1、考研数学一（一元函数积分概念、计算及应用）-试卷 2 及答案解析(总分：72.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：2，分数：4.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 M= sin(sinx)dx，N= （分数：2.00）A.M1NB.MN1C.NM1D.1MN二、填空题(总题数：4，分数：8.00)3.若 f(x)的导函数是 sinx，则 f(x)的原函数是 1（分数：2.00）填空项 1:_4.设 f(x)在0，1连续， f(cosx)dx=A，则 I= （分数：2.00）填空项 1:_5.设 f(x)是连续函数，并满足f
2、(x)sinxdx=cos 2 x+C；又 F(x)是 f(x)的原函数，且满足 F(0)=0，则F(x)= 1（分数：2.00）填空项 1:_6.设 f(x)为连续函数，且满足 f(x)=x+ （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：30，分数：60.00)7.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_8.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 （分数：2.00）_9.求下列变限积分函数的导数，其中 f(x)连续()F(x)= ，求 F(x)； ()F(x)= （分数：2.00）_10.以下计算是否正确?为什么? =arctan1arctan(
3、1)= （分数：2.00）_11.n 为自然数，证明： （分数：2.00）_12.求下列不定积分：() dx；() dx；() （分数：2.00）_13.计算下列定积分：() ，cosxdx；() f(x1)dx，其中 f(x)= （分数：2.00）_14.计算定积分 I= （分数：2.00）_15.设函数 f(x)= 并记 F(x)= （分数：2.00）_16.求下列不定积分：()secxdx； () () （分数：2.00）_17.求下列不定积分：() dx； () (a0)； ()x(1 （分数：2.00）_18.求不定积分 （分数：2.00）_19.求下列积分：() () （分数：2.
4、00）_20.求下列不定积分： ()arcsinx.arccosxdx； ()x 2 sin 2 xdx； () （分数：2.00）_21.求 I n = sin n xdx 和 J n = （分数：2.00）_22.计算不定积分 （分数：2.00）_23.求下列不定积分：() () （分数：2.00）_24.求下列不定积分：()J= dx； ()J= （分数：2.00）_25.求下列定积分：()I= dx； ()J= （分数：2.00）_26.求下列定积分： () I= dx； () J= （分数：2.00）_27.计算下列反常积分(广义积分)的值：() () dx；() （分数：2.00）
5、_28.求一块铅直平板如图 31 所示在某种液体(比重为 )中所受的压力 （分数：2.00）_29.求下列平面曲线的弧长： ()曲线 9y 2 =x(x3) 2 (y0)位于 x=0 到 x=3 之间的一段； ()曲线 （分数：2.00）_30.求下列曲线的曲率或曲率半径： ()求 x=tln(1+t 2 )，y=arctant 在 t=2 处的曲率； ()求y=lnx 在点(1，0)处的曲率半径（分数：2.00）_31.已知抛物线 y=ax 2 +bx+c 经过点 P(1，2)，且在该点与圆 = （分数：2.00）_32.设函数 y=f(x)在a，b(a0)连续，由曲线 y=f(x)，直线
6、x=a，x=b 及戈轴围成的平面图形(如图312)绕 y 轴旋转一周得旋转体，试导出该旋转体的体积公式 （分数：2.00）_33.设两曲线 y=a (a0)与 y=ln 在(x 0 ，y 0 )处有公切线(如图 313)，求这两曲线与 x轴围成的平面图形绕 x 轴旋转而成的旋转体的体积 V （分数：2.00）_34.求圆弧 x 2 +y 2 =a 2 ( （分数：2.00）_35.有一椭圆形薄板，长半轴为 a，短半轴为 b，薄板垂直立于水中，而其短半轴与水面相齐，求水对薄板的侧压力（分数：2.00）_36.比较定积分 （分数：2.00）_考研数学一（一元函数积分概念、计算及应用）-试卷 2 答
7、案解析(总分：72.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：2，分数：4.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 M= sin(sinx)dx，N= （分数：2.00）A.M1N B.MN1C.NM1D.1MN解析：解析：sin(sinx)，cos(cosx)均在0， 上连续，由 sinxx sin(sinx)sinx(x0， )， sinxdx=1，即 M1 又二、填空题(总题数：4，分数：8.00)3.若 f(x)的导函数是 sinx，则 f(x)的原函数是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一
8、sinx+C 1 x+C 2）解析：解析：f(x)的导函数是 sinx，那么 f(x)应具有形式cosx+C 1 ，所以 f(x)的原函数应为sinx+C 1 x+C 2 ，其中 C 1 ，C 2 为任意常数4.设 f(x)在0，1连续， f(cosx)dx=A，则 I= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：4A）解析：解析：由于 f(cosx)在(，+)连续，以 为周期，且为偶函数，则根据周期函数与偶函数的积分性质得 I=25.设 f(x)是连续函数，并满足f(x)sinxdx=cos 2 x+C；又 F(x)是 f(x)的原函数，且满足 F(0)=0，则F(x)= 1（
9、分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 2sinx）解析：解析：由题设及原函数存在定理可知，F(x)= f(t)dt为求 f(x)，将题设等式求导得 f(x)sinx=f(x)sinxdx=cos 2 x+C)=2sinxcosx， 从而 f(x)=2cosx，于是 F(x)= 6.设 f(x)为连续函数，且满足 f(x)=x+ （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：x+*）解析：解析：定积分是积分和的极限，当被积函数和积分区间确定后，它就是一个确定的数从而由题设知可令 xf(x)dx=A，只要求得常数 A 就可得到函数 f(x)的表达式为此将题设等式两边同
10、乘 x 并从0 到 1 求定积分，就有 A= 故 f(x)=x+三、解答题(总题数：30，分数：60.00)7.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：8.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f(x)在a，b上连续，由积分中值定理可知，在(a，b)内至少存在一点 c 使得 这就说明 f(c)=f(b)根据假设可得 f(x)在c，b上连续，在(c，b)内可导，故由罗尔定理知，在(c，b)内至少存在一点 ，使 f()=0，其中 (c，b) )解析：9.求下列变限积分函数的导数，其中 f(x)连续()F(
11、x)= ，求 F(x)； ()F(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()注意到积分的上、下限都是 x 的复合函数，由变限积分求导公式可得()令 g(t)= f(u)du，注意 g(t)是 t 的可导函数，则 F(x)= g(t)dt，F(x)=g(x)，F(x)=g(x)= )解析：10.以下计算是否正确?为什么? =arctan1arctan(1)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：利用牛顿一莱布尼兹公式计算定积分 f(x)dx 必须满足两个条件：其一是f(x)在a，b上连续，另一个是 F(x)是 f(x)在a，b上的一个原函数 由 (x0)，可知积分应是负值事实上
12、 由此可见，本题的题目中所给出的计算是错误的原因在于 arctan 在 x=0 不连续，且 x=0 不是 arctan 的可去间断点，从而 arctan 在区间1，1上的一个原函数，故不能直接在1，1上应用牛顿一莱布尼兹公式这时正确的作法是把1，1分为1，0与0，1两个小区间，然后用分段积分法进行如下计算： =arctan )解析：11.n 为自然数，证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 当 n 为奇数时， 当 n 为偶数时， )解析：12.求下列不定积分：() dx；() dx；() （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()利用三角函数的倍角公式：1+cos2x=2cos
13、 2 x 进行分项得 ()利用加减同一项进行拆项得 ()将被积函数的分母有理化后得 再将第二项拆项得 )解析：13.计算下列定积分：() ，cosxdx；() f(x1)dx，其中 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()由于 min ，cosx为偶函数，在0， 上的分界点为 ，所以 ()由于分段函数 f(x)的分界点为 0，所以，令 t=x1 后，有 )解析：14.计算定积分 I= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：在区间0，上按如下方式用牛顿莱布尼兹公式是错误的即 因为arctan( tanx)在 x= 无定义，它只是分别在0， 的原函数，因而不能在0，上对积分
14、I 应用牛顿-莱布尼兹公式但可按如下方法计算： )解析：15.设函数 f(x)= 并记 F(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据牛顿-莱布尼兹公式，当 0x1 时，有 当 1x2 时， )解析：16.求下列不定积分：()secxdx； () () （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：() () () )解析：17.求下列不定积分：() dx； () (a0)； ()x(1 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()令 x= (0t，t )，于是 dx= ，则 dx=sin 2 tcostdt.sgnx=sin 2 tdsint.sgnx= sin 3 t.sgnx+
15、C， 其中 sgnx= 再用上面的三角形示意图(sint= )，则得 ()令 x=atant( )，于是 dx=asec 2 tdt， =asect，则 dt=sectdt=lnsect+tant+C， 再利用上面的三角形示意图，则有 其中 C 1 =Clna ()由于 dx 2 ，故可令 x 2 =sint，于是 )解析：18.求不定积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 e x =t，则 分别令 =v，则分别有 于是 原式= )解析：19.求下列积分：() () （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：() () )解析：20.求下列不定积分： ()arcsinx.arcco
16、sxdx； ()x 2 sin 2 xdx； () （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()按照上表第二栏所讲的方法，有 arcsinx.arccosxdx xarcsinx.arccosxx( )dx =xarcsinx.arccosx+(arccosxarcsinx)d =xarcsinx.arccosx+ (arccosxarcsinx)+2x+C ()由于 sin 2 x= (1cos2x)，所以 x 2 sin 2 xdx= x 2 dsin2x 连续使用分部积分法得 () 其中 已求出，注意到等式右端也包含积分 dx，因而得到 关于 dx 的方程，解得 )解析：21.求 I
17、n = sin n xdx 和 J n = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()当 n2 时 I n = sin n2 xcosx 2 xdx =(n1) sin n2 x(1sin 2 x)dx=(n1)I n2 (n1)I n ， 解出 I n ，于是当 n2 时得递推公式 I n = I n2 由于 I 0 = ，I 1 =1，应用这一递推公式，对于 n 为偶数时，则有 对于 n 为奇数时，则有 其中 ()由于 cosx=sin( x)，所以，令 t= x，则有 J n = )解析：22.计算不定积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：解析：本题属于有理函数的
18、不定积分，按照上面所叙述的方法，应该先将被积函数分解为(*)式，确定 A，B，C，D 后即可求其不定积分，然而这样做比较麻烦，下面所使用的凑微分法要简捷得多23.求下列不定积分：() () （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()被积函数中含有两个根式 ，为了能够同时消去这两个根式，令 x=t 6 则 ()尽管被积函数中所含根式的形式与上面所介绍的有所不同，然而也应该通过变量替换将根式去掉令 =t，即 x=ln(1+t 2 )，从而 )解析：24.求下列不定积分：()J= dx； ()J= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：作恒等变形后凑微分 () () )解析：25.求下列定积
19、分：()I= dx； ()J= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()由于 ，故 ()由于 ，故作平移变换：x =t，并记c= ，则 其中 )解析：26.求下列定积分： () I= dx； () J= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：() () )解析：解析：积分 I= f(x)dx 在变量替换 t=bx 下积分区间保持不变，即 I= f(bx)dx， 于是 2I= f(x)+f(bx)dx若右端易求，则就求出 I 值题()就是如此 积分区间的对称性除了奇函数或偶函数带来方便之外，有时对某些其他函数也会带来方便在对称区间的情形：I= f(x)dx，若作变量替换 x=t，则积分
20、区间保持不变，即 I= f(t)dt 于是 2I=27.计算下列反常积分(广义积分)的值：() () dx；() （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()由于 x 2 2x=(x1) 2 1，所以为去掉被积函数中的根号，可令x1=sect，则有 ()采用分解法与分部积分法注意 ，将被积函数分解并用分部积分法有 () )解析：28.求一块铅直平板如图 31 所示在某种液体(比重为 )中所受的压力 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：液体中深度为 h 处所受的压强为 p=h，从深度为 a 到 x 之间平板所受的压力记为 P(x)，任取x，x+x上小横条，所受压力为 P=P(x+x)P(
21、x)x.cx 令x0，得 dP(x)=xcdx于是，总压力为 P= (b 2 a 2 ) =. )解析：29.求下列平面曲线的弧长： ()曲线 9y 2 =x(x3) 2 (y0)位于 x=0 到 x=3 之间的一段； ()曲线 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()先求 y与 ：将 9y 2 =x(x3) 2 两边对 x 求导得 6yy=(x3)(x1)，即 y= (x3)(x1)， 因此该段曲线的弧长为 ()先写出曲线的参数方程 t0，2，再求 于是代公式并由对称性得，该曲线的弧长为 )解析：30.求下列曲线的曲率或曲率半径： ()求 x=tln(1+t 2 )，y=arctant
22、 在 t=2 处的曲率； ()求y=lnx 在点(1，0)处的曲率半径（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()利用由参数方程确定的函数的求导法则，得 于是所求曲率为K= ()先求 ，然后代公式：y= 于是，在任意点 x0 处曲率为 于是曲线在点(1，0)处的曲率半径 = )解析：31.已知抛物线 y=ax 2 +bx+c 经过点 P(1，2)，且在该点与圆 = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：圆 的半径为 ，所以在圆上任何一点的曲率为 由于点P(1，2)是下半圆上的一点，可知曲线(x 在点声(1，2)处为凹的，所以由(x ) 2 +(y ) 2 = 确定的连续函数 y=y(x)
23、在 P(1，2)处的 y n 0又经过计算，可知在点 P(1，2)处的y=1 由题设条件知，抛物线经过点 P(1，2)，于是有 a+b+c=2 抛物线与圆在点 P(1，2)相切，所以在点 P(1，2)处 y=1，即有 2a+b=1又抛物线与圆在点 P(1，2)有相同的曲率半径及凹凸性，因此有 )解析：32.设函数 y=f(x)在a，b(a0)连续，由曲线 y=f(x)，直线 x=a，x=b 及戈轴围成的平面图形(如图312)绕 y 轴旋转一周得旋转体，试导出该旋转体的体积公式 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：用微元法任取a，b上小区间x，x+dx，相应得到小曲边梯形，它绕 y 轴旋转
24、所成立体的体积(见图 312)为 dV=f(x)2xdx，于是积分得旋转体的体积为 V=2 )解析：33.设两曲线 y=a (a0)与 y=ln 在(x 0 ，y 0 )处有公切线(如图 313)，求这两曲线与 x轴围成的平面图形绕 x 轴旋转而成的旋转体的体积 V （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先求 a 值与切点坐标 y 1 =a 由两曲线在(x 0 ，y 0 )处有公切线得 解得 x 0 =e 2 ，a=e 1 所求的旋转体体积等于曲线 y= 分别与 x 轴及直线 x=e 2 所围成平面图形绕 x 轴旋转而成的旋转体体积之差 )解析：34.求圆弧 x 2 +y 2 =a 2 (
25、 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将它表为 x= 直接由旋转面的面积计算公式得 )解析：解析：如图 315，由对称性只需考虑 y 轴右方部分的圆弧35.有一椭圆形薄板，长半轴为 a，短半轴为 b，薄板垂直立于水中，而其短半轴与水面相齐，求水对薄板的侧压力（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：取坐标系如图 317 所示，椭圆方程为 =1分割区间0，a，在小区间x，x+dx对应的小横条薄板上，水对它的压力 dP=压强面积=yx.2ydx=yx dx， 其中 为水的比重于是从 0 到 a 积分便得到椭圆形薄板所受的压力 )解析：36.比较定积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当两个定积分的积分区间相同且被积函数连续时，只需比较被积函数的大小就可比较定积分的大小这里被积函数连续，但积分区间不同，应先通过变量替换转化为积分区间相同的情形之后再比较被积函数的大小 )解析：
