1、考研数学一（一元函数积分学）-试卷 5 及答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 f(x)在a，b连续，则 f(x)在a，b非负且在a，b的任意子区间上不恒为零是 F(x)= a x f(t)dt 在a，b单调增加的( )（分数：2.00）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件3.设 g(x)= 0 x f(u)du，其中 f(x)= （分数：2.00）A.无界B.递减C.不连续D.连续4.方程 （分数：2.00）A.0
2、B.1C.2D.35.由曲线 y= (0x)与 x 轴围成的平面图形绕 x 轴旋转而成的旋转体体积为( ) （分数：2.00）A.B.C.D.6.设一元函数 f(x)有下列四条性质：f(x)在a，b连续；f(x)在a，b可积；f(x)在a，b存在原函数；f(x)在a，b可导若用“PQ”表示可由性质 P 推出性质 Q，则有( )（分数：2.00）A.B.C.D.7.曲线 y=x(x 一 1)(2 一 x)与 x 轴所围成图形面积可表示为( )（分数：2.00）A.一 0 2 x(x 一 1)(2 一 x)dxB. 0 1 x(x 一 1)(2 一 x)dx 1 2 x(x 一 1)(2 一 x)
3、dxC.一 0 1 x(x 一 1)(2 一 x)dx+ 1 2 x(x 一 1)(2 一 x)dxD. 0 2 x(x 一 1)(2 一 x)dx8.设 f(x)= 0 x e cost 一 e cost dt，则( )（分数：2.00）A.f(x)=f(x+2)B.f(x)f(x+2)C.f(x)f(x+2)D.当 x0 时，f(x)f(x+2)；当 x0 时，f(x)f(x+2)9.曲线 y=e 9 sinx(0x3)与 x 轴所围成图形的面积可表示为( )（分数：2.00）A.一 0 3 e x sinxdxB. 0 3 e x sinxdxC. 0 e x sinxdx 一 e x
4、sinxdx+ 2 3 e x sinxdxD. 0 2 e x sinxdx 一 2 3 e x sinxdx二、填空题(总题数：7，分数：14.00)10.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_11.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_12.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_13.设 （分数：2.00）填空项 1:_14.曲线 y= 0 x tantdt(0x （分数：2.00）填空项 1:_15.设 F(x)= （分数：2.00）填空项 1:_16.曲线 =1 相应于 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：12，分数：24.00)17.解答题解答应写出文字说明、
5、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_18.(1)设 f(x)连续，证明 0 xf(sinx)dx= 0 f(sinx)dx； (2)证明 （分数：2.00）_19.(1)设 f(x)在(一，+)上连续，证明 f(x)是以 l(0)为周期的周期函数的充要条件是对任意a(一，+)恒有 a a+l f(x)dx= 0 l f(x)dx (2)计算 （分数：2.00）_20.设 f(x)在，上连续，且有 f(x)= （分数：2.00）_21.设曲线 y=ax 2 (x0，常数 a0)与曲线 y=1 一 x 2 交于点 A，过坐标原点 O 和点 A 的直线与曲线y=ax 2 围成一平面图形 D，求
6、(1)D 绕 x 轴旋转一周所成的旋转体的体积 V(a)； (2)a 的值，使 V(a)为最大（分数：2.00）_22.过坐标原点作曲线 y=e x 的切线，该切线与曲线 y=e x 以及 x 轴围成的向 x 轴负向无限伸展的平面图形，记为 D，求 (1)D 的面积 A； (2)D 绕直线 x=1 所成的旋转体的体积 V。（分数：2.00）_23.求不定积分 （分数：2.00）_24.设有摆线 （分数：2.00）_25.计算 (1)求 J= （分数：2.00）_26.设曲线 L 的参数方程为 x=(t)=tsin t，t=(t)=1 一 cos t(0t2)(1)求由 L 的参数方程确定连续函
7、数 y=y(x)，并求出它的定义域(2)求曲线 L 与 x 轴所围图形绕 y 轴旋转一周所成旋转体的体积 V。（分数：2.00）_27.设 f(x)在0，a上有一阶连续导数，证明至少存在一点 0，a，使得 0 a f(x)dx=af(0)+ （分数：2.00）_28.设 f(x)= 1 x ttdt(x一 1)，求曲线 y=f(x)与 x 轴所围封闭图形的面积（分数：2.00）_考研数学一（一元函数积分学）-试卷 5 答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析
8、：2.设 f(x)在a，b连续，则 f(x)在a，b非负且在a，b的任意子区间上不恒为零是 F(x)= a x f(t)dt 在a，b单调增加的( )（分数：2.00）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件 D.既非充分又非必要条件解析：解析：已知 g(x)在a，b连续，在(a，b)可导，则 g(x)在a，b单调增加 g“(x)0(x(a，b)，在(a，b)的任意子区间内 g“(x)0 因此，F(x)= 0 x f(t)dt(在a，b可导)在a，b单调增加 3.设 g(x)= 0 x f(u)du，其中 f(x)= （分数：2.00）A.无界B.递减C.不连续D.连续 解析：解析：因
9、为 f(x)在区间0，2上只有一个第一类间断点(x=1 为 f(x)的跳跃间断点)，所以 f(x)在该区间上可积，因而 g(x)= 0 x f(u)du 在该区间内必连续，故选 D4.方程 （分数：2.00）A.0B.1 C.2D.3解析：解析：设 F(x)= ，则 F(x)在(一，+)上连续，又 F(0)= 0，由零点定理得 F(x)=0至少有一个根。 又易知 且当 x(一，+)时， 1(等号仅当 x=0 成立)，又0 1，一 1sinx1，所以有一 15.由曲线 y= (0x)与 x 轴围成的平面图形绕 x 轴旋转而成的旋转体体积为( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：由
10、曲线 y=f(x)绕 x 轴旋转所得旋转体的体积计算公式，得6.设一元函数 f(x)有下列四条性质：f(x)在a，b连续；f(x)在a，b可积；f(x)在a，b存在原函数；f(x)在a，b可导若用“PQ”表示可由性质 P 推出性质 Q，则有( )（分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：这是讨论函数 f(x)在区间a，b上的可导性、连续性及可积性与原函数存在性间的关系问题 由 f(x)在a，b可导f(x)在a，b连续f(x)在a，b可积且存在原函数故选 C7.曲线 y=x(x 一 1)(2 一 x)与 x 轴所围成图形面积可表示为( )（分数：2.00）A.一 0 2 x(x 一 1)(
11、2 一 x)dxB. 0 1 x(x 一 1)(2 一 x)dx 1 2 x(x 一 1)(2 一 x)dxC.一 0 1 x(x 一 1)(2 一 x)dx+ 1 2 x(x 一 1)(2 一 x)dx D. 0 2 x(x 一 1)(2 一 x)dx解析：解析：由于所求平面图形在 x 轴上、下方各有一部分，其面积为这两部分的面积之和，所以只要考查 B、C 选项中的每一部分是否均为正即可，显然 C 正确事实上， S= 0 2 ydx= 0 2 x(x 一 1)(2 一 x)dx = 0 1 x(x1)(2 一 x)dx+ 1 2 x(x1)(2 一 x)dx =一 0 1 x(x 一 1)(
12、2 一 x)dx+ 1 2 x(x 一 1)(2 一 x)dx。8.设 f(x)= 0 x e cost 一 e cost dt，则( )（分数：2.00）A.f(x)=f(x+2) B.f(x)f(x+2)C.f(x)f(x+2)D.当 x0 时，f(x)f(x+2)；当 x0 时，f(x)f(x+2)解析：解析：考查 f(x+2)一 f(x)= x x+2x e cost 一 e cost dt 被积函数以 2 为周期且为偶函数，由周期函数的积分性质得 9.曲线 y=e 9 sinx(0x3)与 x 轴所围成图形的面积可表示为( )（分数：2.00）A.一 0 3 e x sinxdxB.
13、 0 3 e x sinxdxC. 0 e x sinxdx 一 e x sinxdx+ 2 3 e x sinxdx D. 0 2 e x sinxdx 一 2 3 e x sinxdx解析：解析：当 0x 或 2x3 时，y0；当 x2 时，y0所以 y=e x sinx(0x3)与 x 轴所围成的面积为 0 e x sinxdx 一 2 e x sinxdx+ 2 3 e x sinxdx 故选 C二、填空题(总题数：7，分数：14.00)10.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：ln2）解析：解析：11.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：
14、正确答案：ln2）解析：解析：原式整理得12.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：13.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：a1；b=0；c=0 或 a=1；b=0；c=一 2）解析：解析：14.曲线 y= 0 x tantdt(0x （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：ln(1+*)）解析：解析：15.设 F(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：16.曲线 =1 相应于 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：三、解答题(总题数：
15、12，分数：24.00)17.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：18.(1)设 f(x)连续，证明 0 xf(sinx)dx= 0 f(sinx)dx； (2)证明 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)设 x=t，则 dx=一 dt，且当 x=0 时，t=；当 x= 时，t=0于是 0 xf(sinx)dx=一 0 (t)fsin( 一 t)dt = 0 ( 一 t)f(sint)dt = 0 f(sint)dt 0 tf(sint)dt = 0 f(sinx)dx 0 xf(sinx)dx， )解析：19.(1)设 f(x)在(一，+)上连续
16、，证明 f(x)是以 l(0)为周期的周期函数的充要条件是对任意a(一，+)恒有 a a+l f(x)dx= 0 l f(x)dx (2)计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)证明： 必要性： 设 (a)= 0 a+l f(x)dx 一 0 a f(x)dx，由题设 “(a)=f(a+l)一 f(a)=0， 则 (a)=c(常数) 设 a=0，则 c=(0)= 0 l f(x)dx，那么 (a)= a a+l f(x)dx= 0 l f(x)dx 充分性： 在 0 a+l f(x)dx= 0 l f(x)dx 两边对 a 求导，得 f(a+l)一 f(a)=0，故f(x)以 l
17、 为周期 (2)利用上述性质，将原区间变换成对称区间，从而利于使用函数的奇偶性，于是 )解析：20.设 f(x)在，上连续，且有 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 f(x)sinxdx 存在，且记为 A，于是可得， )解析：21.设曲线 y=ax 2 (x0，常数 a0)与曲线 y=1 一 x 2 交于点 A，过坐标原点 O 和点 A 的直线与曲线y=ax 2 围成一平面图形 D，求 (1)D 绕 x 轴旋转一周所成的旋转体的体积 V(a)； (2)a 的值，使 V(a)为最大（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：22.过坐标原点作曲线 y=e x 的切
18、线，该切线与曲线 y=e x 以及 x 轴围成的向 x 轴负向无限伸展的平面图形，记为 D，求 (1)D 的面积 A； (2)D 绕直线 x=1 所成的旋转体的体积 V。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设切点坐标为 P(x 0 ，y 0 )，于是曲线 y=e x 在点 P 的切线斜率为 y“ 0 = ，则切线方程为 y 一 y 0 = (x 一 x 0 )它经过点(0，0)，所以一 y 0 =一 ，代入求得x 0 =1，从而 y 0 = =e，即切线方程为 y=ex (1)取水平微元为 A 的面积元素，D 的面积(如图 311 所示) )解析：23.求不定积分 （分数：2.00）_正
19、确答案：(正确答案： )解析：24.设有摆线 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：这是由参数方程给出的曲线，由于 x“()=1 一 cos，y“()=sin， 则按旋转面面积计算公式，可得旋转面的面积 )解析：25.计算 (1)求 J= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：26.设曲线 L 的参数方程为 x=(t)=tsin t，t=(t)=1 一 cos t(0t2)(1)求由 L 的参数方程确定连续函数 y=y(x)，并求出它的定义域(2)求曲线 L 与 x 轴所围图形绕 y 轴旋转一周所成旋转体的体积 V。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)“(t)=1
20、 一 cost0(t(0，2)，“(0)=“(2)=0，又 (t)在0，2上连续，所以 (t)在0，2单调递增，值域为(0)，(2)=0，2，则 x=(t)在0，2存在连续的反函数 t=t(x)，定义域为0，2，即 y(x)=t(x)在0，2上连续 (2)由旋转体的体积公式有： V=2 0 2 xy(x)dx=2 0 2 (t 一 sint)(1 一 cost) 2 dt =2 0 2 t(1一 cost) 2 dt 一 2(订 sint(1 一 cost) 2 dt， 其中 0 2 sint(1 一 cost) 2 dt= sint(1一 cost) 2 dt=0。 再令 t=2s，那么 V
21、=2 0 2 (2s)(1 一 coss) 2 ds=2 0 2 2(1coss) 2 dsV， 从而 )解析：27.设 f(x)在0，a上有一阶连续导数，证明至少存在一点 0，a，使得 0 a f(x)dx=af(0)+ （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 0 a f(x)dx= 0 a f(x)d(x 一 a) =(xa)f(x) 0 a 0 a (xa)f“(x)dx =af(0)一 0 a (x 一 a)f“(x)dx 因为 f“(x)连续，x 一 a0(x0，a)，故由积分中值定理知，至少存在一点 0，a，使 )解析：28.设 f(x)= 1 x ttdt(x一 1)，求曲线
22、 y=f(x)与 x 轴所围封闭图形的面积（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 tt为奇函数，可知其原函数 f(x)= 1 x ttdt= 1 0 ttdt+ 0 x ttdt 为偶函数，即由 f(一 1)=0，得 f(1)=0，即 y=f(x)与 x 轴有交点(一 1，0)，(1，0) 又由 f“(x)=xx，可知 x0 时，f“(x)0，故 f(x)单调减少，从而 f(x)f(一 1)=0(一1x0)；当 x0 时，f“(x)=xx0，故 f(x)单调增加，且 y=f(x)与 x 轴有一交点(1，0)综上，y=f(x)与 x 轴交点仅有两个 所以封闭曲线所围面积 A= 1 1 f(x)dx=2 1 0 f(x)dx )解析：
