1、考研数学一-概率论与数理统计数理统计的基本概念及答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：16，分数：16.00)1.假设 X，X 1，X 2，X 10是来自正态总体 N(0， 2)的简单随机样本， ，则（分数：1.00）A.B.C.D.2.设总体 X服从正态分布 N(0， 2)， 、S 2分别为容量是 n的样本的均值和方差，则下列服从自由度为 n-1的 t分布的随机变量是（分数：1.00）_3.设总体 X服从正态分布 N(0， 2)( 2已知)，X 1，X n是取自总体 X的简单随机样本，S 2为样本方差，则（分数：1.00）A.B.C.D.4.设 X1，X 2，
2、X n是来自总体 X的简单随机样本，X 是样本均值，则下列样本的函数中不是统计量的是（分数：1.00）A.B.maxX1，X 2，X nC.X1-EX1D.minX1，X 2，X n5.设随机变量 X和 Y都服从标准正态分布，则（分数：1.00）A.X+Y服从正态分布B.X2+Y2服从 2分布C.X2和 Y2都服从 2分布D.X2/Y2服从 F分布6.设 X1，X 2，X n是来自总体 N(， 2)的简单随机样本， 为样本的均值，记则下列服从自由度为 n-1的 t分布的随机变量是（分数：1.00）A.B.C.D.7.设总体 X服从正态分布 N(， 2)，X 1，X n是取自总体 X的简单随机样
3、本，其均值为 ，则（分数：1.00）A.B.C.D.8.设随机变量 Xt(n)(n1)， （分数：1.00）A.B.C.D.9.设总体 X服从正态分布 N(， 2)，X 1,，X n是取自总体 X的简单随机样本， ，则（分数：1.00）A.B.C.D.10.设 X1，X n是取自标准正态总体 N(0，1)的简单随机样本，其均值为 ，则下列结论不正确的是（分数：1.00）A.B.C.D.11.设总体 X服从正态分布 N(0， 2)，X 1，X n是取自总体 X的简单随机样本，其均值、方差分别为X、S 2，则（分数：1.00）A.B.C.D.12.设总体 X服从正态分布 N(0， 2)，X 1，X
4、 10是取自总体 X的简单随机样本，则（分数：1.00）A.B.C.D.13.设总体 XN( 1，4)，YN( 2，5)，X 与 Y相互独立，X 1，X 8和 Y1，Y 10是分别来自总体 X和 Y的两个样本， 分别为两个样本的方差，则（分数：1.00）A.B.C.D.14.设 Fn(x)是来自总体 X容量为 n的简单随机样本的经验分布函数，F(x)是总体 X的分布函数，则下列命题错误的是：对于每个给定的 x，F n(x)（分数：1.00）A.是分布函数B.依概率收敛于 F(x)C.是一统计量D.的数学期望是 F(x)15.已知总体 X的期望 EX=0，方差 DX= 2，X 1，X n是取自总
5、体 X的简单随机样本，其均值和方差分别为 、S 2，统计量 （分数：1.00）A.B.C.D.16.设总体 X服从正态分布 N(0， 2)，X 1，X 10是来自总体 X的简单随机样本，统计量 Y= （分数：1.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：10，分数：18.00)17.设 X1，X 2，X 3，X 4相互独立同服从标准正态分布， 是算术平均值，则 （分数：2.00）填空项 1:_18.假设总体 XN(0，3 2)，X 1，X 2，X 8是来自总体 X的简单随机样本，则统计量（分数：1.00）填空项 1:_19.设总体 XN(a，2)，YN(b，2)并且独立；基于分别来自总体 X和
6、 Y的容量相应为 m和 n的简单随机样本，得样本方差 ，则统计量（分数：2.00）填空项 1:_20.设总体 X在区间0，2上服从均匀分布，F n(x)是来自 X容量为 n的简单随机样本的经验分布函数，则对于任意 x0，2，EF n(x)= -|_|-；DF n(x)= -|_|-（分数：2.00）_21.设总体 X的密度函数 又 ，S 2分别为取自总体 X容量为 n的样本的均值和方差，则E =_； （分数：3.00）填空项 1:_22.设总体 X服从参数为 p的 0-1分布，即 PX=0=1-p，PX=1=p(0p1)，X 1，X n是取自总体 X容量为n的样本，X 为其均值，则 （分数：1
7、.00）填空项 1:_23.已知(X，Y)的联合概率密度为则 （分数：2.00）填空项 1:_24.设 X1，X 2，X 3，X 4是来自正态总体 N(0，2 2)的简单随机样本，Y=a(X 1-2X2)2+b(3X3-4X4)2，则当a=_，b=_时，统计量 Y服从 2分布，自由度为_（分数：3.00）填空项 1:_25.设总体 X与 Y独立且都服从正态分布 N(0， 2)，已知 X1，X m与 Y1，Y n是分别来自总体 X与Y的简单随机样本，统计量 服从 t(n)分布，则 （分数：1.00）填空项 1:_26.假设 X1，X 2，X 16是来自正态总体 N(， 2)的简单随机样本， 为其
8、均值，S 为其标准差，如果 （分数：1.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：4，分数：20.00)27.已知总体 X的数学期望 EX=，方差 DX= 2，X 1，X 2，X 2n是来自总体 X容量为 2n的简单随机样本，样本均值为 ，统计量 （分数：5.00）_假设总体 Xi(i=1，2)服从正态分布 ，X 1和 X2相互独立，由来自总体 Xi(i=1，2)的简单随机样本得样本均值 和样本方差 （分数：5.00）(1).利用正态总体的样本均值和样本方差的性质，证明： （分数：2.50）_(2).设 1= 2=，求 的数学期望，其中 i是统计量： （分数：2.50）_28.已知总体 X与 Y
9、相互独立且都服从标准正态分布，X 1，X 8和 Y1，Y 9是分别来自总体 X与 Y的两个相互独立的简单随机样本，其均值分别为 ，如果记 ，求证： （分数：5.00）_29.已知随机变量 X1，X 2，X n相互独立且分别服从正态分布 (i=1，n)记 ， ，求证： （分数：5.00）_考研数学一-概率论与数理统计数理统计的基本概念答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：16，分数：16.00)1.假设 X，X 1，X 2，X 10是来自正态总体 N(0， 2)的简单随机样本， ，则（分数：1.00）A.B.C. D.解析：分析 由于总体服从正态分布 N(0， 2
10、)，由 2分布典型模式知(A)、(B)不成立又(D)的 F分布自由度为(10，1)与*不符合，放正确选项为(C)事实上，由题设知*又 X，X 1，X 10相互独立，从而 X与 Y2独立，所以*2.设总体 X服从正态分布 N(0， 2)， 、S 2分别为容量是 n的样本的均值和方差，则下列服从自由度为 n-1的 t分布的随机变量是（分数：1.00）_解析：3.设总体 X服从正态分布 N(0， 2)( 2已知)，X 1，X n是取自总体 X的简单随机样本，S 2为样本方差，则（分数：1.00）A.B.C.D. 解析：分析 由于总体 XN(0， 2)，故*且相互独立，所以*又*而 Xi与 S2不独立
11、，所以(A)、(B)、(c)都不成立，正确选项只能是(D)事实上，由于*与 S2独立，故*与 S2独立，而*根据 2分布的可加性知*故(D)成立4.设 X1，X 2，X n是来自总体 X的简单随机样本，X 是样本均值，则下列样本的函数中不是统计量的是（分数：1.00）A.B.maxX1，X 2，X nC.X1-EX1 D.minX1，X 2，X n解析：分析 因为 X1-EX1依赖于未知的数学期望 EX1，所以不是统计量应选(C)5.设随机变量 X和 Y都服从标准正态分布，则（分数：1.00）A.X+Y服从正态分布B.X2+Y2服从 2分布C.X2和 Y2都服从 2分布 D.X2/Y2服从 F
12、分布解析：分析 题目仅给出 X和 Y都服从标准正态分布而没有“相互独立”的假设，而(A)、(B)、(D)都要求 X与 Y相互独立，因此正确选项只能是(C)事实上，由 2分布典型模式知：若 XN(0，1)，YN(0，1)，则 X2 2(1)，Y 2 2(1)6.设 X1，X 2，X n是来自总体 N(， 2)的简单随机样本， 为样本的均值，记则下列服从自由度为 n-1的 t分布的随机变量是（分数：1.00）A.B. C.D.解析：分析 由正态总体抽样分布与 t分布典型模式知，服从 t(n-1)的随机变量仅能在含有*的选项(A)、(B)中考虑，这是因为*又由*即知正确选项应该是(B)事实上，由于总
13、体 XN(， 2)，故*所以*7.设总体 X服从正态分布 N(， 2)，X 1，X n是取自总体 X的简单随机样本，其均值为 ，则（分数：1.00）A. B.C.D.解析：分析 根据正态总体抽样分布的结果，知*所以(C)、(D)都不成立由于 XiN(， 2)，故*且相互独立，根据 2分布典型模式知*因此正确的选项是(A)8.设随机变量 Xt(n)(n1)， （分数：1.00）A.B.C. D.解析：分析 由 t(n)分布的典型模式：若 UN(0，1)，V 2(n)，U 与 V独立，则*，即得*由题设知 X与 Z同分布，从而知*同分布，所以正确选项为(C)9.设总体 X服从正态分布 N(， 2)
14、，X 1,，X n是取自总体 X的简单随机样本， ，则（分数：1.00）A.B.C.D. 解析：分析 直接应用正态总体抽样分布的结论：*所以选(D)10.设 X1，X n是取自标准正态总体 N(0，1)的简单随机样本，其均值为 ，则下列结论不正确的是（分数：1.00）A.B.C.D. 解析：分析 由 F分布典型模式知结论不正确的选项只能在(C)、(D)中选一，显然*与*(X i-*)2不独立，故选(C)由于总体 XN(0，1)，故 XiN(0，1)且相互独立，所以*(其中 S2为样本方差， 2=1)选项(A)、(B)正确又*与 S2独立，所以*选项(D)正确11.设总体 X服从正态分布 N(0
15、， 2)，X 1，X n是取自总体 X的简单随机样本，其均值、方差分别为X、S 2，则（分数：1.00）A.B.C. D.解析：分析 由正态总体抽样分布与 F分布典型模式知正确选项为(C)事实上，总体 XN(0， 2)，故*又*与 S2独立，所以*12.设总体 X服从正态分布 N(0， 2)，X 1，X 10是取自总体 X的简单随机样本，则（分数：1.00）A.B. C.D.解析：分析 选项(A)、(C)的分子、分母中均有相同变量*，因而不相互独立，所以只能在(B)、(D)中选择由 F典型模式知，比值系数 k应为 F(m，n)分布中自由度的比值：*，*，所以正确选项为(B)事实上，*又 Y1与
16、 Y2独立，故*13.设总体 XN( 1，4)，YN( 2，5)，X 与 Y相互独立，X 1，X 8和 Y1，Y 10是分别来自总体 X和 Y的两个样本， 分别为两个样本的方差，则（分数：1.00）A.B.C.D. 解析：分析 由 F分布典型模式知，若 aX 2(m)，bY 2(n)，X 与 Y相互独立，则*依题意*又*独立，故服从 F(7，9)分布*，其系数*故选(D)14.设 Fn(x)是来自总体 X容量为 n的简单随机样本的经验分布函数，F(x)是总体 X的分布函数，则下列命题错误的是：对于每个给定的 x，F n(x)（分数：1.00）A.是分布函数 B.依概率收敛于 F(x)C.是一统
17、计量D.的数学期望是 F(x)解析：分析 对于每个固定的 x，F n(x)根本不是分布函数，因此(A)错误，故选(A)15.已知总体 X的期望 EX=0，方差 DX= 2，X 1，X n是取自总体 X的简单随机样本，其均值和方差分别为 、S 2，统计量 （分数：1.00）A.B. C.D.解析：分析 总体分布未知，因而选项(A)不成立或若(A)成立，则(B)、(D)都成立，所以(A)不成立由题设 EX=，DX= 2，我们只能计算 EYn，所以最大可能的选项应该是(B)事实上，由*得*故*16.设总体 X服从正态分布 N(0， 2)，X 1，X 10是来自总体 X的简单随机样本，统计量 Y= （
18、分数：1.00）A.B.C.D. 解析：分析 由统计量 Y的表达式知其系数 4应为 F(m，n)自由度的比值*，即*，解得 i=2事实上，由*U与 V独立，所以*由题设知*，解得 i=2，正确选项为(D)二、填空题(总题数：10，分数：18.00)17.设 X1，X 2，X 3，X 4相互独立同服从标准正态分布， 是算术平均值，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：1， 2）解析：分析 熟知 X1+X2+X3+X4服从正态分布 N(0，4)，因此*服从自由度为 1的 2分布18.假设总体 XN(0，3 2)，X 1，X 2，X 8是来自总体 X的简单随机样本，则统计量（分数：1.0
19、0）填空项 1:_ （正确答案：4，t）解析：分析 由于独立正态分布的随机变量的线性组合仍然服从正态分布，易见*作为独立标准正态随机变量的平方和，*服从 2分布，自由度为 4；随机变量 U和 2显然相互独立随机变量 Y可以表示为*由 t分布随机变量的典型模式，可知随机变量 Y服从自由度为 4的 t分布19.设总体 XN(a，2)，YN(b，2)并且独立；基于分别来自总体 X和 Y的容量相应为 m和 n的简单随机样本，得样本方差 ，则统计量（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：m+n-2， 2）解析：分析 利用结论：“设总体 XN(， 2)，X 1，X 2，X n是来自总体 X的简单随机
20、佯本，*和 S2分别为样本均值和样本方差，则(1)*服从自由度为 n-1的 t分布；(2) 2=*服从自由度为 n-1的 2分布”可知*分别服从自由度为 m-1和自由度为 n-1的 2分布，并且相互独立从而，由 2分布随机变量的可加性知，T 服从自由度为 m+n-2的 2分布20.设总体 X在区间0，2上服从均匀分布，F n(x)是来自 X容量为 n的简单随机样本的经验分布函数，则对于任意 x0，2，EF n(x)= -|_|-；DF n(x)= -|_|-（分数：2.00）_解析：分析 总体 X的分布函数为*对于任意 x0，2，以 vn(x)表示 n次简单随机抽样事件Xx21.设总体 X的密
21、度函数 又 ，S 2分别为取自总体 X容量为 n的样本的均值和方差，则E =_； （分数：3.00）填空项 1:_ （正确答案：0，*，*）解析：分析 由于*，由题设有*所以*22.设总体 X服从参数为 p的 0-1分布，即 PX=0=1-p，PX=1=p(0p1)，X 1，X n是取自总体 X容量为n的样本，X 为其均值，则 （分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 因 Xi相互独立且都服从参数为 p的 0-1分布，所以*，即*=*，故*23.已知(X，Y)的联合概率密度为则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：F(1，1)，二项）解析：分析 由题设知(X，Y)
22、服从二维正态分布且密度函数为*故 XN(0，2 2)，YN(1，3 2)，X 与 Y相关系数 =0，所以 X与 Y独立，*N(0，1)，根据 F分布典型模式知*24.设 X1，X 2，X 3，X 4是来自正态总体 N(0，2 2)的简单随机样本，Y=a(X 1-2X2)2+b(3X3-4X4)2，则当a=_，b=_时，统计量 Y服从 2分布，自由度为_（分数：3.00）填空项 1:_ （正确答案：*，*，2）解析：分析 依题意 XiN(0，2 2)且相互独立，所以 X1-2X2N(0，20)，3X 3-4X4N(0，100)且相互独立，故*且相互独立，由 2分布典型模式及性质知*，自由度为 2
23、25.设总体 X与 Y独立且都服从正态分布 N(0， 2)，已知 X1，X m与 Y1，Y n是分别来自总体 X与Y的简单随机样本，统计量 服从 t(n)分布，则 （分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 依题意 XiN(0， 2)，Y iN(0， 2)且相互独立，所以*U与 V相互独立，由 t分布典型模式知*根据题设*，所以*26.假设 X1，X 2，X 16是来自正态总体 N(， 2)的简单随机样本， 为其均值，S 为其标准差，如果 （分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：-0.4383）解析：分析 由于总体 XN(， 2)，故*与 S2独立，由 t分布典型模式得
24、：*，所以* 由此知 4a为 t(15)分布上 0.95分位数，即4a=t0.95(15)=-t1-0.95(15)=-t0.05(15)=-1.7531，a=-0.4383三、解答题(总题数：4，分数：20.00)27.已知总体 X的数学期望 EX=，方差 DX= 2，X 1，X 2，X 2n是来自总体 X容量为 2n的简单随机样本，样本均值为 ，统计量 （分数：5.00）_正确答案：(由于总体分布未知，我们只好将 Y化简，应用数字特征性质计算 EY由于*又*所以*)解析：假设总体 Xi(i=1，2)服从正态分布 ，X 1和 X2相互独立，由来自总体 Xi(i=1，2)的简单随机样本得样本均
25、值 和样本方差 （分数：5.00）(1).利用正态总体的样本均值和样本方差的性质，证明： （分数：2.50）_正确答案：(由于*分别依赖于两个相互独立的样本，故它们相互独立由于正态总体的样本均值和样本方差相互独立，可见*分别相互独立因此，对于任意实数 a，b，c，d，有*从而*相互独立)解析：(2).设 1= 2=，求 的数学期望，其中 i是统计量： （分数：2.50）_正确答案：(知，随机变量 1和*以及随机变量 2和*相互独立显然 1+ 2=1，从而*)解析：28.已知总体 X与 Y相互独立且都服从标准正态分布，X 1，X 8和 Y1，Y 9是分别来自总体 X与 Y的两个相互独立的简单随机
26、样本，其均值分别为 ，如果记 ，求证： （分数：5.00）_正确答案：(应用 t分布的典型模式证明已知 XiN(0，1)，Y iN(0，1)且相互独立，因此样本均值*如果用*分别表示样本方差，则有*，由于 Xi与 Yj相互独立，*仅依赖于*仅依赖于Yi，因此*与*独立，根据 2分布性质(可加性)知*，又*相互独立，所以 Y与*相互独立，根据t分布典型模式有*)解析：29.已知随机变量 X1，X 2，X n相互独立且分别服从正态分布 (i=1，n)记 ， ，求证： （分数：5.00）_正确答案：(应用 F分布的典型模式证明由题设知*，且相互独立，将 Y1，Y 2，Y n视为来自正态总体 N(0，1)的简单随机样本，则样本均值*样本方差*由正态总体统计量分布知：*，*与*相互独立，所以由 F分布的典型模式得*)解析：
