1、考研数学一-概率论与数理统计随机变量的数字特征(二)及答案解析(总分：96.10，做题时间：90 分钟)一、B填空题/B(总题数：17，分数：21.00)1.已知连续型随机变量 X 的概率密度为 （分数：2.00）填空项 1:_2.已知随机变量 X 服从参数为 2 的泊松分布，且随机变量 Z=3x-2，则 EZ=_（分数：2.00）填空项 1:_3.设随机变量 X 服从均值为 2、方差为 2的正态分布，且 P2X4=0.3，则 PX0=_（分数：2.00）填空项 1:_4.设随机变量 X 服从参数为 1 的指数分布，则 E(X+e-2x)=_（分数：2.00）填空项 1:_5.设 X 表示 1
2、0 次独立重复射击命中目标的次数，每次射中目标的概率为 0.4，则 E(X2)=_（分数：1.00）填空项 1:_6.设 和 是两个相互独立且均服从正态分布 （分数：1.00）填空项 1:_7.设随机变量 X 服从参数为 的指数分布，则 （分数：1.00）填空项 1:_8.设随机变量服从参数为 1 的泊松分布，则 PX=EX2=_（分数：1.00）填空项 1:_9.设随机变量 X 的概率分布为 PX=k= （分数：1.00）填空项 1:_10.设二维随机变量(X，Y)服从正态分布 N(，； 2， 2；0)，则 E(XY2)=_（分数：1.00）填空项 1:_11.设随机变量 X 服从(-a，a
3、)上的均匀分布(a0)，且已知 P(X1)= （分数：1.00）填空项 1:_12.随机变量 X 的密度为： （分数：1.00）填空项 1:_13.设随机变量 X，Y，Z 相互独立，且 XN(4，5)，YN(-2，9)，ZN(2，2)，则 P0X+Y-Z3)= 1( （分数：1.00）填空项 1:_14.对随机变量 X，Y，Z，已知 EX=EY=1，EZ=-1，DX=Dy=1，DZ=4， (X，Y) =0， (X，Z) = ， (Y，Z) =（分数：1.00）填空项 1:_15.设二维随机变量(X，Y)的分布列为(如表)其中 ， 未知，但已知 E(Y)= ，则=_，=_，E(X)=_，E(XY
4、)=_ （分数：1.00）填空项 1:_16.设(X，Y)在 D：x+ya(a0)上服从均匀分布，则 E(X)=_，E(Y)=_，E(XY)=_（分数：1.00）填空项 1:_17.对随机变量 X，Y，已知 3X+5Y=11，则 X 和 Y 的相关系数为 1（分数：1.00）填空项 1:_二、B选择题/B(总题数：10，分数：10.00)18.设两个相互独立的随机变量 X 和 Y 的方差分别为 4 和 2，则随机变量 3X-2Y 的方差是_ A.8 B.16 C.28 D.44（分数：1.00）A.B.C.D.19.设二维随机变量(X，Y)服从二维正态分布，则随机变量 =X+Y 与 =X-Y
5、不相关的充分必要条件为_ A.E(X)=E(Y) B.E(X2)-E(X)2=E(Y2)-E(Y)2 C.E(X2)=E(Y2) D.E(X2)+E(X)2=E(Y2)+E(Y)2（分数：1.00）A.B.C.D.20.将一枚硬币重复掷 n 次，以 X 和 Y 分别表示正面向上和反面向上的次数，则 X 和 Y 的相关系数等于_ A-1 B0 C （分数：1.00）A.B.C.D.21.设随机变量 X1，X 2，X n(n1)独立同分布，且其方差 20，令 ，则ABcov(X 1，Y)= 2CD （分数：1.00）A.B.C.D.22.设随机变量(X，Y)服从二维正态分布，且 X 与 Y 不相关
6、，f X(x)，f Y(y)分别表示 X，Y 的概率密度，则在 Y=y 的条件下，X 的条件概率密度 fXY (xy)为_Af X(x) Bf Y(y) Cf X(x)fY(y) D （分数：1.00）A.B.C.D.23.设随机变量 XN(0，1)，YN(1，4)，且相关系数 xy=1，则_ A.PY=-2X-1)=1 B.PY=2X-1=1 C.PY=-2X+1=1 D.PY=2X+1=1（分数：1.00）A.B.C.D.24.设随机变量 X 的分布函数为 F(x)=0.3(x)+ （分数：1.00）A.B.C.D.25.设随机变量 X 与 Y 相互独立，且 EX 与 EY 存在，记 U=
7、maxX，Y)，V=minX，Y)，则 E(UV)=_ A.EUEV B.EXEY C.EUEY D.EXEV（分数：1.00）A.B.C.D.26.将长度为 1m 的木棒随机地截成两段，则两段长度的相关系数为 A1 B C （分数：1.00）A.B.C.D.27.设连续型随机变量 X1与 X2相互独立且方差均存在，X 1与 X2的概率密度分别为 f1(x)与，f 2(x)，随机变量 Y1的概率密度为 ，随机变量 （分数：1.00）A.B.C.D.三、B解答题/B(总题数：8，分数：65.00)设随机变量 X 的概率密度为（分数：6.00）(1).求 EX 和 DX；（分数：2.00）_(2)
8、.求 X 与X的协方差，并问 X 与X是否不相关?（分数：2.00）_(3).问 X 与X是否相互独立?为什么?（分数：2.00）_已知随机变量 XN(1，3 2)，YN(0，4 2)，而(X，Y)服从二维正态分布且 X 与Y 的相关系数 设 （分数：6.00）(1).求 EZ 和 DZ；（分数：2.00）_(2).求 X 与 Z 的相关系数 XZ；（分数：2.00）_(3).问 X 与 Z 是否相互独立?为什么?（分数：2.00）_设 和 是相互独立且服从同一分布的两个随机变量，已知 的分布律为P(=i)= （分数：12.00）(1).写出二维随机变量(X，Y)的分布律；（分数：2.00）_
9、(2).求 EX（分数：2.00）_(3).从学校乘汽车到火车站的途中有 3 个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是 （分数：2.00）_(4).设两个随机变量 X、Y 相互独立，且都服从均值为 0、方差为 （分数：2.00）_(5).某流水生产线上每个产品不合格的概率为 p(0p1)，各产品合格与否相互独立，当出现一个不合格产品时即停机检修设开机后第一次停机时已生产了的产品个数为 X，求 E(X)和 D(X)（分数：2.00）_(6).设随机变量 X 的概率密度为对 x 独立地重复观察 4 次，用 Y 表示观察值大于 （分数：2.00）_已知甲、乙两箱中装有同种产
10、品，其中甲箱中装有 3 件合格品和 3 件次品，乙箱中仅装有 3 件合格品从甲箱中任取 3 件产品放入乙箱后，求：（分数：4.00）(1).乙箱中次品件数 X 的数学期望；（分数：2.00）_(2).从乙箱中任取一件产品是次品的概率（分数：2.00）_设 A，B 为随机事件，且 ，令（分数：4.00）(1).二维随机变量(X，Y)的概率分布；（分数：2.00）_(2).X 与 Y 的相关系数 (X，Y) （分数：2.00）_设随机变量 X 与 Y 的概率分布分别为（分数：6.00）(1).求二维随机变量(X，Y)的概率分布；（分数：2.00）_(2).求 Z=XY 的概率分布；（分数：2.00
11、）_(3).求 X 与 Y 的相关系数 XY（分数：2.00）_设二维离散型随机变量(X，Y)的概率分布为（分数：4.00）(1).求 P(X=2Y)（分数：2.00）_(2).求 Cov(X-Y，Y)（分数：2.00）_设随机变量 X 的概率分布为 P(X=1)=PX=2)= （分数：23.10）(1).求 Y 的分布函数 FY(y)；（分数：1.10）_(2).求 EY（分数：1.10）_(3).设随机变量 x 的密度为， （分数：1.10）_(4).已知随机变量 X 与 Y 独立，且 X 服从2，4上的均匀分布，YN(2，16)求 cov(2X+XY，(Y-1)2)（分数：1.10）_(
12、5).随机变量 X 可能取的值为-1，0，1且知 EX=01，EX 2=0.9，求 X 的分布列（分数：1.10）_(6).在ABC 中任取一点 P，而ABC 与ABP 的面积分别记为 S 与 S1若已知 S=12，求 ES1（分数：1.10）_(7).袋中装有黑白两种颜色的球，黑球与白球个数之比为 3:2现从此袋中有放回地摸球，每次摸 1个记 X 为直至摸到黑、白两种颜色都出现为止所需要摸的次数求 E(X)（分数：1.10）_(8).已知线段 AB=4，CD=1，现分别独立地在 AB 上任取点 A1，在 CD 上任取点 C1，作一个以 AA1为底、CC 1为高的三角形，设此三角形的面积为 S
13、，求 P(S1)和 D(S)（分数：1.10）_(9).设随机变量 X 在区间(-1，1)上服从均匀分布，Y=X 2，求(X，Y)的协方差矩阵和相关系数（分数：1.10）_(10).现有 k 个人在某大楼的一层进入电梯，该楼共 n+1 层电梯在任一层时若无人下电梯则电梯不停(以后均无人再入电梯)现已知每个人在任何一层(当然不包括第一层)下电梯是等可能的且相互独立，求电梯停止次数的平均值（分数：1.10）_(11).设某种元件的寿命为随机变量且服从指数分布这种元件可用两种方法制得，所得元件的平均寿命分别为 100 和 150(小时)，而成本分别为 c 和 2c 元如果制得的元件寿命不超过 200
14、 小时，则须进行加工，费用为 100 元为使平均费用较低，问 c 取值时，用第 2 种方法较好?（分数：1.10）_(12).设做一次实验的费用为 1000 元，如果实验失败，则要另外再花 300 元对设备调整才能进行下一次的实验设各次实验相互独立，成功的概率均为 0.2，并假定实验一定要进行到出现成功为止求整个实验程序的平均费用（分数：1.10）_(13).现有奖券 100 万张，其中一等奖 1 张，奖金 5 万元；二等奖 4 张，每张奖金 2500 元；三等奖 40 张，每张奖金 250 元；四等奖 400 张，每张奖金 25 元而每张奖券 2 元，试计算买一张奖券的平均收益（分数：1.1
15、0）_(14).设随机变量(X，Y)N(0，1；0，1；)，求 Emax(X，Y)（分数：1.10）_(15).设随机变量 X1，X 2，X n独立同分布且 DX1= 2，令 ，试求 与 （分数：1.10）_(16).设试验成功的概率为 ，失败的概率为 （分数：1.10）_(17).n 个小球和 n 个盒子均编号 1，2，n，将 n 个小球随机地投入 n 个盒中去，每盒投 1 个球记 X为小球编号与所投之盒子编号相符的个数，求 E(X)（分数：1.10）_(18).存长为 a 的线段 AB 上独立、随机地取两点 C，D，试求 CD 的平均长度（分数：1.10）_(19).设随机变量 X1，X
16、2，X n+1独立同分布，且 P(X1=1)=p，P(X 1=0)=1-p，记：(i=1，2，n)求 （分数：1.10）_(20).对随机变量 X 和 Y，已知 EX=3，EY=-2，DX=9，DY=2，E(XY)=-5设 U=2X-Y-4，求 EU，DU（分数：1.10）_(21).对随机变量 X，Y，已知 EX2和 EY2存在，证明：E(XY) 2E(X 2)E(Y2)（分数：1.10）_考研数学一-概率论与数理统计随机变量的数字特征(二)答案解析(总分：96.10，做题时间：90 分钟)一、B填空题/B(总题数：17，分数：21.00)1.已知连续型随机变量 X 的概率密度为 （分数：2
17、.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解 *，xR 1可见*故 EX=1，*本题主要考查正态分布的密度和期望、方差2.已知随机变量 X 服从参数为 2 的泊松分布，且随机变量 Z=3x-2，则 EZ=_（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：4）解析：解 EX=2，EZ=E(3X-2)=3EX-2=32-2=4 本题考查期望的性质和泊松分布的期望3.设随机变量 X 服从均值为 2、方差为 2的正态分布，且 P2X4=0.3，则 PX0=_（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：2）解析：解* * 故* 本题考查正态分布的计算还应记住 (0)=0.54.设随机变量 X 服从参
18、数为 1 的指数分布，则 E(X+e-2x)=_（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解 由题意，X 的密度为：*且知 EX=1*故 E(X+e-2x)=EX+Ee-2x=*本题主要考查指数分布的期望、函数的期望勿求 e-2X的分布，也勿写“Ee -2X=*”一类式子(注意积分限)5.设 X 表示 10 次独立重复射击命中目标的次数，每次射中目标的概率为 0.4，则 E(X2)=_（分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：18.4）解析：解 由题意，XB(10，04)，EX=100.4=4DX=100.4(1-0.4)=2.4所以 EX 2=DX+(EX)2=2.4+42
19、=18.4本题考查二项分布的数字特征而 EX2=DX+(EX)2由 DX=EX2-(EX)2得来，在处理特殊分布的 EX2时较常用6.设 和 是两个相互独立且均服从正态分布 （分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解 若记 X=-，则 EX=E-E=0，DX=D+D=1可得 XN(0，1)于是*本题主要考查正态分布函数的数学期望勿出现“D(-)=D-D”有人用 E(-)=*来作(其中 f 、f 为 、 的密度，是同一个函数)，不如本解简捷7.设随机变量 X 服从参数为 的指数分布，则 （分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解 由题意，*，而 X 的概率密度为
20、*， 故 * 指数分布是要求学生掌握的几个特殊分布之一，请记住其概率密度、数学期望和方差，建议读者还记住指数分布的分布函数(是*，本题也可用分布函数求出：*=1-*注意本题是“求”概率而非“估计”概率，所以不要用切比雪夫不等式等方法去做(切比雪夫不等式只能“估计”出概率的范围)。8.设随机变量服从参数为 1 的泊松分布，则 PX=EX2=_（分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解 由 EX2=DX+(EX)2=1+12=2，故 PX=EX2=PX=2=*泊松分布是较为重点的内容，请记住它的期望、方差和分布9.设随机变量 X 的概率分布为 PX=k= （分数：1.00）填空项
21、1:_ （正确答案：2）解析：解 由 *(取 x=1 即得)*本题中 X(1)(即参数为 1 的泊松分布)，若能看出这一点，那么知 EX=DX=1，EX 2=DX+(EX)2=1+12=2更简单而*，x(-，+)是初等函数幂级数展开式中要求学生熟记的10.设二维随机变量(X，Y)服从正态分布 N(，； 2， 2；0)，则 E(XY2)=_（分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案： 3+ 2）解析：解 由题意知 X 与 y 独立同分布，且 XN(， 2)，故 EX=，E(Y 2)=DY+(EY)2= 2+ 2 E(XY 2)=EXE(Y2)=( 2+ 2)= 3+ 2对服从二维正态分布的随机
22、变量(X，Y)而言，“X 与 Y 独立”*“X 与 Y 不相关”*“X 与 Y 的相关系数 =0”(符号“*”表示“等价于”或“充分必要条件是”)，这时可得“X 与 Y2独立”而 E(Y2)=DY+(EY)2是求特殊分布的二阶原点矩的常用手法(要求学生记住服从特殊分布的随机变量 Y 的 EY 和 DY)，不用去积分附带提一句，随机变量(X，Y)服从二维正态分布的缩写中 5 个参数的次序，非数学专业的书籍中写法还不统一，有的是(X，Y)*(本题即用此写法)，有的是(X，Y)*，此处, 1=EX， 2=EY，*， 为(X，Y)的相关系数而大纲中还未指明用哪种写法，本题就采用了第 1 种写法，不甚妥
23、当11.设随机变量 X 服从(-a，a)上的均匀分布(a0)，且已知 P(X1)= （分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：a=3*）解析：X 的概率密度为：* 而 *如果 a1，则 P(X1)=0*可见 0a1，于是：*=P(X1)=*，解得 a=3故*12.随机变量 X 的密度为： （分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：这是指数分布，可知 =A=-B，而 6=EX=*，*，故*13.设随机变量 X，Y，Z 相互独立，且 XN(4，5)，YN(-2，9)，ZN(2，2)，则 P0X+Y-Z3)= 1( （分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：P0X+Y-Z3)=
24、*=0.7734-0.5=0.2734）解析：E(X+Y=Z)=EX+EY-EZ=4-2-2=0，D(X+Y-Z)=DX+DY+DZ=5+9+2=16，X+Y-ZN(0，16)，故 P0X+Y-Z3)=*=0.7734-0.5=0.273414.对随机变量 X，Y，Z，已知 EX=EY=1，EZ=-1，DX=Dy=1，DZ=4， (X，Y) =0， (X，Z) = ， (Y，Z) =（分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：E(X+Y+Z)=EX+EY+EZ=1，D(X+Y+Z)=DX+DY+DZ+2cov(X，Y)+2coy(X，Z)+2cov(Y，Z)=1+1+4+0+*2=*，cov
25、(2X+Y，3Z+X)=6cov(X，Z)+2DX+3cov(Y，Z)+cov(Y，X)=6*+2DX+*）解析：15.设二维随机变量(X，Y)的分布列为(如表)其中 ， 未知，但已知 E(Y)= ，则=_，=_，E(X)=_，E(XY)=_ （分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：*，EX=*）解析：*，得*，又*，得*，联立解得*，故得 EX=*16.设(X，Y)在 D：x+ya(a0)上服从均匀分布，则 E(X)=_，E(Y)=_，E(XY)=_（分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：0，0，0.）解析：D 的面积为 2a2，故(X，Y)的概率密度为：*17.对随机变量 X，
26、Y，已知 3X+5Y=11，则 X 和 Y 的相关系数为 1（分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：*，(X，Y)的相关系数为-1(若 Y=aX+b)，则(X，Y)的相关系数为*)二、B选择题/B(总题数：10，分数：10.00)18.设两个相互独立的随机变量 X 和 Y 的方差分别为 4 和 2，则随机变量 3X-2Y 的方差是_ A.8 B.16 C.28 D.44（分数：1.00）A.B.C.D. 解析：解 由 DX=4，DY=2，且 X 与 Y 独立，故 D(3X-2Y)=9DX+4DY=94+42=44 本题考查方差的计算性质19.设二维随机变量(X，Y)服从二维正态
27、分布，则随机变量 =X+Y 与 =X-Y 不相关的充分必要条件为_ A.E(X)=E(Y) B.E(X2)-E(X)2=E(Y2)-E(Y)2 C.E(X2)=E(Y2) D.E(X2)+E(X)2=E(Y2)+E(Y)2（分数：1.00）A.B. C.D.解析：解 coy(，)=cov(X+Y，X-Y)=DX-DY=EX 2-(EX)2-EY2-(EY)2而“cov(，)=0”等价于“ 与 不相关”，故选 B本题主要考查协方差和方差的计算性质本解不用“正态分布”这个条件(只要求 X、Y 的二阶矩存在)20.将一枚硬币重复掷 n 次，以 X 和 Y 分别表示正面向上和反面向上的次数，则 X 和
28、 Y 的相关系数等于_ A-1 B0 C （分数：1.00）A. B.C.D.解析：解 1 X+Y=n，Y=n-X故 DY=D(n-X)=DX，cov(X，Y)=cov(X，n-X)=-cov(X，x)=-DX X 和 Y 的相关系数*解 2 当 Y=aX+b(a0，a，b 为常数)成立时，X 与 Y 的相关系数*本题中，Y=(-1)X+n，即 a=-1，b=n 故 XY=-1本题考查相关系数的性质(及定义式)解 2 用了相关系数的一个结论21.设随机变量 X1，X 2，X n(n1)独立同分布，且其方差 20，令 ，则ABcov(X 1，Y)= 2CD （分数：1.00）A. B.C.D.解
29、析：解*，故 A协方差具有“线性运算”的性质，较易计算。而 D(X1+Y)=DX1+DY+2coy(X1，Y)=*+*(注意 X1与 Y 未必独立，因为 Y 中含 X1，勿漏掉 2cov(X1，Y)项)，22.设随机变量(X，Y)服从二维正态分布，且 X 与 Y 不相关，f X(x)，f Y(y)分别表示 X，Y 的概率密度，则在 Y=y 的条件下，X 的条件概率密度 fXY (xy)为_Af X(x) Bf Y(y) Cf X(x)fY(y) D （分数：1.00）A. B.C.D.解析：解 由(X，Y)服从二维正态分布，且 X 与 Y 不相关，故 X 与 Y 独立，(X，Y)的概率密度 f
30、(x，y)=fX(x)fY(y)，*(X，y)R 2得 *故选 A如果(X，Y)服从二维正态分布，则“X 与 Y 不相关”等价于“X 与 Y 独立”，这是正态分布的一条性质23.设随机变量 XN(0，1)，YN(1，4)，且相关系数 xy=1，则_ A.PY=-2X-1)=1 B.PY=2X-1=1 C.PY=-2X+1=1 D.PY=2X+1=1（分数：1.00）A.B.C.D. 解析：解 如果 A 或 C 成立，则应 XY=1，矛盾；如果 B 成立，那么 EY=2EX-1=-1，与本题中 EY=1 矛盾只有 D 成立时， XY=1，EY=2EX+1=1，DY=4DX=4，符合题意，故选 D
31、相关系数 XY有性质：“ XY=1*a，b，a0，*PY=aX+b=1”进一步有：“ XY=1 *上式中a0； XY=-1*上式中 a0”(这里“*”表示“等价于”)故本题中 A、C 不可选再验一下 B、D成立时的数字特征即可这里“PY=2X+1)=1”一式对非数学专业的同学来讲，就理解成“Y=2X+1”就可以(其余几个类似)24.设随机变量 X 的分布函数为 F(x)=0.3(x)+ （分数：1.00）A.B.C. D.解析：解 X 的概率密度为 f(x)=F(x)=* xR 其中*，-x+为标准正态分布的概率密度 故* 而*， * EX=*，故选 C 正态分布是概率论中最重要的分布，务必熟
32、悉而“*”可由“若被积函数为奇函数，积分区间对称(包括无穷区间)，积分收敛(本题中较易看出)，则此积分为 0”得到；也可由“设随机变量 N(0，1)(注意与题中的 X 无关)，搴的概率密度则为*，则 0=E=*”得到而“*=1”更是概率密度的基本性质求*时，如果用“*=*”也可，其中“*”是由“设随机变量 N(1，4)，则 的概率密度为 p(x)=* (xR)，1=E=*”得到(注意被积函数朝 p(x)上凑)，这要求对正态分布的积分较熟悉，而不要去强行积分25.设随机变量 X 与 Y 相互独立，且 EX 与 EY 存在，记 U=maxX，Y)，V=minX，Y)，则 E(UV)=_ A.EUEV B.EXEY C.EUEY D.EXEV（分数：1.00）A.B. C.D.解析：解 由题意知 * UV=XY 故 E(
