1、考研数学一（一元函数微分学）-试卷 2 及答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：13，分数：26.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 f(x)在0，1连续，在(0，1)可导且 f“(x)0(x(0，1)，则( )（分数：2.00）A.当 0x1 时 0 x f(t)dt 0 x xf(t)dtB.当 0x时 0 x f(t)dt= 0 x xf(t)dtC.当 0x1 时 0 x f(t)dt 0 x xf(t)dtD.以上结论均不正确3.设 y=f(x)在(a，b)可微，则下列结论中正确的个数是( )
2、 x 0 (a，b)，若 f“(x 0 )0，则x0时， （分数：2.00）A.1B.2C.3D.44.设 f(x)为可导函数，且满足条件 （分数：2.00）A.2B.一 1C.D.一 25.设 （分数：2.00）A.f(x)在 x=x 0 处必可导且 f“(x 0 )=aB.f(x)在 x=x 0 处连续，但未必可导C.f(x)在 x=x 0 处有极限但未必连续D.以上结论都不对6.设 y=f(x)是方程 y“一 2y“+4y=0 的一个解，且 f(x 0 )0，f“(x 0 )=0，则函数 f(x)在点 x 0 处( )（分数：2.00）A.取得极大值B.取得极小值C.某邻域内单调增加D.
3、某邻域内单调减少7.f(x)= （分数：2.00）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充分必要条件D.非充分非必要条件8.设 f(x)可导，且 f“(x 0 )= （分数：2.00）A.与x 等价的无穷小B.与x 同阶的无穷小C.比x 低阶的无穷小D.比x 高阶的无穷小9.设 f(x)在点 x=a 处可导，则函数f(x)在点 x=a 处不可导的充分必要条件是( )（分数：2.00）A.f(a)=0，且 f“(a)=0B.f(a)=0，且 f“(a)0C.f(a)0，且 f“(a)0D.f(a)0，且 f“(a)010.设函数 f(x)与 g(x)在区间(一，+)上均可导，且 f(x)g(x
4、)，则必有( )（分数：2.00）A.f(一 x)g(一 x)B.f“(x)g“(x)C.D. 0 x f(t)dt 0 x g(t)dt11.设函数 f(x)在闭区间a，b上有定义，在开区间(a，b)内可导，则( )（分数：2.00）A.当 f(a)f(b)0，存在 (a，b)，使 f()=0B.对任何 (a，b)，有C.当 f(a)=f(b)时，存在 (a，b)，使 f“()=0D.存在 (a，b)，使 f(b)一 f(a)=f“()(b 一 a)12.设 f(x)=(x 一 1)(x 一 2) 2 (x 一 3) 3 ，则导数 f“(x)不存在的点的个数是( )（分数：2.00）A.0B
5、.1C.2D.313.已知函数 y=f(x)对一切的 x 满足 xf“(x)+3xf“(x) 2 =1 一 e x ，若 f“(x 0 )=0(x 0 0)，则( )（分数：2.00）A.f(x)是 f(x)的极大值B.f(x 0 )是 f(x)的极小值C.(x 0 ，f(x 0 )是曲线 y=f(x)的拐点D.f(x 0 )不是 f(x)的极值，(x 0 ，f(x 0 )也不是曲线 y=f(x)的拐点二、填空题(总题数：10，分数：20.00)14.= 1。 （分数：2.00）填空项 1:_15.= 1。 （分数：2.00）填空项 1:_16.= 1。 （分数：2.00）填空项 1:_17.
6、设函数 y=f(x)由方程 y 一 x=e x(1y) 确定，则 （分数：2.00）填空项 1:_18.已知 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_19.设函数 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_20.已知 f“(e x )=xe x ，且 f(1)=0，则 f(x)= 1（分数：2.00）填空项 1:_21.设函数 f(x)在 x=0 可导，且 f(0)=1，f“(0)=3，则数列极限 （分数：2.00）填空项 1:_22.若函数 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_23.设 (x)= （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：8，分数：16.
7、00)24.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_25.假设函数 f(x)和 g(x)在a，b上存在二阶导数，并且 g“(x)0，f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0，试证： (1)在开区间(a，b)内 g(x)0； (2)在开区间(a，b)内至少存在一点 ，使 （分数：2.00）_26.设 f(x)在0，1上具有二阶导数，且满足条件f(x)a，f“(x)b苴中 a，b 都是非负常数，c是(0，1)内任意一点证明f“(c)2a+ （分数：2.00）_27.设函数 f(x)在 x=0 处二阶可导，且满足 （分数：2.00）_28.证明当 x0 时，(x 2 一
8、1)lnx(x 一 1) 2 （分数：2.00）_29.设 f(x)在(一 1，1)内具有二阶连续导数，且 f“(x)0证明： (1)对于任意的 x(一 1，0)(0，1)，存在唯一的 (x)(0，1)，使 f(x)=f(0)+xf“(x)x)成立 (2) （分数：2.00）_30.设函数 f(x)在 x=0 的某邻域内具有一阶连续导数，且 f(0)f“(0)0，当 h0 时，若 af(h)+bf(2h)一f(0)=o(h)，试求 a，b 的值（分数：2.00）_31.设 eabe 2 ，证明 ln 2 bln 2 a （分数：2.00）_考研数学一（一元函数微分学）-试卷 2 答案解析(总分
9、：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：13，分数：26.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 f(x)在0，1连续，在(0，1)可导且 f“(x)0(x(0，1)，则( )（分数：2.00）A.当 0x1 时 0 x f(t)dt 0 x xf(t)dt B.当 0x时 0 x f(t)dt= 0 x xf(t)dtC.当 0x1 时 0 x f(t)dt 0 x xf(t)dtD.以上结论均不正确解析：解析：记 F(x)= 0 x f(t)dt 一 0 1 xf(t)dt，F(x)在0，1连续，则 F“(x)=
10、f(x)一 0 1 f()dt，且 F“(x)=f“(x)0(x(0，1)，因此 F“(x)在0，1上单调下降 又 F(0)=F(1)=0，由罗尔定理，则存在 (0，1)， 3.设 y=f(x)在(a，b)可微，则下列结论中正确的个数是( ) x 0 (a，b)，若 f“(x 0 )0，则x0时， （分数：2.00）A.1B.2 C.3D.4解析：解析：逐一分析 正确因为 所以x0 时，4.设 f(x)为可导函数，且满足条件 （分数：2.00）A.2B.一 1C.D.一 2 解析：解析：将题中极限条件两端同乘 2，得5.设 （分数：2.00）A.f(x)在 x=x 0 处必可导且 f“(x 0
11、 )=aB.f(x)在 x=x 0 处连续，但未必可导C.f(x)在 x=x 0 处有极限但未必连续D.以上结论都不对 解析：解析：本题需将 f(x)在 x=x 0 处的左右导 f“ (x 0 )，f“ + (x 0 )与在 x=x 0 处的左右极限 区分开 =a，但不能保证 f(x)在 x 0 处可导，以及在 x=x 0 处连续和极限存在 6.设 y=f(x)是方程 y“一 2y“+4y=0 的一个解，且 f(x 0 )0，f“(x 0 )=0，则函数 f(x)在点 x 0 处( )（分数：2.00）A.取得极大值 B.取得极小值C.某邻域内单调增加D.某邻域内单调减少解析：解析：由 f“(
12、x 0 )=0，知 x=x 0 是函数 y=f(x)的驻点将 x=x 0 代入方程，得 y“(x 0 )一 2y“(x 0 )+4y(x 0 )=0考虑到 y“(x 0 )=f“(x 0 )=0，y“(x 0 )=f“(x 0 )，y(x 0 )=f(x 0 )0，因此有 f“(x 0 )=一 4f(x 0 )0，由极值的第二判定理知，f(x)在点 x 0 处取得极大值，故选 A7.f(x)= （分数：2.00）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充分必要条件 D.非充分非必要条件解析：解析：充分性：设 g(x 0 )=h(x 0 )，g“ (x 0 )=h“ + (x 0 )，则 f(x
13、)可改写为 所以 f“ (x 0 )=g“(x 0 )，f“ + (x 0 )=h“ + (x 0 )，即 f“ (x 0 )=f“ + (x 0 ) 必要性：由可导的充要条件得 f(x)在 x 0 处可导设 f(x)在 x 0 处可导，则 f(x)在 x 0 处连续，所 以 =f(x 0 )又 g“ (x 0 )与 h“ + (x 0 )存在，则 g(x)，h(x)在 x 0 分别左右连续，所 以 8.设 f(x)可导，且 f“(x 0 )= （分数：2.00）A.与x 等价的无穷小B.与x 同阶的无穷小 C.比x 低阶的无穷小D.比x 高阶的无穷小解析：解析：由 f(x)在 x 0 点处可
14、导及微分的定义可知 9.设 f(x)在点 x=a 处可导，则函数f(x)在点 x=a 处不可导的充分必要条件是( )（分数：2.00）A.f(a)=0，且 f“(a)=0B.f(a)=0，且 f“(a)0 C.f(a)0，且 f“(a)0D.f(a)0，且 f“(a)0解析：解析：若 f(a)0，由复合函数求导法则有 因此排除 C 和 D(当 f(x)在 x=a 可导，且 f(a)0 时，f(x)在 x=a 点可导) 当 f(a)=0 时，10.设函数 f(x)与 g(x)在区间(一，+)上均可导，且 f(x)g(x)，则必有( )（分数：2.00）A.f(一 x)g(一 x)B.f“(x)g
15、“(x)C. D. 0 x f(t)dt 0 x g(t)dt解析：解析：取 f(x)=1，g(x)=2，显然满足题设条件，而由此例可立即排除选项 A、B，且对于选项 D，因 0 x f(t)dt= 0 x 1).dt=x， 0 x g(t)dt= 0 x 2.dt=2x， 当 x0 时，选项 D 显然不正确，故选 C11.设函数 f(x)在闭区间a，b上有定义，在开区间(a，b)内可导，则( )（分数：2.00）A.当 f(a)f(b)0，存在 (a，b)，使 f()=0B.对任何 (a，b)，有 C.当 f(a)=f(b)时，存在 (a，b)，使 f“()=0D.存在 (a，b)，使 f(
16、b)一 f(a)=f“()(b 一 a)解析：解析：因只知 f(x)在闭区间a，b上有定义，而 A、C、D 三项均要求 f(x)在a，b上连续故选项 A、C、D 均不一定正确，故选 B12.设 f(x)=(x 一 1)(x 一 2) 2 (x 一 3) 3 ，则导数 f“(x)不存在的点的个数是( )（分数：2.00）A.0B.1 C.2D.3解析：解析：设 (x)=(x 一 1)(x 一 2) 2 (x 一 3) 3 ，则 f(x)=(x)使 (x)=0 的点x=1，x=2，x=3 可能是 f(x)的不可导点，还需考虑 “(x)在这些点的值 “(x)=(x2) 2 (x3) 3 +2(x 一
17、 1)(x 一 2)(x 一 3) 3 +3(x1)(x 一 2) 2 (x 一 3) 3 ，显然，“(1)0，“(2)=0，“(3)=0，所以只有一个不可导点 x=1故选 B13.已知函数 y=f(x)对一切的 x 满足 xf“(x)+3xf“(x) 2 =1 一 e x ，若 f“(x 0 )=0(x 0 0)，则( )（分数：2.00）A.f(x)是 f(x)的极大值B.f(x 0 )是 f(x)的极小值 C.(x 0 ，f(x 0 )是曲线 y=f(x)的拐点D.f(x 0 )不是 f(x)的极值，(x 0 ，f(x 0 )也不是曲线 y=f(x)的拐点解析：解析：由 f“(x)=0
18、知，x=x 0 是 y=f(x)的驻点将 x=x 0 代入方程，得 x 0 f“(x 0 )+3x 0 f“(x 0 ) 2 = 二、填空题(总题数：10，分数：20.00)14.= 1。 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：运用洛必达法则，分子、分母同除以(e x ) 3 得， 15.= 1。 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：16.= 1。 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：17.设函数 y=f(x)由方程 y 一 x=e x(1y) 确定，则 （分数：2.00）填空项 1:_
19、（正确答案：正确答案：1）解析：解析：当 x=0 时，y=1对方程两边求导得 y“一 1=e x(1y) (1 一 yxy“)， 将 x=0，y=1 代入上式，可得 y“(0)=1， 所以 18.已知 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：当 x0 时，f“(x)=cosx，当 x0 时，f“(x)=1；19.设函数 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：当 x0 时，20.已知 f“(e x )=xe x ，且 f(1)=0，则 f(x)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：
20、）解析：解析：21.设函数 f(x)在 x=0 可导，且 f(0)=1，f“(0)=3，则数列极限 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：e 6）解析：解析： 22.若函数 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：a=2）填空项 1:_ （正确答案：b=一 1）解析：解析：因 f(x)在 x=1 处连续，则 =f(1)，即 1=a+b 要使函数 f(x)在 x=1 处可导，必须有f“ (1)=f“ + (1) 由已知可得 23.设 (x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：先考查 (x)的可导性并求导 (x)
21、在 x=0 处的左导数为三、解答题(总题数：8，分数：16.00)24.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：25.假设函数 f(x)和 g(x)在a，b上存在二阶导数，并且 g“(x)0，f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0，试证： (1)在开区间(a，b)内 g(x)0； (2)在开区间(a，b)内至少存在一点 ，使 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)利用反证法假设存在 c(a，b)，使得 g(c)=0，则对 g(x)在a，c和c，b上分别应用罗尔中值定理，可知存在 1 (a，c)和 2 (c，b)，使得 g“( 1 )=g( 2 )=
22、0 成立 接着再对 g“(x)在区间，上应用罗尔中值定理，可知存在 (，)，使得 g“()=0 成立，这与题设条件 g“(x)0 矛盾，因此在开区间(a，b)内，g(x)0 (2)构造函数 F(x)=f(x)g“(x)一 g(x)f“(x)，由题设条件得函数 F(x)在区间a，b上是连续的，在区间(a，b)上是可导的，且满足 F(a)=F(b)=0根据罗尔中值定理可知，存在点 (a，b)，使得 F“()=0 即 f()g“()f“()g()=0， 因此可得 )解析：26.设 f(x)在0，1上具有二阶导数，且满足条件f(x)a，f“(x)b苴中 a，b 都是非负常数，c是(0，1)内任意一点证
23、明f“(c)2a+ （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对 f(x)在 x=c 处应用泰勒公式展开，可得 f(x)=f(c)+f“(c)(xc)+ (xc) 2 (*) 其中 =c+(x 一 c)，01 在(*)式中令 x=0，则有 )解析：27.设函数 f(x)在 x=0 处二阶可导，且满足 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设可知 )解析：28.证明当 x0 时，(x 2 一 1)lnx(x 一 1) 2 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f(x)=(x 2 一 1)lnx 一(x 一 1) 2 ，易知 f(1)=0 又 )解析：29.设 f(x)在(一 1，
24、1)内具有二阶连续导数，且 f“(x)0证明： (1)对于任意的 x(一 1，0)(0，1)，存在唯一的 (x)(0，1)，使 f(x)=f(0)+xf“(x)x)成立 (2) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)由拉格朗日中值定理，对任意的 x(1，一 1)，x0，存在 (0，1)使 f(x)=f(0)+xf“(x)( 与 x 有关) 又由 f“(x)连续且 f“(x)0 知，f“(x)在(1，一 1)不变号，则 f“(x)在(1，一 1)严格单调， 唯一 (2)对 f“(x)使用 f“(0)的定义由(1)中的式子，则有 )解析：30.设函数 f(x)在 x=0 的某邻域内具有一
25、阶连续导数，且 f(0)f“(0)0，当 h0 时，若 af(h)+bf(2h)一f(0)=o(h)，试求 a，b 的值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设条件知 af(h)+bf(2h)f(0)=(a+b 一 1)f(0) 由于 f(0)0，故必有 a+b 一 1=0 又由洛必达法则 )解析：31.设 eabe 2 ，证明 ln 2 bln 2 a （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对函数 y=ln 2 x 在a，b上应用拉格朗日中值定理，得 当 te 时，“(t)0，所以 (t)单调减少，从而有 ()(e 2 )，即 所以当 xe 时，“(x)0，因此“(x)单调减少，从而当 exe 2 时， 即当 exe 2 时，(x)单调增加 因此当 exe 2 时，(b)9(0)(eabe 2 )，即 )解析：
