1、考研数学一（一元函数积分学）历年真题试卷汇编 1及答案解析(总分：68.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.(2011年试题，一)设 （分数：2.00）A.I0，f “ (x)“ 0令 （分数：2.00）A.S 1 23B.S 2 13C.S 3 12D.S 2 314.(2012年试题，一)设 （分数：2.00）A.I 1 23B.I 3 21C.I 2 31D.I 2 135.(2008年试题，1)设函数 （分数：2.00）A.0B.1C.2D.36.(1998年试题，
2、二)设 f(x)连续，则 （分数：2.00）A.xf(x 2 )B.一 xf(x 2 )C.2xf(x 2 )D.一 2xf(x 2 )7.(1997年试题，二)设 （分数：2.00）A.为正常数B.为负常数C.恒为零D.不为常数8.(2010年试题，一)设 m，n 为正整数，则反常积分 （分数：2.00）A.仅与 m有关B.仅于 n有关C.与 m，n 都有关D.与 m，n 都无关9.(2009年试题，3)设函数 y=f(x)在区间一 1，3上的图形如图 1一 33所示，则函数 435的图形为( ) （分数：2.00）A.B.C.D.10.(2007年试题，一)如图 1一 34，连续函数 y=
3、f(x)在区间一 3，一 2，2，3上的图形分别是直径为 1的上、下半圆周，在区间一 2，0，0，2的图形分别是直径为 2的上、下半圆周，设 则下列结沦正确的是( )。 （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：8，分数：16.00)11.(2004年试题，2)已知 f 1 (e x )=xe -s ，且 f(1)=0，则 f(x)= 1.（分数：2.00）填空项 1:_12.(2012年试题，二) （分数：2.00）填空项 1:_13.(2010年试题，10) （分数：2.00）填空项 1:_14.(2007年试题，二) （分数：2.00）填空项 1:_15.(2000年试题，1
4、) （分数：2.00）填空项 1:_16.(1999年试题，一) （分数：2.00）填空项 1:_17.(2002年试题，一) （分数：2.00）填空项 1:_18.(2006年试题，一)点(2，1，0)到平面 3x+4y+5z=0的距离 d= 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：14，分数：32.00)19.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_20.(2001年试题，三)求 （分数：2.00）_21.(2005年试题，17)如图 132所示，曲线 c的方程为 y=f(x)，A(3，2)是它的一个拐点，直线 l 1 与 l 2 分别是曲线 C在点(0，0)与(3，
5、2)处的切线，其交点为(2，4)设函数 f(x)具有三阶连续导数，计算定积分 （分数：2.00）_22.(2002年试题，四)已知两曲线 y=f(x)与 在点(0，0)处的切线相同，写出此切线方程，并求极限（分数：2.00）_23.(1997年试题，五)设 f(x)连续 且 （分数：2.00）_24.(2010年试题，17)(I)比较 的大小，说明理由()设 求极限 （分数：2.00）_25.(2008年试题，18)设函数 f(x)连续. (I) 用定义证明 F(x)可导。且 F “ (x)=f(x)； ()设f(x)是周期为 2的连续函数，证明 （分数：2.00）_26.(2000年试题，九
6、)设函数 f(x)在0，上连续，且 （分数：2.00）_(1998年试题，九)设 y=f(x)是区间0，1上的任一非负连续函数（分数：4.00）(1).试证存在 x 0 (0，1)，使得在区间0，x 0 上以 f(x 0 )为高的矩形面积，等于在区间x 0 ，1上以 y=f(x)为曲边的曲边梯形面积；（分数：2.00）_(2).又设 f(x)在区间(0，1)内可导，且 （分数：2.00）_27.(2012年试题，三)已知曲线 其中函数 f(t)具有连续导数，且 f(0)=0，f “ (t)0， （分数：2.00）_(2003年试题，六)某建筑工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层，汽锤每次击打，都
7、将克服土层对桩的阻力而做功，设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比(比例系数为 k，k0)，汽锤第一次击打将桩打进地下 am，根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所做的功与前一次击打时所做的功之比为常数 r(00，f “ (x)“ 0令 （分数：2.00）A.S 1 23B.S 2 13 C.S 3 12D.S 2 31解析：解析：由题设，知 f(x)在a，b上单调减少，且下凸，如图 131所示则由定积分的几何意义，知 S 1 且表示曲线 f(x)下方的面积，S 2 为 cdba的面积S 3 为 edba的面积，显然有 S 1 13，选B*解析二依题意知，曲线 y=(x)在a，b上单调
8、减少且是凹曲线弧，从而有 f(x)f(b)，*即综上，有 S213，故而选 B4.(2012年试题，一)设 （分数：2.00）A.I 1 23B.I 3 21C.I 2 31D.I 2 13 解析：解析：根据题意有 先比较 I 1 ，I 2 ，由于 I 2 一 I 1 = 5.(2008年试题，1)设函数 （分数：2.00）A.0B.1 C.2D.3解析：解析：对积分上限函数 f(x)求导，可得 6.(1998年试题，二)设 f(x)连续，则 （分数：2.00）A.xf(x 2 ) B.一 xf(x 2 )C.2xf(x 2 )D.一 2xf(x 2 )解析：解析：题中所给变上限定积分的被积函
9、数中含有参数 x，因此不能直接求导，先采用换元法消去参数 x，才能继续求导，即令 x 2 一 t 2 =y，则 因而原式 2x=xf(x 2 )，选 A解析二对于任何连续函数 f(x)，上述结论应均成立，可取 f(x)=1来检验，即原式= 7.(1997年试题，二)设 （分数：2.00）A.为正常数 B.为负常数C.恒为零D.不为常数解析：解析：被积函数 e sint .sint是有周期 2，则由周期函数定积分的性质，有 对第一个积分施行换元，x=t+，则 从而 选 A 解析二由于 还可用分部积分法加以判断，即 8.(2010年试题，一)设 m，n 为正整数，则反常积分 （分数：2.00）A.
10、仅与 m有关B.仅于 n有关C.与 m，n 都有关D.与 m，n 都无关 解析：解析：无界函数的反常积分 有两个瑕点 x=0和 x=1，因 x0 + 时，ln 2 (1一 x)一 x 2 ，设 g为一个常数，则 又因为 m，n 是正整数，所以 则必然存在 q(0，1)，使得极限 存在同理，因 x1 - 时，对于任意小的 (0，1)，有 9.(2009年试题，3)设函数 y=f(x)在区间一 1，3上的图形如图 1一 33所示，则函数 435的图形为( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：由定积分的性质可知，y=f(x)的图像与 x轴及 y轴、x=x 0 所围的图形面积的代数和为
11、所求函数 F(x)，观察图形可得出如下结论：当 x一 l，0时，F(x)0 且为线性函数，单调递增，排除A，C 选项；当 x0，1时，F(x)0 且单调递减；当 x1，2时，F(x)单调递增；当 x2，3时，F(x)为常函数，且连续，排除 B选项综上可知，正确选项为 D 应掌握以下基本定理：若 f(x)在a，b上可积，x 0 a，b，则 在a，b上连续；若 f(x)在a，b上连续，x 0 a，b，则 10.(2007年试题，一)如图 1一 34，连续函数 y=f(x)在区间一 3，一 2，2，3上的图形分别是直径为 1的上、下半圆周，在区间一 2，0，0，2的图形分别是直径为 2的上、下半圆周
12、，设 则下列结沦正确的是( )。 （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析： 与曲线 y=f(x)和 x轴所围面积有关 则二、填空题(总题数：8，分数：16.00)11.(2004年试题，2)已知 f 1 (e x )=xe -s ，且 f(1)=0，则 f(x)= 1.（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：由已知 f “ (e x )=xe -x ，令 t=e x ，则x=lnt，从而 ， 又由已知 f(1)=0，代入上式得 C=0，所以 解析二本题也可由 f “ (e x )=xe -x 两边同乘 e x ，即 f “ (e x )e x =x，将此式两边积分得 由
13、已知厂(1)=0，则在上式中令x=0，则 f(1)=C=0，因此 ，令 e x =t，则 x=lnt,即得 ）解析：12.(2012年试题，二) （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：令 t=x一 1，则 ）解析：13.(2010年试题，10) （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：令 则 x=t 2 ，dx=2tdt 故 ）解析：14.(2007年试题，二) （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：15.(2000年试题，1) （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：原式= 则 解析二根据定积分的几何意义 表示以
14、为边的曲边梯形的面积，即圆(x 一 1) 2 +y 2 =1面积的 故而 ）解析：16.(1999年试题，一) （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：由于被积函数中含有参数 x，因此应先通过换元将被积函数变成不含参数 x的表达式，再进行求导，所以令 x一 t=y，则有 从而 ）解析：17.(2002年试题，一) （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：18.(2006年试题，一)点(2，1，0)到平面 3x+4y+5z=0的距离 d= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：根据点到平面的距离公式可得*）解析：三、解答题(总题数：1
15、4，分数：32.00)19.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：20.(2001年试题，三)求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 对最后一项求不定积分令 e x =u，则 代回原式，则原式 )解析：21.(2005年试题，17)如图 132所示，曲线 c的方程为 y=f(x)，A(3，2)是它的一个拐点，直线 l 1 与 l 2 分别是曲线 C在点(0，0)与(3，2)处的切线，其交点为(2，4)设函数 f(x)具有三阶连续导数，计算定积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据题意可知 f(0)=0，f(3)=2，f “ (3)=0从图中可知：y=f(x)
16、在点(0，0)与(3，2)处的切线分别为 y=2x，y=一 2x+8，有 f “ (0)=2,f “ (3)=一 2，所以 )解析：解析：本题综合考查了导数的几何意义和定积分的计算此外，遇到被积函数中含有抽象函数的导数时，可优先考虑采用分部积分法22.(2002年试题，四)已知两曲线 y=f(x)与 在点(0，0)处的切线相同，写出此切线方程，并求极限（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据题设，先求切线方程，曲线 y=f(x)在点(0，0)处有 f(0)=0，切线斜率为，f “ (0)，而曲线 显然满足 y(0)=0，同时 因此 f “ (0)=l且切线方程为 y=x，又由导数的定义知
17、极限 )解析：解析：求极限 时，若直接采用洛必达法则是不对的，因为 n是离散变量，不能求导，此外即使是求 也要求 f(x)在 x=0处的导数连续，所以只能由导数的定义求极限23.(1997年试题，五)设 f(x)连续 且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：题目要求的是 “ (x)在 x=0处的连续性，因此要先得出 “ (x)，根据已知， 且 f(x)连续，可知 f(0)=0，同时由导数的定义， 即 f(x)在 x=0处导数存在且 f “ (0)=A又由 令 xt=u，则 求导得 按导数定义， )解析：24.(2010年试题，17)(I)比较 的大小，说明理由()设 求极限 （分数：2.
18、00）_正确答案：(正确答案：(I)因为当 0 nn，进而 Ilnt1n(1+t) nn根据定积分的性质可知*()因为*所以*由(I)知,*根据夹逼准则可得*由此可知*)解析：25.(2008年试题，18)设函数 f(x)连续. (I) 用定义证明 F(x)可导。且 F “ (x)=f(x)； ()设f(x)是周期为 2的连续函数，证明 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(I)给 x一个小的增量x，则 F(x+x) 函数 F(x)的增量为 因函数f(x)连续，则由积分中值定理得,F=f()Ax，其中 (x，x+x)，等式两边同除以x，有 因函数 f(x)连续，当x0 时，x，从而 在
19、的两边取极限，可知 存在，即函数F(x)可导，且有 F “ (x)=f(x)(II)因为 f(x)是周期为 2的连续函数，所以，(x)=f(x 一 2)又 )解析：26.(2000年试题，九)设函数 f(x)在0，上连续，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据题设， 则由积分中值定理，存在 1 (0，)，使 即 f( 1 1 )=0， 1 (0，)，假设(0，)内仅有一个 f(x)的零点，则 f(x)在(0， 1 )与( 1 ，)内反号，不失一般性，假设在(0， 1 )内，(x)0，则( 1 ，)内 f(x) 及 ，有 由于cosx在0，上单调递减，因此 cosx一 cos 1 0
20、，x(0， 1 )；cosxcos 1 1 ，)从而(*)式0，矛盾，因此(0，)内至少存在两个不同的点 1 ， 2 ，使 f( 1 )=f( 2 )=0证毕解析二构造辅助函数： 显然 F(0)=F()=0，由题设，有 即有 )解析：(1998年试题，九)设 y=f(x)是区间0，1上的任一非负连续函数（分数：4.00）(1).试证存在 x 0 (0，1)，使得在区间0，x 0 上以 f(x 0 )为高的矩形面积，等于在区间x 0 ，1上以 y=f(x)为曲边的曲边梯形面积；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)根据题意，假如存在满足条件的 x 0 (0，1)，即有 显然此式等价于要
21、求函数 在(0，1)区间内有零点，循此思路，构造辅助函数 及 F 2 “ (x)=F 1 (x)则可验证可取 )解析：(2).又设 f(x)在区间(0，1)内可导，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(2)由于 F 1 “ (x)=f(x)+xf “ (x)+f(x)=2f(x)+xf “ (x)由(2)中已知 )解析：27.(2012年试题，三)已知曲线 其中函数 f(t)具有连续导数，且 f(0)=0，f “ (t)0， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设切点坐标为(x 0 ，y 0 )，则 L的切线方程为：yy 0 =k(x一 x 0 )，斜率 而切点与 x轴交点为
22、由已知 L的切线与 x轴交点到切点的距离值为 l，则有 f(t)=Insect+tantsint+C 由已知 f(0)=0，得 C=0，则 f(t)=Insect+rantsint 所求面积为 )解析：(2003年试题，六)某建筑工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层，汽锤每次击打，都将克服土层对桩的阻力而做功，设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比(比例系数为 k，k0)，汽锤第一次击打将桩打进地下 am，根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所做的功与前一次击打时所做的功之比为常数 r(0r1)，问（分数：4.00）(1).汽锤击打桩 3次后，可将桩打进地下多深?（分数：2.00）_正确
23、答案：(正确答案：(1)根据题设，阻力为 kx时，桩从地下 am打到 bm时需作功为 设第 n次打击后，桩被打进地下 x n ，第 n次打击时，汽锤所作的功为 W n (n=1，2，3，)，由已知，桩被打进地下的深度为 x时，土层对桩的阻力的大小为 kx，所以 由于 W 2 =rW 1 ，因此 即 ra 2 =x 2 2 一 a 2 ，从而 同理 则 x 3 2 一(1+r)a 2 =r 2 a 2 ，因此 所以汽锤击打 3次后，可将桩打进地下 )解析：(2).若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下多深?(注：m 表示长度单位米)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(2)由数学归纳法，设
24、 则 同样由 W a+1 =rW a =r 2 W n-1 =r n W 1 可得 x n+1 2 (1+r+r n-1 )a 2 =r n a 2 即 即打击无限次，汽锤可将桩打进地下 )解析：(2003年试题，三)过坐标原点作曲线 y=lnx的切线，该切线与曲线 y=lnx及 x轴围成平面图形 D(见图 1一 35) （分数：4.00）(1).求 D的面积 A；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)根据题设，先求切线方程，设切点为(x 0 ，lnx 0 )，则切线方程可表示为 由于该切线过原点(0，0)，则一 lnx 0 =一 1，x 0 =e，从而该切线方程为 ，所围成图形 D
25、如图 1一 35中阴影所示，则面积为 )解析：(2).求 D绕直线 x=e旋转一周所得旋转体的体积 V.（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(2)为求 D绕直线 x=e旋转一周所得旋转体体积 V，可先求切线 与 x轴及x=e所围成的三角形绕直线 x=e旋转所得的圆锥体的体积，记为 V 1 ，则 其次曲线 y=lnx与 x轴及直线 x=e所围成的图形绕直线 x=e旋转所得的旋转体体积为 综上，所求旋转体的体积为 )解析：28.(1999年试题，七)为清除井底的污泥，用缆绳将抓斗放入井底，抓起污泥后提出井口(见图 1一 36)已知井深 30m，抓斗自重 400N，缆绳每米重 50N，抓斗抓起
26、的污泥重 2000N，提升速度为 3ms，在提升过程中，污泥以 20Ns 的速率从抓斗缝隙中漏掉现将抓起污泥的抓斗提升至井口，问克服重力需做多少焦耳的功?(说明：1N1m=1J；m，N，s，J 分别表示米，牛，秒，焦抓斗的高度及位于井口上方的缆绳长度忽略不计) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据题设可建立相应的数学模型，坐标轴如图中所示，设抓起污泥的抓斗提升至井口所需作功为 W，抓斗移动到 x处时，作用力 F包括以下几部分：抓斗的自重 400N，缆绳重力 50.(30一 x)，污泥的重力 ，则 现将抓斗提升 dx距离所做功为 F(x)dx，从而 解析二在时间段t，t+t内的作功为w
27、dw=400+(200020t)+50(303t).3dt=30(39017t)dt 抓起污泥的抓斗提升至井口所需时间为 303=10S，因而克服重力需做功 )解析：29.(1998年试题，三)求直线 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设，本题分两个大部分，一是求 l在 的投影 l 0 ，二是求由 l 0 生成的旋转曲面，其中第一部分是第二部分的基础因为投影直线 l 0 是经过直线 l且与平面 垂直的平面与平面 的交线，因此只需求得此平面即可，设其为 1 ，下面先求平面 1 的法向量 n 1 ，同时设平面 的法向量为 n，由已知 n=1，一 1，2，由于，n 1 n，且 n 1 垂
28、直直线 l的方向向量1，1，一 1，因此 n 1 =1，一 1，21，1，一 1=一 1，3，2又因为直线 f在平面 1 内，因而直线 l上的点(1，0，1)也是平面 1 内的点，综上可得出平面 1 的方程为一(x1)+3(y 一 0)+2(z1)=0化简得x一 3y一 2x+l=0由此，直线 l在平面 上的投影直线 l 0 的方程为 以下再求 l 0 绕 y轴旋转所生成的旋转曲面 S设点 A(x，y，z)在 S上过 A作平面 2 平行于 Oxz平面，即垂直于 y轴，则霄 2 与 y轴交点为 B(0，y，0)，并设 2 与 l 2 交点为 C(x 1 ，y，z 1 )，由 L 0 的方程不难确定出 x 1 =2y及 又由几何关系AB=CB，即距离相等，有 x 2 +z 2 =x 1 2 +z 1 2 =4y 2 + (1一 y) 2 化简为 4x 2 一 17y 2 +4z 2 +2y=1，由点 A(x，y，z)的任意性，知上式就是所求旋转曲面 S的方程解析二本题第一部分求投影直线 l 0 的方程的过程中，在求平面 1 的方程时，也可采用平面束的方法，将直线 l的方程化为一般形式： )解析：
