1、考研数学一（一元函数的导数与微分概念及其计算）-试卷 1 及答案解析(总分：76.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.若极限 （分数：2.00）A.不一定可导B.不一定可导，但 f + (a)=AC.不一定可导，但 f (a)=AD.可导，且 f(a)=A3.设有多项式 P(x)=x 4 +a 3 x 3 +a 2 x 2 +a 1 x+a 0 ，又设 x=x 0 是它的最大实根，则 P(x 0 )满足（分数：2.00）A.P(x 0 )0B.P(x 0 )0C.P(x 0
2、)0D.P(x 0 )04.设 f(x)=3x 2 +x 2 x，则使 f (n) (0)存在的最高阶数 n=（分数：2.00）A.0B.1C.2D.35.设 f(x)= （分数：2.00）A.a=0，b=0B.a=1，b=1C.a 为D.a 为6.设 f(a)0，则 （分数：2.00）A.f(x)f(a)(x(a，a+)B.f(x)f(a)(x(a，a+)C.f(x)f(a)(x(a，a+)，f(x)f(a)(x(a，a)D.f(x)f(a)(x(a，a+)，f(x)f(a)(x(a，a)7.设 f(x)= （分数：2.00）A.f(x)在 x=0 处不连续B.f(0)存在C.f(0)不 ，
3、曲线 y=f(x)在点(0，0)处不D.f(0)不二、填空题(总题数：16，分数：32.00)8.设有长为 12cm 的非均匀杆 AB，AM 部分的质量与动点肘到端点 A 的距离 x 的平方成正比，杆的全部质量为 360(g)，则杆的质量表达式 m(x)= 1，杆在任一点 M 处的线密度 p(x)= 2（分数：2.00）填空项 1:_9.设 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_10.若函数 f(x)在 x=1 处的导数存在，则极限 （分数：2.00）填空项 1:_11.设 f(0)=1，f(0)=0，则 （分数：2.00）填空项 1:_12.设 k 为常数，则 （分数：2.00）填空项
4、 1:_13.设 y=f 且 f(x)=arctanx 2 ，则 （分数：2.00）填空项 1:_14.设 y=sinx 2 ，则 （分数：2.00）填空项 1:_15.设 f(x)有任意阶导数且 f(x)=f 3 (x)，则 f (n) (x)= 1（分数：2.00）填空项 1:_16.设 y=ln(1+x 2 )，则 y (5) (0)= 1（分数：2.00）填空项 1:_17.设 则 （分数：2.00）填空项 1:_18.曲线(x1) 3 =y 2 上点(5，8)处的切线方程是 1（分数：2.00）填空项 1:_19.曲线 y=lnx 上与直线 x+y=1 垂直的切线方程为 1（分数：2
5、.00）填空项 1:_20.曲线 （分数：2.00）填空项 1:_21.r=a(1+cos)在点(r，)=(2a，0)，(a， （分数：2.00）填空项 1:_22. =1 在点 M 0 (2a， （分数：2.00）填空项 1:_23.设函数 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：15，分数：30.00)24.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_25.已知 y= du， 其中 t=t(x)由 确定，求 （分数：2.00）_26.设 y=y(x)由方程组 (*)确定，求 （分数：2.00）_27.设 y=xcosx，求 y (n) （分数：
6、2.00）_28.设 y=ln(3+7x6x 2 )，求 y (n) （分数：2.00）_29.讨论函数 f(x)= （分数：2.00）_30.设 f(x)在(，+)有一阶连续导数，且 f(0)=0，f(0)存在若 （分数：2.00）_31.给定曲线 y=x 2 +5x+4， ()确定 b 的值，使直线 y= （分数：2.00）_32.计算下列各题： ()设 y=e sin2x + ，求 ()设 y= ，求 ()设 y= （分数：2.00）_33.计算下列各题：()设 ，其中 f(t)三阶可导，且 f(t)0，求 ；()设 求（分数：2.00）_34.计算下列各题： ()由方程 x y =y
7、x 确定 x=x(y)，求 ； ()方程 y x e y =1 确定 y=y(x)，求 y(x)； ()设 2xtan(xy)= sec 2 tdt，求 （分数：2.00）_35.设函数 f(x)有反函数 g(x)，且 f(a)=3，f(a)=1，f(a)=2，求 g(3)（分数：2.00）_36.设 f(x)在(，+)内二次可导，令 F(x)= （分数：2.00）_37.把 y 看作自变量，x 为因变量，变换方程 （分数：2.00）_38.设 f(x)连续且 =2，(x)= （分数：2.00）_考研数学一（一元函数的导数与微分概念及其计算）-试卷 1 答案解析(总分：76.00，做题时间：9
8、0 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.若极限 （分数：2.00）A.不一定可导 B.不一定可导，但 f + (a)=AC.不一定可导，但 f (a)=AD.可导，且 f(a)=A解析：解析：只有极限 存在并不能保证极限3.设有多项式 P(x)=x 4 +a 3 x 3 +a 2 x 2 +a 1 x+a 0 ，又设 x=x 0 是它的最大实根，则 P(x 0 )满足（分数：2.00）A.P(x 0 )0B.P(x 0 )0C.P(x 0 )0D.P(x 0 )0 解析：解析：注意 P(x)
9、在(一，+)连续，又 P(x)=+ 选(D)4.设 f(x)=3x 2 +x 2 x，则使 f (n) (0)存在的最高阶数 n=（分数：2.00）A.0B.1C.2 D.3解析：解析：实质上就是讨论 g(x)=x 2 x= 时，g (n) (0) 的最高阶数 n 5.设 f(x)= （分数：2.00）A.a=0，b=0 B.a=1，b=1C.a 为D.a 为解析：解析：首先，f(x)在 x=0 连续 f(x)=f(0)，即 b=0 然后，f(x)在 x=0 可导 f + (0)=f (0) 当 b=0 时，f(x)= 按定义求出 f + (0)= 6.设 f(a)0，则 （分数：2.00）A
10、.f(x)f(a)(x(a，a+)B.f(x)f(a)(x(a，a+)C.f(x)f(a)(x(a，a+)，f(x)f(a)(x(a，a) D.f(x)f(a)(x(a，a+)，f(x)f(a)(x(a，a)解析：解析：直接由定义出发 f(a)= 0 由极限的保序性 0，当 x(a，a+)，xa 时 07.设 f(x)= （分数：2.00）A.f(x)在 x=0 处不连续B.f(0)存在C.f(0)不 ，曲线 y=f(x)在点(0，0)处不D.f(0)不 解析：解析：显然 f(x)=0=f(0)又 y=f(x)的图形见图 21 因此，f(0)不 ，y=f(x)在(0，0)二、填空题(总题数：1
11、6，分数：32.00)8.设有长为 12cm 的非均匀杆 AB，AM 部分的质量与动点肘到端点 A 的距离 x 的平方成正比，杆的全部质量为 360(g)，则杆的质量表达式 m(x)= 1，杆在任一点 M 处的线密度 p(x)= 2（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：按题意，m(x)=kx 2 ，令 x=12，得 360=k.12 2 ，则 k= ，从而 m(x)= x 2 在任一点 M 处的线密度为 p(x)= 9.设 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：f(x)是 2014 个因式的乘积，如果直接使用导数定
12、义求导或者先求导再代值，都比较麻烦其实，当把 x=1 代人每个因式后，只有第一项 tan 1=0，而其余所有项都不等于 0记 g(x)=(1n)=(2013)!，于是 从而10.若函数 f(x)在 x=1 处的导数存在，则极限 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：9f(1)）解析：解析：按导数定义，将原式改写成11.设 f(0)=1，f(0)=0，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：原式=12.设 k 为常数，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：k）解析：解析：原式=13.设 y=f 且 f(x)=arctan
13、x 2 ，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：y=f(u)，u= ，u x=0 =1 14.设 y=sinx 2 ，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：设 u=x 3 ，则 x= ，于是由复合函数求导法则即得 15.设 f(x)有任意阶导数且 f(x)=f 3 (x)，则 f (n) (x)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(2n 一 1)!f 2n+1 (x)）解析：解析：f (2) (x)=3f 2 (x)f(x)=3f 5 (x)，f (3) (x)=3.5f 4 (x)f(x)=
14、3.5f 7 (x)， 可归纳证明 f (n) (x)=(2n 一 1)!f 2n+1 (x)16.设 y=ln(1+x 2 )，则 y (5) (0)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：y 为偶函数 y (5) (x)为奇函数 17.设 则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：18.曲线(x1) 3 =y 2 上点(5，8)处的切线方程是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=3x 一 7）解析：解析：由隐函数求导法，将方程(x 一 1) 3 =y 2 两边对 x 求导，得 3(x 一 1)
15、 2 =2yy 令x=5，y=8 即得 y(5)=3故曲线(x 一 1) 3 =y 2 在点(5，8)处的切线方程是 y=8+3(x 一 5) 19.曲线 y=lnx 上与直线 x+y=1 垂直的切线方程为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=x 一 1）解析：解析：与直线 x+y=1 垂直的直线族为 y=x+c，其中 c 是任意常数，又因 y=lnx 上点(x 0 ，y 0 )=(x 0 ，lnx 0 )(x 0 0)处的切线方程是 y=lnx 0 + +lnx 0 1，从而，切线与 x+y=1 垂直的充分必要条件是 20.曲线 （分数：2.00）填空项 1:_ （
16、正确答案：正确答案：y=3x 一 7）解析：解析：t=2 时(x，y)=(5，8)，21.r=a(1+cos)在点(r，)=(2a，0)，(a， （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：x=2a ，ya=x，y=0）解析：解析：参数方程 则 ()在点(r，)=(2a，0)处，(x，y)=(2a，0)，切线x=2a( =) ()在点(r，)=(a， =1，切线 ya=x ()在点(r，)=(0，)处，(x，y)=(0，0)， =0，切线 y=022. =1 在点 M 0 (2a， （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：将方程对 x 求导 在 M
17、0 处 y= 23.设函数 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(3，+)）解析：解析：由导数定义可求得 上述根限只在 1 时存在，且此时 f(0)=0，于是 f(x)的导函数为 欲使 f(x)在 x=0 处连续，必须有 而这一极限为零应满足 3 因此，参数 的取值范围为(3，+)(13 时三、解答题(总题数：15，分数：30.00)24.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：25.已知 y= du， 其中 t=t(x)由 确定，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由式得 由得 因此 )解析：解析：由式给出 y=y(t
18、)，由参数式给出 t=t(x)于是 y(t)与 t=t(x)复合的结果 y 是 x 的函数，由复合函数求导法可得 是变限积分求导，求26.设 y=y(x)由方程组 (*)确定，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由方程组的第一个方程式对 t 求导得 x t =6t+2=2(3t+1) 将第二个方程对 t求导并注意 y=y(t)得 y t e y sint+e y costy t =0， 整理并由方程式化简 (*) 因此，有 于是，有 注意：由(*)式得 y t=0 =1，由(*)式得 =e在上式中令 t=0 得 )解析：解析：这里 y 与 x 的函数关系由参数方程 x=x(t)，y=
19、y(t)给出，且 27.设 y=xcosx，求 y (n) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：逐一求导，得 y=cosx+x(cosx)， y=2(cosx)+x(cosx)， =y (3) =3(cosx)+x(cosx) (3) ， 观察其规律得 y (n) =n(cosx) (n1) +x(cosx) (n) (*) 用归纳法证明：当 n=1 时(*)显然成立，设 n=k 时(*)式成立，得 y (k+1) =k(cosx) (k) +(cosx) (k) +x(cosx) (k+1) = (k+1)(cosx) (k) +x(cosx) (k+1) ， 即 n=k+1 时成立，
20、因此(*)式对任意自然数 n 成立 再用(cosx) (n) 的公式得 y (n) = ncos(x+ )解析：解析：逐一求导，求出 y，y，总结出规律，写出 y (n) 表达式，然后用归纳法证明28.设 y=ln(3+7x6x 2 )，求 y (n) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先分解 y=ln(32x)(1+3x)=ln(32x)+ln(1+3x) y (n) =ln(32x) (n) +ln(1+3x) (n) 然后利用ln(ax+b) (n) 的公式得 )解析：解析：利用对数函数性质将函数 Y 分解为形如 ln(ax+b)的对数函数之和，再用ln(ax+b) (n) 的公
21、式即可得结果29.讨论函数 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：按定义 )解析：解析：我们可先讨论 f(x)在 x=0 处的可导性因为当 f(x)在 x=0 可导或 f + (0)，f (0)均存在但不等时，均可得 f(x)在 x=0 连续由 f(x)分段定义的具体形式，我们分别按定义求出 f + (0)，f (0)来讨论 f(0)是否存在30.设 f(x)在(，+)有一阶连续导数，且 f(0)=0，f(0)存在若 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：首先求 F(x)当 x0 时，由求导法则易求 F(x)，而 F(0)需按定义计算于是 然后讨论 F(x)的连续性，当 x
22、0 时由连续性的运算法则得到 F(x)连续，当 x=0 时可按定义证明 F(x)=F(0)，这是 型极限问题，可用洛必达法则 )解析：31.给定曲线 y=x 2 +5x+4， ()确定 b 的值，使直线 y= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()曲线过任意点(x 0 ，y 0 )(y 0 = +5x 0 +4)不垂直于 x 轴的法线方程是 y= (xx 0 )+y 0 要使 y= x+b 为此曲线的法线，则 =b解得 x 0 =1，b= ()曲线上任意点(x 0 ，y 0 )(y 0 = +5x 0 +4)处的切线方程是 y=y 0 +(2x 0 +5)(xx 0 )，(*) 点(0
23、，3)不在给定的曲线上，在(*)式中令 x=0，y=3 得 )解析：解析：关键是写出该曲线上任意点(x 0 ，y 0 )处的切线方程 y=y 0 +(2x 0 +5)(xx 0 )，或不垂直于 x 轴的法线方程 y=y 0 (xx 0 )，其中 y 0 = 32.计算下列各题： ()设 y=e sin2x + ，求 ()设 y= ，求 ()设 y= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：() () lny = ln(x 2 +2)，求导得 () )解析：33.计算下列各题：()设 ，其中 f(t)三阶可导，且 f(t)0，求 ；()设 求（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：() ()
24、 故 )解析：34.计算下列各题： ()由方程 x y =y x 确定 x=x(y)，求 ； ()方程 y x e y =1 确定 y=y(x)，求 y(x)； ()设 2xtan(xy)= sec 2 tdt，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()两边取对数得 ylnx=xlny，两边对 y 求导，并注意 x=x(y)，得 上式两边乘 xy，并移项得(y 2 一 xylny) =x 2 一 xylnx解出 ()e y =y x ，两边取对数得y=xlny对 x 求导(注意 y=y(x) 求 ： 将 两边对 x 求导得 ()注意y=y(x)，将方程两边对 x 求导，由复合函数求导法
25、及变限积分求导法得 2 (1 一 y)=sec 2 (xy)(1y) sec 2 (xy)(1y)=1，即 1y=cos 2 (xy) 再对 x 求导 y=2cos(xy)sin(xy)(1y) 代入式 )解析：35.设函数 f(x)有反函数 g(x)，且 f(a)=3，f(a)=1，f(a)=2，求 g(3)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：记 y=f(x)应注意到，g(x)为 f(x)的反函数，已经改变了变量记号，为了利用反函数导数公式，必须将 g(x)改写成 g(y) 由反函数求导公式有 f(x)g(y)=1，将该等式两边关于 x求导得 f(x)g(y)+f(x)g(y)y x
26、=0， 或 f(x)g(y)+f(x) 2 g(y)=0 注意到 g(3)= )解析：36.设 f(x)在(，+)内二次可导，令 F(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对任何常数 A，B，C，由 F(x)的定义及题设可知 F(x)分别在(一，x 0 ，(x 0 ，+)连续，分别在(一，x 0 )，(x 0 ，+)二次可导从而，为使 F(x)在(一，+)二次可导，首先要使 F(x)在 x=x 0 右连续，由于 F(x 0 一 0)=F(x 0 )=f(x 0 )，F(x 0 +0)=C，故 F(x)在(一，+)连续 C=f(x 0 ) 在 C=f(x 0 )的情况下，F(x)可改
27、写成 从而 故 F(x)在(一，+)可导 B=f(x 0 ) 在 C=f(x 0 )，B=f(x 0 )的情况下，F(x)可改写成 故 F(x)在(一，+)内二次可导 f(x 0 ) 综合得，当 A= )解析：37.把 y 看作自变量，x 为因变量，变换方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：把方程中的 来表示 由反函数求导法得 再由复合函数求导法及反函数求导法： 将它们代入原方程 )解析：38.设 f(x)连续且 =2，(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(x)的表达式中，积分号内含参变量 x，通过变量替换转化成变限积分 x0时，(x)= f(0)dt=f(0) 由 f(x)在 x=0 连续及 =20=0 因此 求 (x)即求这个分段函数的导数，x0 时与变限积分求导有关，x=0 时可按定义求导 因此， 最后考察 (x)的连续性显然，x0 时 (x)连续，又 )解析：
