1、考研数学一（一元函数积分学）-试卷 3 及答案解析(总分：66.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设函数 f(x)在a，b上连续，且 f(x)0则方程 （分数：2.00）A.0 个B.1 个C.2 个D.无穷多个3.设 f(x)连续，f(0)=1，f“(0)=2下列曲线与曲线 y=f(x)必有公共切线的是( )（分数：2.00）A.B.C.D.4.设 (x)在a，b上连续，且 (x)0，则函数 （分数：2.00）A.在(a，b)内为凸B.在(a，b)内为凹C.在(a，b)内
2、有拐点D.在(a，b)内有间断点5.则 ( ) （分数：2.00）A.F(x)为 f(x)的一个原函数B.F(x)在(一，+)上可微，但不是 f(x)的原函数C.F(x)在(一，+)上不连续D.F(x)在(一，+)上连续，但不是 f(x)的原函数6.则在(一，+)内，下列正确的是 ( ) （分数：2.00）A.f(x)不连续且不可微，F(x)可微，且为 f(x)的原函数B.f(x)不连续，不存在原函数，因而 F(x)不是 f(x)的原函数C.f(x)和 F(x)均为可微函数，且 F(x)为 f(x)的一个原函数D.f(x)连续，且 F“(x)=f(x)二、填空题(总题数：5，分数：10.00)
3、7.已知函数 F(x)的导数为 （分数：2.00）填空项 1:_8. （分数：2.00）填空项 1:_9.积分 （分数：2.00）填空项 1:_10.设 zxf(xy)g(x y ，x 2 y 2 )，其中 f，g 分别二阶连续可导和二阶连续可偏导，则 （分数：2.00）填空项 1:_11.设 f(u，v)一阶连续可偏导，f(tx，ty)t 3 f(x，y)，且 f x “(1，2)1，f y “(1，2)4，则f(1，2) 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：13，分数：44.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_13.已知 ，设 D 为由 x0、y0
4、 及 xyt 所围成的区域，求 （分数：2.00）_14.计算 ，其中 D(x，y)0x1，0y1故 （分数：2.00）_15.计算 （分数：2.00）_16. （分数：2.00）_17. （分数：2.00）_（分数：16.00）_(2). （分数：2.00）_(3). （分数：2.00）_(4). （分数：2.00）_(5). （分数：2.00）_(6). （分数：2.00）_(7). （分数：2.00）_(8). （分数：2.00）_设 f(x)连续， 其中 V(x，y，z)x 2 y 2 t 2 ，0zh(t0)，求 （分数：8.00）_(2).其中，x表示不超过 x 的最大整数 （分数
5、：2.00）_(3). （分数：2.00）_(4).已知 （分数：2.00）_18.设 f(x)在0，1上连续且单调减少，且 f(x)0证明： （分数：2.00）_19.证明：用二重积分证明 （分数：2.00）_20.计算定积分 （分数：2.00）_21.计算定积分 （分数：2.00）_22.设函数 x=x(y)由方程 x(yx) 2 =y 所确定，试求不定积分 （分数：2.00）_考研数学一（一元函数积分学）-试卷 3 答案解析(总分：66.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_
6、解析：2.设函数 f(x)在a，b上连续，且 f(x)0则方程 （分数：2.00）A.0 个B.1 个 C.2 个D.无穷多个解析：解析：令 则 F(x)在a，b上连续，而且 故 F(x)在(a，b)内有根又3.设 f(x)连续，f(0)=1，f“(0)=2下列曲线与曲线 y=f(x)必有公共切线的是( )（分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：曲线 y=f(x)在横坐标 x=0 对应的点(0，1)处切线为 y=1+2x选项 D 中函数记为 y=F(x)由F(0)=1，F“(0)=2f(0)=2，知曲线 y=F(x)在横坐标 x=0 对应点处切线方程也为 y=1+2x故应选 D4.设
7、(x)在a，b上连续，且 (x)0，则函数 （分数：2.00）A.在(a，b)内为凸B.在(a，b)内为凹 C.在(a，b)内有拐点D.在(a，b)内有间断点解析：解析：先将 (x)利用x 一 t的分段性分解变形，有 因为 (t)在a，b上连续，所以(x)可导，因而答案不可能是 D为讨论其余三个选项，只需求出 “(x)，讨论 “(x)在(a，b)内的符号即可因5.则 ( ) （分数：2.00）A.F(x)为 f(x)的一个原函数B.F(x)在(一，+)上可微，但不是 f(x)的原函数C.F(x)在(一，+)上不连续D.F(x)在(一，+)上连续，但不是 f(x)的原函数 解析：解析：请看通常的
8、解法：求积分并用连续性确定积分常数，可得 但是 6.则在(一，+)内，下列正确的是 ( ) （分数：2.00）A.f(x)不连续且不可微，F(x)可微，且为 f(x)的原函数 B.f(x)不连续，不存在原函数，因而 F(x)不是 f(x)的原函数C.f(x)和 F(x)均为可微函数，且 F(x)为 f(x)的一个原函数D.f(x)连续，且 F“(x)=f(x)解析：解析：可以验证 x=0 为 f(x)的第二类间断点，因为： 故 x=0 为 f(x)的第二类振荡间断点，可能存在原函数通过计算二、填空题(总题数：5，分数：10.00)7.已知函数 F(x)的导数为 （分数：2.00）填空项 1:_
9、 （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由题意8. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：9.积分 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：10.设 zxf(xy)g(x y ，x 2 y 2 )，其中 f，g 分别二阶连续可导和二阶连续可偏导，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：f“xf“x y1 g 1 “yx y1 lnxg 1 “yx 2y1 lnxg 11 “2y 2 x y1 g 12 “2x y1 lnxg 21 “4xyg 22 “）解析：解析：由 zxf(xy)g(x y ，x 2 y
10、2 )，得 11.设 f(u，v)一阶连续可偏导，f(tx，ty)t 3 f(x，y)，且 f x “(1，2)1，f y “(1，2)4，则f(1，2) 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：3）解析：解析：f(tx，ty)t 3 f(x，y)两边对 t 求导数得 xf x “(tx，ty)yf y “(tx，ty)3t 2 f(x，y)， 取 t1，x1，y2 得 f x “(1，2)2f y “(1，2)3f(1，2)，故 f(1，2)3三、解答题(总题数：13，分数：44.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：13.已知 ，设 D 为由
11、x0、y0 及 xyt 所围成的区域，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 t0 时，F(t)0； 当 0t1 时， 当 1t2 时， 当 t2 时，F(t)1，则 )解析：14.计算 ，其中 D(x，y)0x1，0y1故 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 D 1 (x，y)0x1,0yx，D 2 (x，y)0xy，0y1，则 )解析：15.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 D 1 (x，y)1x1，0yx 2 )，D 2 (x，y)一 1x1，x 2 y2)， )解析：16. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：17. （分数：2.0
12、0）_正确答案：(正确答案： )解析：（分数：16.00）_正确答案：(正确答案： )解析：(2). （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：本题考查的知识点是不定积分的分部积分法，关键是选好 u 和 du )解析：(3). （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：本题考查典型的有理函数的不定积分，首先凑微分，然后将分母配方 )解析：(4). （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因 x=一(1 一 x)一 1，从而可凑微分法 )解析：(5). （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：本题考查定积分的性质和定积分的计算，由于是对称区间上的定积分，一般利用奇函数，偶函数在对称区间上积分
13、性质简化计算，本题还用到了华里士公式 )解析：(6). （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：此题计算量大些，考虑用分部积分法 然后分部积分，留 arccosx，移到 d 后面，即 )解析：(7). （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于(x 一 1nx)“1 一 lnx，分子分母同时除以 ，注意到 )解析：(8). （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：一般会想到如下解法：用牛顿一莱布尼茨公式，令 则 )解析：设 f(x)连续， 其中 V(x，y，z)x 2 y 2 t 2 ，0zh(t0)，求 （分数：8.00）_正确答案：(正确答案： )解析：(2).其中，x表示不超过
14、x 的最大整数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因分段函数 )解析：(3). （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因分段函数 则由定积分的分段可加性得 )解析：(4).已知 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 t=x 一 2n，则由定积分的分段可加性与分部积分得， )解析：18.设 f(x)在0，1上连续且单调减少，且 f(x)0证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：19.证明：用二重积分证明 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 D 1 (x，y)x 2 y 2 R 2 ，x0，y0)， S(x，y)0xR，0yR)， D 2 (x，y
15、)x 2 y 2 2R 2 ，x0，y0) )解析：20.计算定积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 1 一 x=sint，则 )解析：21.计算定积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：22.设函数 x=x(y)由方程 x(yx) 2 =y 所确定，试求不定积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 yx=t，则(yt)t 2 =y，故 得 t 3 一 3t=A(t 3 +t 2 一 t 一 1)+B(t 2 +2t+1)+C(t 3 一 t 2 一 t+1)+D(t 2 一 2t+1)=(A+C)t 3 +(A+BC+D)t 2 +(一 A+2BC 一 2D)tA+B+C+D比较 t 的同次幂的系数得 )解析：
