1、考研数学一（函数、极限、连续，一元函数微分学）历年真题试卷汇编 1 及答案解析(总分：114.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：25，分数：50.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.(2005 年试题，8)设 F(x)是连续函数 f(x)的一个原函数，“ （分数：2.00）A.F(x)是偶函数B.F(x)是奇函数C.F(x)是周期函数D.F(x)是单调函数3.(1999 年试题，1)设 f(x)是连续函数，F(x)是 f(x)的原函数，则( )（分数：2.00）A.当 f(x)是奇函数时，F(x)必是偶函数B.当 f(x)是
2、偶函数时，F(x)必是奇函数C.当 f(x)是周期函数时，F(x)必是周期函数D.当 f(x)是单调增函数时，F(x)必是单调增函数4.(2003 年试题，二)设a n ，b n ，c n 均为非负数列，且 （分数：2.00）A.a n n 对任意 n 成立B.b n n 对任意成立C.极限D.极限5.(2010 年试题，1)极限 （分数：2.00）A.lB.eC.e a-bD.e b-a6.(2008 年试题，4)设函数 f(x)在(一，+)内单调有界，x n 为数列，下列命题正确的是( )（分数：2.00）A.若x n 收敛，则f(x n )收敛B.若x n 单凋，则f(x n )收敛C.
3、若f(x n )收敛，则x n 收敛D.若f(x n )单调，则x n 收敛7.(2007 年试题，5)设函数 f(x)在(0，+)上具有二阶导数，且 f “ (x)0，令 u n =f(n)=1，2，n，则下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.若 u 1 u 2 ，则u n 必收敛B.若 u 1 u 2 ，则u n 必发散C.若 u 1 u 2 ，则u n 必收敛D.若 u 1 u 2 ，则u n 必发散8.(2009 年试题，1)当 x0 时，f(x)=x 一 sinax 与 g(x)=x 2 In(1 一 bx)为等价无穷小，则( )（分数：2.00）A.a=1，b=B.a=1，b
4、=C.a=1,b=D.a=-1,b=9.(2007 年试题，1)当 x0 时，与 （分数：2.00）A.B.C.D.10.(2004 年试题，1)把 x0 + 时的无穷小量 （分数：2.00）A.，B.，C.，D.，11.(2012 年试题，一)设函数 f(x)=(e x 一 1)(e 2x 一 2)(e nx 一 n)，其中 n 为正整数，则 f “ (0)=( )（分数：2.00）A.(一 1) n-1 (n 一 1)!B.(一 1) n (n 一 1)!C.(一 1) n-1 n !D.(一 1) n n!12.(2007 年试题，4)设函数 f(x)在 x=0 处连续，下列命题错误的是
5、( )?（分数：2.00）A.若B.若C.若 D.若 13.(2005 年试题，7)设函数 （分数：2.00）A.处处可导B.恰有一个不可导点C.恰有两个不可导点D.至少有三个不可导点14.(2001 年试题，3)设f(0)=0，则 f(x)在点 x=0 可导的充要条件为( )（分数：2.00）A.存在B.存在C.存在D.存在15.(1998 年试题，2)函数 f(x)=(x 2 一 x 一 2)x 3 一 x不可导点的个数是( )（分数：2.00）A.3B.2C.1D.016.(1999 年试题，2)设 （分数：2.00）A.极限不存在B.极限存在，但不连续C.连续，但不可导D.可导17.(
6、2006 年试题，7)如图 1 一 22，设函数 y=f(x)具有二阶导数，且 f “ (x)0，f “ (x)0，缸为自变量 x 在点 x 0 处的增量，y 与 dy 分别为 f(x)在点 x 0 处对应的增量与微分，若x0，则( ) （分数：2.00）A.00，则存在 0，使得( )（分数：2.00）A.f(x)在(0，)内单调增加B.f(x)在(一 ，0)内单调减少C.对任意的 x(0， 有 f(x)f(0)D.对任意的 x(一 ，0)有 f(x)f(0)19.(2003 年试题，1)设函数 f(x)在(一，+)内连续，其导函数的图形如图 123 所示，则 f(x)有( ) （分数：2.
7、00）A.一个极小值点和两个极大值点B.两个极小值点和一个极大值点C.两个极小值点和两个极大值点D.三个极小值点和一个极大值点20.(2001 年试题，1)设函数 f(x)在定义域内可导，y=f(x)的图形如图 l 一 24 所示，则导函数 y=f “ (x)的图形为( ) （分数：2.00）A.B.C.D.21.(2000 年试题，1)设，(x)，g(x)是恒大于零的可导函数，且 f “ (x)g(x)一 f(x)g “ (x)（分数：2.00）A.f(x)g(b)f(b)g(x)B.f(x)g(a)f(a)g(x)C.f(x)g(b)f(b)g(b)D.f(x)g(x)f(a)g(a)22
8、.(2011 年试题，一)曲线 y=(x 一 1)(x 一 2) 2 (x 一 3) 3 (x 一 4) 4 的拐点是( )（分数：2.00）A.(1，0)B.(2，0)C.(3，0)D.(4，0)23.(2012 年试题，一)曲线 （分数：2.00）A.0B.1C.2D.324.(2007 年试题，2)曲线 （分数：2.00）A.0B.1C.2D.325.(2002 年试题，3)设函数 y=f(x)在(0，+)内有界且可导，则( )（分数：2.00）A.时，必有B.当 存在时，必有C.当 时，必有D.当 存在时，必有二、填空题(总题数：11，分数：22.00)26.(2006 年试题，1)
9、（分数：2.00）填空项 1:_27.(2003 年试题，1) （分数：2.00）填空项 1:_28.(1999 年试题，1) （分数：2.00）填空项 1:_29.(1998 年试题，1) （分数：2.00）填空项 1:_30.(1997 年试题，1) （分数：2.00）填空项 1:_31.(2008 年试题，10)曲线 sin(xy)+In(y 一 x)=x 在点(0，1)处的切线方程为 1.（分数：2.00）填空项 1:_32.(2004 年试题，1)曲线 y=lnx 上与直线 x+y=1 垂直的切线方程为 1.（分数：2.00）填空项 1:_33.(1997 年试题，3)对数螺线 p=
10、e 在点 （分数：2.00）填空项 1:_34.(2010 年试题，9)设 x=e -1 （分数：2.00）填空项 1:_35.(2002 年试题，2)已知函数 y=y(x)由方程 e y +6xy+x 2 一 1=0 确定，则 y “ (0)= 1（分数：2.00）填空项 1:_36.(2005 年试题，1)曲线 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：19，分数：42.00)37.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_38.(2000 年试题，三)求 （分数：2.00）_39.(2011 年试题，三)求极限 （分数：2.00）_40.(2008 年试题，15)求极限
11、（分数：2.00）_41.(2002 年试题，三)设函数 f(x)在 x=0 的某邻域内具有一阶连续导数，且 f(0)0，f “ (0)0，若af(h)+bf(2h)一 f(0)在 h0 时是比 h 高阶的无穷小，试确定 a，b 的值（分数：2.00）_42.(2006 年试题，16)设数列x n 满足 0 11，x n+1=sinxn(n=1，2，) (I)证明*x n存在，并求该极限； (II)计算*（分数：2.00）_43.(1998 年试题，七)求 （分数：2.00）_44.(2012 年试题，三)求函数 （分数：2.00）_45.(2010 年试题，16)求 （分数：2.00）_46
12、.(2011 年试题，三)求方程 karctanx 一 x=0 不同实根的个数，其中 k 为参数（分数：2.00）_(2009 年试题，18)（分数：4.00）(1).证明拉格朗日中值定理：若函数 f(x)在a，b上连续，在(a，b)可导，则存在 (a，b)，使得f(b)一 f(a)=f “ ()(b 一 a)；（分数：2.00）_(2).证明：若函数 f(x)在 x=0 处连续，在(0，)(0)内可导， （分数：2.00）_47.(2007 年试题，19)设函数 f(x)，g(x)在a，b上连续，在(a，b)内具有二阶导数且存在相等的最大值f(a)=g(n)f(b)=g(b)，证明：存在 (
13、a，b)，使得 f “ ()=g “ ()（分数：2.00）_(2005 年试题，18)已知函数 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，且 f(0)=0,f(1)=1证明：（分数：4.00）(1).存在 (0，1)，使得 f()=1 一 ；（分数：2.00）_(2).存在两个不同的点 ，(0，1)，使得 f “ ()f “ ()=1（分数：2.00）_(2001 年试题，七)设 y=f(x)在(一 1，1)内具有二阶连续导数且 f “ (x)0，试证：（分数：4.00）(1).对(一 1，1)内的任一点 x0，存在唯一的 (x)(0，1)，使 f(x)=f(0)+xf “ (x)x)成立
14、；（分数：2.00）_(2). （分数：2.00）_48.(2012 年试题，三)证明 （分数：2.00）_49.(2011 年试题，三)(I)证明：对任意的正整数 n，都有 成立；()设 （分数：2.00）_50.(2004 年试题，三)设 e（分数：2.00）_51.(1999 年试题，六)论证：当 x0 时，(x 2 一 1)lnx(x 一 1) 2 （分数：2.00）_52.(20l1 年试题，二)曲 （分数：2.00）_考研数学一（函数、极限、连续，一元函数微分学）历年真题试卷汇编 1 答案解析(总分：114.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：25，分数：50.00)1
15、.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.(2005 年试题，8)设 F(x)是连续函数 f(x)的一个原函数，“ （分数：2.00）A.F(x)是偶函数 B.F(x)是奇函数C.F(x)是周期函数D.F(x)是单调函数解析：解析：由题意可知 f(x)为奇函数 3.(1999 年试题，1)设 f(x)是连续函数，F(x)是 f(x)的原函数，则( )（分数：2.00）A.当 f(x)是奇函数时，F(x)必是偶函数 B.当 f(x)是偶函数时，F(x)必是奇函数C.当 f(x)是周期函数时，F(x)必是周期函数D.当 f(x)是单调增函数时，F(x
16、)必是单调增函数解析：解析：首先将原函数 F(x)表示成 f(x)变上限的定积分，即 则 再令 t=一 u，则 如果 f(x)是奇函数，则 因此 F(x)是偶函数，从而知 A 是正确的下面分析 B，C，D 的错误之处若f(x)是偶函数，则 不能保证 F(一 x)=F(x)，B 错误；关于 C，D，可通过举一些简单反例来说明，如设 f(x)=sinx+1，则 F(x)=x 一 cosx+C，并非周期函数，因此排除 C；又设 f(x)=x，则4.(2003 年试题，二)设a n ，b n ，c n 均为非负数列，且 （分数：2.00）A.a n n 对任意 n 成立B.b n n 对任意成立C.极
17、限D.极限 解析：解析：取5.(2010 年试题，1)极限 （分数：2.00）A.lB.eC.e a-b D.e b-a解析：解析： 故正确答案为 C6.(2008 年试题，4)设函数 f(x)在(一，+)内单调有界，x n 为数列，下列命题正确的是( )（分数：2.00）A.若x n 收敛，则f(x n )收敛B.若x n 单凋，则f(x n )收敛C.若f(x n )收敛，则x n 收敛D.若f(x n )单调，则x n 收敛 解析：解析：因为 f(x)在实数域内单调有界若x n 也单调，则f(x n )单调有界，从而f(x n )是收敛的，B 选项正确解析二若 7.(2007 年试题，5
18、)设函数 f(x)在(0，+)上具有二阶导数，且 f “ (x)0，令 u n =f(n)=1，2，n，则下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.若 u 1 u 2 ，则u n 必收敛B.若 u 1 u 2 ，则u n 必发散 C.若 u 1 u 2 ，则u n 必收敛D.若 u 1 u 2 ，则u n 必发散解析：解析：因 f “ (x)0，故 f “ (x)在(0，+)上单调递增若 u 1 u 2 ，则 =f “ C(c1，2)0，即 n2 时，必有 f “ (n)f “ C0，u n =f(n)也单调递增，且随 n 的增大，f “ (n)增大，故 f(n)增大更快，故应选 D，即u
19、n 必发散解析二举反例排除法设 f(x)=一 Inx，满足题意，且 u 1 =u 2 ，但lnx=一 Inn发散，排除选项 A；设 f(x)= ，满足题意，且 u 1 u 2 ，但u n = 8.(2009 年试题，1)当 x0 时，f(x)=x 一 sinax 与 g(x)=x 2 In(1 一 bx)为等价无穷小，则( )（分数：2.00）A.a=1，b= B.a=1，b=C.a=1,b=D.a=-1,b=解析：解析：f(x)=xsinax 与 g(x)=X2In(1 一 bx)为等价无穷小，则有 即有 a 3 =一 6b 又 存在，则 ，即 a=1，代入上式可得 故正确答案为 A 解析二
20、由泰勒公式 则 ，即有 a=1, 则 a=1，b= 9.(2007 年试题，1)当 x0 时，与 （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：常用的等价无穷小(当 x0 时)有：e x 一 1x，In(1+x)x， 则对本题 A 选项 B 选项 C 选项 D 选项 故应选 B 掌握等价无穷小的同时，应注意其丰富多彩的变化如当 x + 0 时，1 一 cosx 到 10.(2004 年试题，1)把 x0 + 时的无穷小量 （分数：2.00）A.，B.， C.，D.，解析：解析：由题设，可行求出 ， 的一阶导数如下： 显然当 x0 + 时 因此 不足无穷小量， 是二阶无穷小量 为一阶无穷小量，
21、所以 ， 分别为一阶、三阶、二阶无穷小，则按无穷小量的阶排序为 ， 选 B 解析二可先进行两两比较，排出次序， 排除选项为 C、D又 ，排除选项为 A故选 B 解析三求出各无穷小量关于 x 的阶数，再进行比较 存在且不为零，知 n=1： 存在且不为零，知，n=3； 11.(2012 年试题，一)设函数 f(x)=(e x 一 1)(e 2x 一 2)(e nx 一 n)，其中 n 为正整数，则 f “ (0)=( )（分数：2.00）A.(一 1) n-1 (n 一 1)! B.(一 1) n (n 一 1)!C.(一 1) n-1 n !D.(一 1) n n!解析：解析：根据题意有，x=0
22、 时，(0)=0，由函数在一点处导数的定义，有 f “ (0)= 12.(2007 年试题，4)设函数 f(x)在 x=0 处连续，下列命题错误的是( )?（分数：2.00）A.若B.若C.若 D.若 解析：解析：根据选项为 A 的条件 故选项为 A 正确；根据选项为 B 的条件 。故选项为 B 也正确；根据选项为 C 的条件， 存在，故选项为 C 也正确故综上知，正确答案为 D解析二举反例设 f(x)=x，则 13.(2005 年试题，7)设函数 （分数：2.00）A.处处可导B.恰有一个不可导点C.恰有两个不可导点 D.至少有三个不可导点解析：解析：此题可先求 f(x)的表达式，再结合 f
23、(x)的函数图形求得因为 根据 y=f(x)的表达式以及其函数图形(见图 121)，可以得知 f(x)在 x=1 处不可导(图形是尖点)，所以选 C14.(2001 年试题，3)设f(0)=0，则 f(x)在点 x=0 可导的充要条件为( )（分数：2.00）A.存在B.存在 C.存在D.存在解析：解析：由题设已知 f(0)=0，则由导数定义 f(x)在 x=0 处可导的充要条件是极限 存在且有限，设 f “ (0)f “ (0)R关于选项为 A。因为 只能确定 f “ (0+0)存在，无法确定 f “ (00)存在，因而 A 不一定成立关于选项为 B ，因而 B 正确关于选项为 C，由 存在
24、不能确定 是否存在，因此 C 也被排除掉.关于选项为 D，由 存在不能肯定 存在，所以也就无法推出 存在，综上，选 B 实际上，当 h0 时， 知 A 和 C 不正确；取 ,则其在x=0 处不可导，但 15.(1998 年试题，2)函数 f(x)=(x 2 一 x 一 2)x 3 一 x不可导点的个数是( )（分数：2.00）A.3B.2 C.1D.0解析：解析：本题考查可导的定义，需要对每个可能不可导的点用导数定义逐一分析由题设 f(x)中(x 2 一 x 一 2)项在全区间上可导，第二项x 3 一 x有三个零点一 1，0，1，结合 4 个选项，可知 f(x)不可导点个数最多有 3 个，且x
25、 3 一 x在除三个零点外的其他任何点处都可导，因此应按导数定义分析 x=一 1，x=0，x=1 三点的可导性首先， 又 因此 f “ (一 1)=0，即 x=一 1 点可导；其次， 由于 而 因此 f “ (0)不存在，即 x=0 处不可导；最后 同样，由于 。而 16.(1999 年试题，2)设 （分数：2.00）A.极限不存在B.极限存在，但不连续C.连续，但不可导D.可导 解析：解析：由题设 f(x)为分段函数，且 f(0)=0，在 x=0 处，因为 所以 f(x)在 x=0 处连续又17.(2006 年试题，7)如图 1 一 22，设函数 y=f(x)具有二阶导数，且 f “ (x)
26、0，f “ (x)0，缸为自变量 x 在点 x 0 处的增量，y 与 dy 分别为 f(x)在点 x 0 处对应的增量与微分，若x0，则( ) （分数：2.00）A.0f(x 0 )+f “ (x 0 )x(x0)即 f(x 0 +x)一 f(x 0 )f “ (x 0 )x0(x0)所以 0 “(x)0,f(x)0，根据泰勒公式得，f(x 0+x)=f(x 0)+f“(x0)x+*f “()(x) 2f(x 0)+f“(x0)x 即有y=f(x 0+x)一 f(x0)f “(x 0)ax=dy，又x0，故而选 A18.(2004 年试题，2)设函数 f(x)连续，且 f “ (0)0，则存在
27、 0，使得( )（分数：2.00）A.f(x)在(0，)内单调增加B.f(x)在(一 ，0)内单调减少C.对任意的 x(0， 有 f(x)f(0) D.对任意的 x(一 ，0)有 f(x)f(0)解析：解析：由题设 f(x)连续且 f “ (0)0，则由函数在一点可导的定义知， 由此知存在 0，使得当 x(一 ，)时 19.(2003 年试题，1)设函数 f(x)在(一，+)内连续，其导函数的图形如图 123 所示，则 f(x)有( ) （分数：2.00）A.一个极小值点和两个极大值点B.两个极小值点和一个极大值点C.两个极小值点和两个极大值点 D.三个极小值点和一个极大值点解析：解析：f “
28、 (x)的零点，即驻点是否成其为 f(x)的极值点，还需要考虑驻点左右两侧，f “ (x)的符号，同时 f(x)在其不可导点处也有可能取极值，也需要考虑 x=0 左右 f “ (x)的符号由题设，f “ (x)有 3 个零点，依次记为 x 1 ，x 2 ，x 3 在 x 1 的左右两侧，f “ (x)的符号从正变到负，因此 x 1 为极大值点；在 x 2 的左右两侧 f “ (x)的符号从负变到正，因此 x 2 是极小点；在 x 3 左右两侧 f “ (x)的符号从负变到正，所以 x 也是极小值点；在 x=0 点处，f “ (0)不存在。但 f(x)在 x=0 点处连续，且在x=0 左右两侧
29、f “ (x)的符号从正变到负，故 x=0 为极大值点，综上所述，选 C 求极值点时，除了考查驻点处，还应注意不可导点若 f(x)在 x=x。处连续，但 f “ (x。)不存在，极值的第一判别法仍然适用20.(2001 年试题，1)设函数 f(x)在定义域内可导，y=f(x)的图形如图 l 一 24 所示，则导函数 y=f “ (x)的图形为( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：本题考查由八茹)的图形，确定，f (x)的图形首先要明确导数意义；其次应根据导数符号与单调性之间的关系加以判断由题设给出的 y=f(x)图形可知，在 x“ (x)0(x0 时，f(x)的变化趋势是先增
30、后降再增，从而导数符号应有两次变号的地方，即导数先为正，变为 0 后再为负，变成 0 后再变为正，因此不难判断出只有 D 的图形满足条件，选 D 注意 y=f(x)的图形中的曲线上升(f “ (x)0)、下降(f “ (x)0)区间，驻点f “ (x 0 )=0个数，即可知正确答案21.(2000 年试题，1)设，(x)，g(x)是恒大于零的可导函数，且 f “ (x)g(x)一 f(x)g “ (x)（分数：2.00）A.f(x)g(b)f(b)g(x) B.f(x)g(a)f(a)g(x)C.f(x)g(b)f(b)g(b)D.f(x)g(x)f(a)g(a)解析：解析：由题设 f “ (
31、x)g(x)一 f(x)g “ (x) 因此 在区间a，b上严格单调递减，因而 22.(2011 年试题，一)曲线 y=(x 一 1)(x 一 2) 2 (x 一 3) 3 (x 一 4) 4 的拐点是( )（分数：2.00）A.(1，0)B.(2，0)C.(3，0) D.(4，0)解析：解析：在区间 为凹函数；在区间 为凹函数；在区间3，4上，23.(2012 年试题，一)曲线 （分数：2.00）A.0B.1C.2 D.3解析：解析：根据渐近线的定义可知 得直线 y=1 为已知曲线的水平渐近线，又由24.(2007 年试题，2)曲线 （分数：2.00）A.0B.1C.2D.3 解析：解析：
32、则 x=0 是该曲线的垂直渐近线 即 y=0 和 y=x 分别是曲线的水平和斜渐近线，共有 3 条，故应选 D 若水平渐近线存在，则不再考虑斜渐近线但若 25.(2002 年试题，3)设函数 y=f(x)在(0，+)内有界且可导，则( )（分数：2.00）A.时，必有B.当 存在时，必有 C.当 时，必有D.当 存在时，必有解析：解析：由题设，可以对各选项通过举反例的方法来进行排除关于 A，令*，由于*且 f(x)在(0，+)上有界且可导*不存在，所以 x+时 f “ (x)的极限存在，因此 A 可排除掉关于 C，D，又令 f 2 (x)=sinx，则 f 2 (x)在(0，+)上有界，且可导
33、，又*即 C，D 的条件满足，但*因此C，D 皆不成立对 B，任取 x0，由拉格朗日中值定理，f(2x)一 f(x)=f “ ().x，其中 x“(+)=A，且A 有限，则*在式 f(2x)一 f(x)=f “ ().x 中令 x+得*因 f(x)有界，于是*综上，选 B (1)一般而言，涉及函数 f(x)与其导函数 f “ (x)的关系时，可想到用拉格朗日中值定理或微积分基本公式*进行讨论 (2)运用拉格朗日中值定理可以证明：设 f(x)在(0，+)可导，*若 A0，则*；若A0，即 k1 时，由 f “ (x)=0 得 当 时 f “ (x) 时,f “ (x)0；当 时 f “ (x)
34、，当 k1 时，t0令 =(1+t 2 )arctant 一 t，显然 g(0)=0，因为 g “ (t)=2tarctant0，所以 g(f)g(0)=0(当 t0 时)，即 于是极小值 极大值 又因为 所以方程有三个根，分别位于 )解析：(2009 年试题，18)（分数：4.00）(1).证明拉格朗日中值定理：若函数 f(x)在a，b上连续，在(a，b)可导，则存在 (a，b)，使得f(b)一 f(a)=f “ ()(b 一 a)；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：作辅助函数 可验证 (x)满足：(a)=(b)=0；(x)在闭区间a，b上连续，在开区间(a，b)内可导由罗尔定理可得
35、，在(a，b)内至少有一点 ，使 “ ()=0，即 )解析：(2).证明：若函数 f(x)在 x=0 处连续，在(0，)(0)内可导， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：任取 x 0 (0，)，则函数 f(x)满足：在闭区间0，x 0 上连续，开区间(0，x 0 )内可导，从而根据拉格朗日中值定理可得：存在 (0，x 0 )c(0，)，使得 又由于 ，对上式两边取 x 0 0 + 时的极限可得 )解析：47.(2007 年试题，19)设函数 f(x)，g(x)在a，b上连续，在(a，b)内具有二阶导数且存在相等的最大值f(a)=g(n)f(b)=g(b)，证明：存在 (a，b)，使得
36、f “ ()=g “ ()（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 f(x)，g(x)在(a，b)内某点 (a，b)同时取得最大值，则 f()=g()若两个函数取得最大值的点不同，则可设 fC=maxf(x)g(d)=maxg(x)，故有 fC 一 g0,f(d)一 g(d)1 ， 2 使得，f “ ( 1 )=g “ ( 1 )，f “ ( 2 )=g “ ( 2 )在区间( 1 ， 2 )内再用罗尔定理，即存在 ( 1 ， 2 )c(a，b)，使得 f “ ()=g，() 解析二利用以下两个已知的结论：(1)设h(x)在(a，b)可导，若 h “ (x)在(a，b)恒不为零，则 h “
37、 (x)0(x(a，b)h “ (x)0(或 x 1 (a，b)，M= f(x)=f(x 1 )， x 2 (a，b)，M= )解析：(2005 年试题，18)已知函数 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，且 f(0)=0,f(1)=1证明：（分数：4.00）(1).存在 (0，1)，使得 f()=1 一 ；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 F(x)=f(x)一 1+x，因为 F(x)在0，1上连续，且 F(0)=一 1，F(1)=1，即 F(0).F(1)0 或 f “ (x)“ (x)在(一 1，1)内严格单调递增或严格单调递减，从而保证了 (x)的唯一性)解析：(2)
38、. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 f(x)=f(0)+xf “ (x)x)，以及 275(1)根据二阶导数的定义，有 同时由洛必达法则，有 综上，在(1)式中左右两边令 x0，有 解析二第(1)部分的证明同解析一第(2)部分的证明，还可采用麦克劳林级数 f(x)=f(0)+f “ (0)+ f “ ()x 2 其中 介于 0 与 x 之间，则 以下步骤与前文大同小异，同样可证得 )解析：48.(2012 年试题，三)证明 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 。对其求一阶导数， 0 因此有 得 f “ (x)0，所以 即 而一 1 ，因此有 得 f “ (x)0，同样有 )解析：49.(2011 年试题，三)(I)证明：对任意的正整数 n，都有 成立；()设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：证明：(I)f(x)=1n(1+x)在 应用中值定理 )解析：50.(2004 年试题，三)设 e（分数：2.00）
