1、考研数学一（一元函数积分学）模拟试卷 19 及答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.使不等式 （分数：2.00）A.(0，1)。B.(1，C.(D.(，+)。3.设 I= （分数：2.00）A.IJK。B.IKJ。C.JIK。D.KJI。4.由曲线 Y= (0x)与 x 轴围成的平面图形绕 x 轴旋转而成的旋转体体积为( ) （分数：2.00）A.B.C.D.5.曲线 y=x(x 一 1)(2 一 x)与 x 轴所围成图形面积可表示为( )（分数：2.00
2、）A.一 0 2 (x 一 1)(2 一 x)dx。B. 0 1 x(x 一 1)(2 一 x)dx 一 1 2 x(x 一 1)(2 一 x)dx。C.一 0 1 x(x 一 1)(2 一 x)dx+ 1 2 x(x 一 1)(2 一 x)dx。D. 0 2 x(x 一 1)(2 一 x)dx。6.半圆形闸门半径为 R(米)，将其垂直放入水中，且直径与水面齐平，设水密度 =1。若坐标原点取在圆心，x 轴正向朝下，则闸门所受压力 P 为( ) （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：7，分数：14.00)7.设 a0，则 I= （分数：2.00）填空项 1:_8. （分数：2.0
3、0）填空项 1:_9.= 1。 （分数：2.00）填空项 1:_10.= 1。 （分数：2.00）填空项 1:_11.设 （分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_12.曲线 y= 0 x tantdt(0x （分数：2.00）填空项 1:_13.曲线 =1 相应于 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：17，分数：34.00)14.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_15.计算 （分数：2.00）_16.设 f(x)在一 e，e上连续，在 x=0 处可导，且 f(0)0。 ()证明：对于任意 x(0，e)，至少存在一个 (0，1)，使得 0 x
4、 f(t)dt+ 0 -x f(t)dt=xf(x)一 f(一 x)。 ()求极限 （分数：2.00）_17.求函数 f(x)= （分数：2.00）_18.设 f(x)在0，上连续，且 0 x f(t)costdt= 0 x f(t)sintdt=0，证明：f(x)在(0，)内至少有两个零点。（分数：2.00）_19.设两曲线 y= （分数：2.00）_20.设函数 f(x)在(一，+)内连续，且 F(x)=r(2t 一 x)f(t)dt，证明：()若 f(x)是偶函数，则 F(x)也是偶函数。()若 f(x)是单调减函数，则 F(x)也是单调减函数。（分数：2.00）_21.证明：当 x0
5、时， 0 x (t 一 t 2 )sin 2n tdt （分数：2.00）_22.设 f(x)在0，1上具有连续导数，且 f(0)+f(1)=0。证明： 0 1 f(x)dx （分数：2.00）_23.设 f(x)在区间2，4上具有二阶连续导 f“(x)，且 f(3)=0，证明：存在一点 (2，4)，使得 f“()=3 2 4 f(x)dx。（分数：2.00）_24.计算xarcsinxdx。（分数：2.00）_25.设 f(x)在0，上连续，证明 0 xf(sinx)dx= （分数：2.00）_26.某建筑工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层。汽锤每次击打，都将克服土层对桩的阻力而作功。设土层
6、对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比(比例系数为 k，k0)。汽锤第一次击打将桩打进地下 a m。根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所做的功与前一次击打时所做的功之比为常数 r(0r1)。问 ()汽锤击打桩 3 次后，可将桩打进地下多深? ()若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下多深? (注：m 表示长度单位米)（分数：2.00）_27.椭球面 S 1 是椭圆 =1 绕 x 轴旋转而成，圆锥面 S 2 是过点(4，0)且与椭圆 （分数：2.00）_28.设曲线 y=ax 2 (x0，常数 a0)与曲线 y=1 一 x 2 交于点 A，过坐标原点 O 和点 A 的直线与曲线y=ax 2 围成一平面图形 D。 ()求 D 绕 x 轴旋转一周所成的旋转体的体积 V(a)； ()求 a 的值，使 V(a)为最大。（分数：2.00）_29.过坐标原点作曲线 y=e x 的切线，该切线与曲线 y=e x 以及 x 轴围成的向 x 轴负向无限伸展的平面图形，记为 D，求 ()D 的面积 A； ()D 绕直线 x=1 所成的旋转体的体积 V。（分数：2.00）_30.计算下列反常积分(广义积分)的值。 （分数：2.00）_
