1、考研数学一分类真题一元函数微分学及答案解析(总分：88.00，做题时间：90 分钟)一、B填空题/B(总题数：17，分数：21.00)1.当 x=_时，函数 y=x2x取得极小值（分数：2.00）填空项 1:_2.若 （分数：2.00）填空项 1:_3.已知 f(3)=2，则 （分数：2.00）填空项 1:_4.设 ，则 （分数：2.00）填空项 1:_5.设函数 y=y(x)由方程 ex+y+cos(xy)=0确定，则 （分数：1.00）填空项 1:_6.=_ （分数：1.00）填空项 1:_7.对数螺线 =e 在点(，)= （分数：1.00）填空项 1:_8.=_ （分数：1.00）填空项
2、 1:_9.=_ （分数：1.00）填空项 1:_10.已知函数 y=y(x)由方程 ey+6xy+x2-1=0确定，则 y“(0)=_（分数：1.00）11.曲线 y=lnx上与直线 x+y=1垂直的切线方程为_（分数：1.00）填空项 1:_12.曲线 （分数：1.00）填空项 1:_13.曲线 sin(xy)+ln(y-x)=x在点(0，1)处的切线方程是_（分数：1.00）填空项 1:_14.设 ，则 （分数：1.00）填空项 1:_15.设函数 y=f(x)由方程 y-x=ex(1-y)确定，则 （分数：1.00）填空项 1:_16.设 (t为参数)，则 （分数：1.00）填空项 1
3、:_17.设 f(x)是周期为 4的可导奇函数，且 f(x)=2(x-1)，x0，2，则 f(7)=_（分数：1.00）填空项 1:_二、B选择题/B(总题数：29，分数：29.00)18.设 （分数：1.00）A.B.C.D.19.设 f(x)可导且 f(x0)= （分数：1.00）A.B.C.D.20.设 y=f(x)是方程 y“-2y+4y=0的一个解，且 f(x0)0，f(x 0)=0，则函数 f(x)在点 x0处_ A.取得极大值 B.取得极小值 C.某邻域内单调增加 D.某邻域内单调减少（分数：1.00）A.B.C.D.21.当 x0 时，曲线 （分数：1.00）A.B.C.D.2
4、2.已知函数 f(x)具有任意阶导数，且 f(x)=f(x)2，则当 n为大于 2的正整数时，f(x)的 n阶导数 f(n)(x)为_ A.n!f(x)n+1 B.nf(x)n+1 C.f(x)2n D.n!f(x)2n（分数：1.00）A.B.C.D.23.已知 f(x)在 x=0的某个邻域内连续，且 f(0)=0， （分数：1.00）A.B.C.D.24.曲线 （分数：1.00）A.B.C.D.25.设 f(x)=3x2+x2x，则使 f(n)(0)存在的最高阶数 n为_ A.0 B.1 C.2 D.3（分数：1.00）A.B.C.D.26.设在0，1上 f“(x)0，则 f(0)，f(1
5、)，f(1)-f(0)或 f(0)-f(1)的大小顺序是_ A.f(1)f(0)f(1)-f(0) B.f(1)f(1)-f(0)f(0) C.f(1)-f(0)f(1)f(0) D.f(1)f(0)-f(1)f(0)（分数：1.00）A.B.C.D.27.设 f(x)可导，f(x)=f(x)(1+sinx)，则 f(0)=0是 F(x)在 x=0处可导的_ A.充分必要条件 B.充分条件但非必要条件 C.必要条件但非充分条件 D.既非充分条件又非必要条件（分数：1.00）A.B.C.D.28.设 f(x)有二阶连续导数，且 f(0)=0， （分数：1.00）A.B.C.D.29.函数 f(x
6、)=(x2-x-2)x 3-x不可导点的个数是_ A.3 B.2 C.1 D.0（分数：1.00）A.B.C.D.30.设 f(x)、g(x)是恒大于零的可导函数，且 f(x)g(x)-f(x)g(x)0，则当 azb 时，有_ A.f(x)g(b)f(b)g(x) B.f(x)g(a)f(a)g(x) C.f(x)g(x)g(b)f(b) D.f(x)g(x)f(a)g(a)（分数：1.00）A.B.C.D.31.设函数 f(x)在定义域内可导，y=f(x)的图形如图所示，则导函数 y=f(x)的图形为 A B C D （分数：1.00）A.B.C.D.32.设 f(0)=0，则 f(x)在
7、点 x=0可导的充要条件为 A 存在 B 存在 C 存在 D （分数：1.00）A.B.C.D.33.设函数 y=f(x)在(0，+)内有界且可导，则_ A当 时，必有 B当 存在时，必有 C当 时，必有 D当 存在时，必有 （分数：1.00）A.B.C.D.34.设函数 f(x)在(-，+)内连续，其导函数的图形如图所示，则 f(x)有（分数：1.00）A.B.C.D.35.设函数 f(x)连续，且 f(0)0，则存在 0，使得_ A.f(x)在(0，)内单调增加 B.f(x)在(-，0)内单调减少 C.对任意的 x(0，)有 f(x)f(0) D.对任意的 x(-，0)有 f(z)f(0)
8、（分数：1.00）A.B.C.D.36.设函数 （分数：1.00）A.B.C.D.37.设函数 y=f(x)具有二阶导数，且 f(x)0，f“(x)0，x 为自变量 x在 x0处的增量，y 与 dy分别为 f(x)在点 x0处对应的增量与微分，若 x0，则_ A.0dyy B.0ydy C.ydy0 D.dyy0（分数：1.00）A.B.C.D.38.设函数 f(x)在 x=0处连续，下列命题错误的是_A若 存在，则 f(0)=0 B 存在，则 f(0)=0C若 存在，则 f(0)存在 D （分数：1.00）A.B.C.D.39.曲线 （分数：1.00）A.B.C.D.40.设函数 f(x)在
9、(0，+)上具有二阶导数，且 f“(x)0，令 un=F(n)(n=1，2，)，则下列结论正确的是_ A.若 u1u 2，则u n必收敛 B.若 u1u 2，则u n必发散 C.若 u1u 2，则u n必收敛 D.若 u1u 2，则u n必发散（分数：1.00）A.B.C.D.41.设函数 （分数：1.00）A.B.C.D.42.曲线 y=(x-1)(x-2)2(x-3)3(x-4)4的拐点是 A.(1，0) B.(2，0) C.(3，0) D.(4，0)（分数：1.00）A.B.C.D.43.曲线 （分数：1.00）A.B.C.D.44.设函数 f(x)=(ex-1)(e2x-2)(enx-
10、n)，其中 n为正整数，则 f(0)=_ A.(-1)n-1(n-1)! B.(-1)n(n-1)! C.(-1)n-1n! D.(-1)nn!（分数：1.00）A.B.C.D.45.下列曲线中有渐近线的是_Ay=x+sinx By=x 2+sinxC D （分数：1.00）A.B.C.D.46.设函数 f(x)具有 2阶导数，g(x)=f(0)(1-x)+f(1)x，则在区间0，1上_ A.当 f(x)0 时，f(x)g(x) B.当 f(x)0 时，f(x)g(x) C.当 f“(x)0 时，f(x)g(x) D.当 f“(x)0 时，f(x)g(x)（分数：1.00）A.B.C.D.三、
11、B解答题/B(总题数：5，分数：38.00)假设函数 f(x)和 g(x)在a，b上存在二阶导数，并且 g“(x)0，f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0，试证：（分数：8.00）(1).在开区间(n，b)内 g(x)0；（分数：2.00）_(2).在开区间(a，b)内至少存在一点 ，使 （分数：2.00）_(3).设 f(x)在0，1上具有二阶导数，且满足条件f(x)a，f“(x)b，其中 a，b 都是非负常数，c 是(0，1)内任一点，证明 （分数：2.00）_(4).试证：当 x0 时，(x 2-1)lnx(x-1) 2（分数：2.00）_设 y=f(x)在(-1，1)内具有二阶连
12、续导数且 f“(x)0，试证：（分数：8.00）(1).对于(-1，1)内的任-x0，存在唯一的 (x)(0，1)，使 f(x)=f(0)+xf(x)x)成立；（分数：2.00）_(2). （分数：2.00）_(3).设函数 f(x)在 x=0某邻域内有一阶连续导数，且 f(0)0，f(0)0，若 af(h)+bf(2h)-f(0)在 h0时是比 h高阶的无穷小，试确定 a、b 的值。（分数：2.00）_(4).设 eabe 2，证明 ln2b-ln2a （分数：2.00）_已知函数 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，且 f(0)=0，f(1)=1证明：（分数：6.00）(1).存在
13、 (0，1)，使得 f()=1-；（分数：2.00）_(2).存在两个不同的点 ，(0，1)，使得 f()f()=1（分数：2.00）_(3).设函数 f(x)，g(x)在a，b上连续，在(a，b)内具有二阶导数且存在相等的最大值，f(a)=g(a)，f(b)=g(b)，证明：存在 (a，b)，使得 f“()=g“()（分数：2.00）_(1).证明拉格朗日中值定理：若函数 f(x)在a，b上连续，在(a，6)内可导，则存在 (a，b)，使得f(b)-f(a)=f()(b-a)（分数：2.00）_(2).证明：若函数 f(x)在 x=0处连续，在(0，)(0)内可导且 ，则 存在，且（分数：2
14、.00）_(3).求函数 （分数：2.00）_(4).求方程 karctanx-x=0不同实根的个数，其中 k为参数（分数：2.00）_(5).证明： （分数：2.00）_设奇函数 f(x)在-1，1上具有 2阶导数，且 f(1)=1证明：（分数：6.00）(1).存在 (0，1)，使得 f()=1；（分数：2.00）_(2).存在 (-1，1)，使得 f“()+f()=1（分数：2.00）_(3).设函数 y=f(x)由方程 y3+xy2+x2y+6=0确定，求 f(x)的极值。（分数：2.00）_考研数学一分类真题一元函数微分学答案解析(总分：88.00，做题时间：90 分钟)一、B填空题
15、/B(总题数：17，分数：21.00)1.当 x=_时，函数 y=x2x取得极小值（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解 1 y=2x+x2xln2=2x(1+xln2)令 y“=0得*，且当*时，y0；当*时，y0，则在*取极小值解 2 y=2x+x2xln2=2x(1+xln2)令 y=0，得*由原题可知极小值是存在的，则只能在*取得本题主要考查函数的极值解 2体现了解客观题时的技巧，应特别注意2.若 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：(1+2t)e 2t）解析：解 由于*，则 f(t)=e2t(1+2t)本题主要考查基本极限*及求导法则此类问题一般先通过求
16、极限求出 f(x)的表达式，再求 f(x)3.已知 f(3)=2，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：-1）解析：解 * 本题主要考查导数的定义4.设 ，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解 1 *，代入上式得 * 解 2 * * 本题主要考查参数方程求导解 1和解 2是参数方程求导常用的两种方法解 1是代公式，解 2是直接求，一般情况下解 2较方便5.设函数 y=y(x)由方程 ex+y+cos(xy)=0确定，则 （分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解 方程 ex+y+cos(xy)=0两边对 x求导得ex+y(1+y)-sin(
17、xy)(y+xy)=0解得 *本题主要考查隐函数求导法6.=_ （分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解 原式=* 本题主要考查函数极限求法本题主要利用了洛必达法则和等价无穷小代换7.对数螺线 =e 在点(，)= （分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：x+y=*）解析：解 对数螺线 =e 的参数方程为*切线斜率为*时，y=*，x=0，所求切线方程为：y-*=-(x-0)，即 x+y=*本题主要考查极坐标所表示的曲线的切线本题也可利用教材上求极坐标所表示的曲线的切线公式去求，但不方便这类问题简便可行的方法就是化为参数方程来求8.=_ （分数：1.00）填空项 1:_ （
18、正确答案：*）解析：解 1 原式* 解 2 由泰勒公式知 原式=* 本题主要考查求极限的基本方法本题切勿将分子写成*，然后分别用等价无穷小代换 *，这样做是错误的9.=_ （分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：应填*）解析：解 * 本题主要考查洛必达法则这里特别应注意洛必达法则与等价无穷小代换的有机结合10.已知函数 y=y(x)由方程 ey+6xy+x2-1=0确定，则 y“(0)=_（分数：1.00）解析：解 由方程 ey+6xy+x2-1=0可知，当 y=0时，y=0方程 ey+6xy+x2-1=0两边对 x求导得eyy+6y+6xy+2x=0 (*)在上式中令 x=0，得 y(
19、0)=0(*)式两边再对 x求导得eyy“+ey(y)2+6y+6y+6xy“+2=0令 x=0，则 y“(0)+2=0y“(0)=-2本题主要考查隐函数求导法11.曲线 y=lnx上与直线 x+y=1垂直的切线方程为_（分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：y=x-1）解析：解 直线 x+y=1的斜率为-1，所求切线斜率应为 1，而*，令*，得 x=1，则所求切线为 y=x-1 本题主要考查导数的几何意义12.曲线 （分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解 由于* * 则斜渐近线方程为 * 本题主要考查斜渐近线的求法13.曲线 sin(xy)+ln(y-x)=x在点(
20、0，1)处的切线方程是_（分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：y=x+1）解析：解 由 sin(xy)+ln(y-x)=x知 * 在上式中令 x=0，y=1，得 y=1则该曲线在点(0，1)处的切线方程是 y=x+1 本题主要考查隐函数求导及导数的几何意义14.设 ，则 （分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：0）解析：解 1 *解 2 利用公式*.由 x=e-t知，x=-e -t，x“=e -t，x(0)=-1，x“(0)=1由*知，y=ln(1+t 2)，*，y(0)=0，y“(0)=0则*解 3 由 x=e-t知，t=-lnx，且当 t=0时，x=1，则*则*本题主要考查参
21、数方程求导15.设函数 y=f(x)由方程 y-x=ex(1-y)确定，则 （分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：1）解析：解 由 y-x=ex(1-y)知，x=0 时，y=1则 y(0)=1，*本题主要考查隐函数求导及导数定义16.设 (t为参数)，则 （分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解 * * * 本题主要考查参数方程求导17.设 f(x)是周期为 4的可导奇函数，且 f(x)=2(x-1)，x0，2，则 f(7)=_（分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：1）解析：解 由 f(x)=2(x-1)，x0，2知，f(x)=(x-1) 2+C又 f(x)为
22、奇函数，则f(0)=0，C=-1f(x)=(x-1) 2-1由于 f(x)以 4为周期，则f(7)=f8+(-1)=f(-1)=-f(1)=1本题主要考查已知导数确定函数的方法和函数的奇偶性及周期性二、B选择题/B(总题数：29，分数：29.00)18.设 （分数：1.00）A.B. C.D.解析：解 1 由于*由极限的保号性可知，存在 a点的某去心邻域，在此去心邻域内*，又(x-a)20，则 f(x)-f(a)0，即 f(x)f(a)，由极值定义可知 f(x)在 x=a取极大值解 2 排除法，取 f(x)=-(x-a)2此 f(x)显然满足原题条件且 f(a)=0，则 A和 D不能选，又 f
23、(x)=-(x-a)2显然在 x=a取极大值则 C不能选，故应选 B本题主要考查极值的定义和极限的保号性注意本题不能用洛必达法则做19.设 f(x)可导且 f(x0)= （分数：1.00）A.B. C.D.解析：解 由于 f(x)在 x0点的微分 dy=f(x0)dx=f(x0)x=*，则*，则当 x0 时，dy 与 x 为同阶无穷小本题主要考查 f(x)在 x0点微分的概念及无穷小量阶的比较20.设 y=f(x)是方程 y“-2y+4y=0的一个解，且 f(x0)0，f(x 0)=0，则函数 f(x)在点 x0处_ A.取得极大值 B.取得极小值 C.某邻域内单调增加 D.某邻域内单调减少（
24、分数：1.00）A. B.C.D.解析：解 由原题可知 f“(x)-2f(x)+4f(x)0，令 x=x0，则 f“(x0)-2f(x0)+4f(x0)=0，又 f(x0)=0，f(x 0)0，则 f“(x0)=-4f(x0)0，由此可知 f(x)在 x0取极大值本题主要考查极值的充分条件21.当 x0 时，曲线 （分数：1.00）A. B.C.D.解析：解 由于*，而*，则曲线*在(0，+)有且仅有水平渐近线 本题主要考查渐近线的判定和求法22.已知函数 f(x)具有任意阶导数，且 f(x)=f(x)2，则当 n为大于 2的正整数时，f(x)的 n阶导数 f(n)(x)为_ A.n!f(x)
25、n+1 B.nf(x)n+1 C.f(x)2n D.n!f(x)2n（分数：1.00）A. B.C.D.解析：解 由 f(x)=f(x)2知，f“(x)=2f(x)f(x)=2f(x) 3，f“(x)=23f 2(x)f(x)=123f4(x)=3!f(x)4，f (n)(x)=n!f(x)n+1本题主要考查复合函数求导法23.已知 f(x)在 x=0的某个邻域内连续，且 f(0)=0， （分数：1.00）A.B.C.D. 解析：解 1 由于*，由极限的保号性可知存在 x=0的某个去心邻域，在此去心邻域内*，又 1-cosx0 则 f(x)0，又 f(0)=0，则 f(x)f(0)，由极值定义
26、可知 f(x)在 x=0处取得极小值解 2 排除法，取 f(x)=x2，显然*又 f(0)=0，f(x)连续，即 f(x)符合原题条件显然 A，B，C 均不能选，故应选 D24.曲线 （分数：1.00）A.B.C.D. 解析：解 由*及*可知，曲线*有一条水平渐近线 y=1和一条垂直渐近线 x=0 本题主要考查确定渐近线的方法25.设 f(x)=3x2+x2x，则使 f(n)(0)存在的最高阶数 n为_ A.0 B.1 C.2 D.3（分数：1.00）A.B.C. D.解析：解 由于 3x3任意阶可导，则只需考查 x2x令*=x 2x，则*即*=6x由于x在 x=0处不可导，则 f(n)(0)
27、存在的最高阶数是 2本题主要考查分段函数的导数和 f(x)在 x0处可导的充要条件 f+(x0)=f-(x0)26.设在0，1上 f“(x)0，则 f(0)，f(1)，f(1)-f(0)或 f(0)-f(1)的大小顺序是_ A.f(1)f(0)f(1)-f(0) B.f(1)f(1)-f(0)f(0) C.f(1)-f(0)f(1)f(0) D.f(1)f(0)-f(1)f(0)（分数：1.00）A.B. C.D.解析：解 由 f“(x)0，则 f(x)在0，1上单调增，又由拉格朗日中值定理得 f(1)-f(0)=f(c)(0c1)则 f(1)f(c)f(0)，即 f(1)f(1)-f(0)f
28、(0) 本题主要考查函数单调性的判定及拉格朗日中值定理27.设 f(x)可导，f(x)=f(x)(1+sinx)，则 f(0)=0是 F(x)在 x=0处可导的_ A.充分必要条件 B.充分条件但非必要条件 C.必要条件但非充分条件 D.既非充分条件又非必要条件（分数：1.00）A. B.C.D.解析：解 由于 F(x)=f(x)+f(x)sinx，而 f(x)可导，则 F(x)在 x=0点的可导性与 f(x)sinx相同令*=f(x)sinx，由导数定义知 * * *在 x=0可导的充要条件是 f(0)=-f(0)，即 f(0)=0 本题主要考查导数的定义28.设 f(x)有二阶连续导数，且
29、 f(0)=0， （分数：1.00）A.B. C.D.解析：解 由于*，由极限的保号性知存在 x=0的去心邻域，在此去心邻域内*，即 f“(x)0，则在x=0左半邻域 f(x)单增，又 f(0)=0，则在 x=0左半邻域f(x)0，同理可知在 x=0右半邻域，f(x)0、由极值第一充分条件知 f(x)在 x=0取极小值 本题主要考查极限的保号性和极值的判定准则29.函数 f(x)=(x2-x-2)x 3-x不可导点的个数是_ A.3 B.2 C.1 D.0（分数：1.00）A.B. C.D.解析：解 由导数定义知x在 x=0不可导，而 xx在 x=0可导，f(x)=(x 2-x-2)x 3-x
30、=(x-2)(x+1)xx-1x+1，则 f(x)在 x=0和 x=1不可导，故应选 B本题主要考查导数定义和一个常用的结论：x在 x=0处不可导，但 xx在 x=0处可导30.设 f(x)、g(x)是恒大于零的可导函数，且 f(x)g(x)-f(x)g(x)0，则当 azb 时，有_ A.f(x)g(b)f(b)g(x) B.f(x)g(a)f(a)g(x) C.f(x)g(x)g(b)f(b) D.f(x)g(x)f(a)g(a)（分数：1.00）A. B.C.D.解析：解 由于* 则*在a，b上递减，从而当 axb 时* 即 f(x)g(b)g(x)f(b) 本题主要考查函数单调性31.
31、设函数 f(x)在定义域内可导，y=f(x)的图形如图所示，则导函数 y=f(x)的图形为 A B C D （分数：1.00）A.B.C.D. 解析：解 由 f(x)的图形可看出，当 x0 时，f(x)严格单调增，则当 x0 时，f(x)0，因此 A，C 肯定不正确，只能在 B和 D中选又由 f(x)的图形可看出，当 x0 时，f(x)由增变减再变增，因此在x0 处，f(x)应由正变负再变正，由 f(x)的图形可看出应选 D 本题主要考查函数 f(x)的增减性与导数 f(x)之间的关系32.设 f(0)=0，则 f(x)在点 x=0可导的充要条件为 A 存在 B 存在 C 存在 D （分数：1
32、.00）A.B. C.D.解析：解 1 若*存在，则 * 由于*存在且不为零，则*存在，故 f(x)在 x=0可导，反之也成立，所以应选 B. 解 2 排除法 A 的反例：取*，则*存在，但 f(x)显然在 x-0处不可导，显然 f(x)在x=0处左导数不存在. 事实上，由于 1-cosh0. 则*存在只能说明 f(x)在 x=0处右导数存在 C 的反例：取 f(x)=*，显然 f(x)在 x=0处不可导，但 * 又*存在， 则 *存在 D 的反例：*，显然f(x)在 x=0处不可导，但*存在，所以应选 B 本题主要考查导数定义33.设函数 y=f(x)在(0，+)内有界且可导，则_ A当 时
33、，必有 B当 存在时，必有 C当 时，必有 D当 存在时，必有 （分数：1.00）A.B. C.D.解析：解 1 直接法：由拉格朗日中值定理知 *(x2x) 又 f(x)有界，则 f(2x)-f(x)有界，从而 * 又*存在，则* 解 2 排除法取*，则显然 f(x)在(0，+)内有界且可导，*，但 * *不存在，因为*，而*不存在所以，不能选 A 取 f(x)=sinx，则 f(x)=cosx，而*. *则不能选 C和 D，故应选 B 本题主要考查函数极限及导函数的极限及微分中值定理34.设函数 f(x)在(-，+)内连续，其导函数的图形如图所示，则 f(x)有（分数：1.00）A.B.C.
34、 D.解析：解 如图，从导函数图形知，f(x)只在 x=x1，x=x 1，x=x 3处导数为零，而在 x=0处导数不存在则f(x)只可能在这四个点取得极值而 f(x)在 x=x1和 x=0两点的两侧导数都是由正变负，则 f(x)在这两点处取极大值；而 f(x)在 x=x2和 x=x3两点的两侧导数都是由负变正，则 f(x)在这两点处取极小值故应选C*本题主要考查极值的第一充分条件，求解此类问题主要是根据 f(x)的图形找出使 f(x)变号的点35.设函数 f(x)连续，且 f(0)0，则存在 0，使得_ A.f(x)在(0，)内单调增加 B.f(x)在(-，0)内单调减少 C.对任意的 x(0
35、，)有 f(x)f(0) D.对任意的 x(-，0)有 f(z)f(0)（分数：1.00）A.B.C. D.解析：解 由于*，由极限的保号性知，存在 0，当 x(-，0)或 x(0，)时，*，而当(0，)时 x0，则此时 f(x)-f(0)0，即 f(x)f(0)，故应选 C本题主要考查当函数在一点处导数大于零时，函数在该点邻近的性态。关于此问题有以下常用的结论：“若 f(x0)0，则存在 0，使得当 x(x 0-，x 0)时，有 f(x)f(x 0)；当 x(x 0，x 0+)时，f(x)f(x 0)”(若 f(x0)0，有类似的结论)本结论可利用本题题解中的方法证明，即利用导数定义和函数极
36、限的保号性证明本题很容易选 A，这个选择是错误的，事实上设有以下这个结论：“若，f(x 0)0，则存在 0，在(x 0-，x 0+)内，f(x)单调增”，反例如下*可以证明 f(0)=10，但 f(x)在 x=0的任何邻域内都不单调增事实上可以证明，在 x=0的任何邻域内既存在使 f(x)0 的点，也存在使 f(x)0 的点36.设函数 （分数：1.00）A.B.C. D.解析：此类问题应先用求极限的方法求出 f(x)的表达式，然后再讨论 f(x)的可导性 解 当x1 时，* 当x1 时，* 则* 而* *，则 f(x)在 x=-1不可导 同理* 则 f(x)在 x=1处不可导，故应选 C 本
37、题主要考查求极限和分段函数可导性的讨论.37.设函数 y=f(x)具有二阶导数，且 f(x)0，f“(x)0，x 为自变量 x在 x0处的增量，y 与 dy分别为 f(x)在点 x0处对应的增量与微分，若 x0，则_ A.0dyy B.0ydy C.ydy0 D.dyy0（分数：1.00）A. B.C.D.解析：解 1 直接法：dy=f(x 0)x，y=f(x 0+x)-f(x 0)=f()x，x 0x 0+x由于 f“(x)0，则 f(x)单调增，从而有 f(x0)f()，故 dyy，由于 f(x)0，x0，则 0dyy，故应选 A解 2 排除法：取 f(x)=x2，在(0，+)上，f(x)=2x0，f“(x)=20，取 x0=1，则dy=f(x0)x=2xy=f(1+x)-f(1)=(1+x) 2-1=2x+(x) 2由于 x0，显然有 0dyy，由此可知，选项 B，C，D 均不正确，故应选 A本题主要考查微分和拉格朗日中值定理。38.设函数 f(x)在 x=0处连续，下列命题错误的是_A若 存在，则 f(0)=0 B 存在，则 f(0
