，由于 s1=1，-2，-3是 L1的一个方向向量，是 L2的一个方向向
23、量，而根据 题意，所求平面的法向量 n=A，B，C与 s1，s 2都垂直，所以有 故所求平面方程为(x-1)-(y-2)+(z-1)=028.求过点 P1(1，0，2)，P 2(-1，3，1)且平行于直线的平面方程（分数：6.00）_正确答案：()解析：设所求平面方程为 A(x-1)+By+C(z-2)=0，由于是已知直线的一个方向向量，而向量在所求平面上，所以 故所求平面方程为：-7(x-1)-y+11(z-2)=029.求平行于直线，且通过直线的平面方程（分数：6.00）_正确答案：()解析：由题意所求平而通过点(1，2，3)，故设所求平面方程为 A(x-1)+B(y-2)+C(z-3)=
24、0 由于所求平面平行于直线 L1，所以 2A+B+C=0 又由于所求平面通过直线 L2，所以 A-C=0 由，可得：A=C，B=-3C，故所求平面方程为(x-1)-3(y-2)+(z-3)=030.求过点(1，2，3)和 z 轴相交，且垂直于直线的直线方程（分数：6.00）_正确答案：()解析：设所求直线与 z 轴的交点为(0，0，m)，则所求直线的方程为，又所求直线与已知直线垂直，从而有 3+4+3-m=0，故 m=10 因此所求直线方程为31.求过点(-3，5，-9)且与二直线相交的直线方程（分数：6.00）_正确答案：()解析：设所求直线与两直线的交点分别为(x 1，3x 1+5，2x
25、1-3)，(x 2，4x 2-7，5x 2+10)，由题意 所以所求直线方程为32.求直线在平面：x+2y-z=0 上的投影直线方程（分数：6.00）_正确答案：()解析：过直线 L 的平面束方程为 (2x-y+z-1)+(x+y-z+1)=0， 即(2+)x+(-)y+(-)z+-=0 所以平面束中与已知平面垂直的平面应满足 2+2(-)-(-)=0， 从而过直线与已知平面垂直的平面方程为 9x-3y+3z-3=0，即 3x-y+z-1=0 因此投影直线的方程为设有直线（分数：6.00）(1).判定，L 1，L 2是否为异面直线；（分数：3.00）_正确答案：()解析：由于 L1的方向向量为
26、 s1=-1，2，1，它通过点 M1(1，0，-1)；L 2的方向向量为 s2=0，1，-2，它通过点 M2(-2，1，2)；而 ，所以 L1，L 2是异面直线(2).求平行于 L1，L 2且与它们等距的平面方程（分数：3.00）_正确答案：()解析：由于所求平面平行于 L1，L 2，所以平面的法向量垂直于 s2，s 1，因此 s1s2是所求平面的一个法向量又因为 从而可设所求平面的方程为：5x+2y+z+D=0 又由于平行于 L1，L 2且与它们等距，所以 M1(1，0，-1)到的距离等于 M2(-2，1，2)到的距离，故有|5+0-1+D|=|-10+2+2+D|，从而 D=1 因此所求平面的方程为：5x+2y+z+1=0
