1、考研数学一（向量代数与空间解析几何）-试卷 1及答案解析(总分：88.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：17，分数：34.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.已知曲面 z=x 2 +y 2 上点 P处的切平面平行于平面 2x+2y+z一 1=0，则点 P的坐标是 ( )（分数：2.00）A.(1，一 1，2)B.(一 1，1，2)C.(1，1，2)D.(一 1，一 1，2)3.设平面方程为 Ax+Cz+D=0，其中 A，C，D 均不为零，则平面 ( )（分数：2.00）A.平行于 x轴B.平行于 y轴C.经过 x轴D.经过
2、y轴4.已知向量 的始点 A(4，0，5)， 的方向余弦为 （分数：2.00）A.(10，一 2，1)B.(一 10，一 2，1)C.(10，2，1)D.(10，一 2，一 1)5.双曲线 （分数：2.00）A.B.C.D.6.已知等边三角形ABC 的边长为 1，目 （分数：2.00）A.B.C.D.7.过点 P(2，0，3)且与直线 （分数：2.00）A.(x一 2)一 2(y0)+4(z一 3)=0B.3(x一 2)+5(y0)一 2(z一 3)=0C.一 16(x一 2)+14(y0)+11(z一 3)=0D.一 16(x+2)+14(y一 0)+11(z一 3)=08.已知 （分数：2
3、.00）A.B.C.D.9.已知 （分数：2.00）A.1B.C.2D.10.曲线 x 2 +y 2 +z 2 =a 2 与 x 2 +y 2 =2ax(a0)的交线是 ( )（分数：2.00）A.抛物线B.双曲线C.圆D.椭圆11.设直线 L为 （分数：2.00）A.L平行于 B.L在 上C.L垂直于 D.L与 相交但不垂直12.曲面 （分数：2.00）A.48B.64C.36D.1613.设 a，b，c 为非零向量，则与 a不垂直的向量是 ( )（分数：2.00）A.(a.c)b一(a.b)cB.C.abD.a+(ab)a14.与直线 及直线 （分数：2.00）A.x+y+z=0B.x一
4、y+z=0C.x+yz=0D.xy+z+2=015.直线 （分数：2.00）A.B.C.D.16.曲线 （分数：2.00）A.x 2 +20y 2 -24x-116=0B.4y 2 +4z 2 一 12z-7=0C.D.17.曲面 （分数：2.00）A.aB.C.0D.二、填空题(总题数：14，分数：28.00)18.设 A=2a+b，B=ka+b，其中a=1，b=2，且 ab若 AB，则 k= 1（分数：2.00）填空项 1:_19.点(-1，2，0)在平面 x+2y-z+1=0上的投影为 1（分数：2.00）填空项 1:_20.点(1，2，1)到平面x+2y+2z-13=0 的距离是 1（
5、分数：2.00）填空项 1:_21.已知 （分数：2.00）填空项 1:_22.过三点 A(1，1，一 1)，B(-2，一 2，2)和 C(1，一 1，2)的平面方程是 1（分数：2.00）填空项 1:_23.三平面 x+3y+z=1，2xy-z=0，一 x+2y+2z=3的交点是 1（分数：2.00）填空项 1:_24.xOz坐标面上的抛物线 z 2 =x一 2绕 x轴旋转而成的旋转抛物面的方程是 1（分数：2.00）填空项 1:_25.设 a=(3，一 5，8)，b=(-1，1，z)，a+b=a-b，则 z= 1（分数：2.00）填空项 1:_26.向量 a=(4，一 3，4)在向量 b=
6、(2，2，1)上的投影为 1（分数：2.00）填空项 1:_27.已知向量 a=(2，一 1，一 2)，b=(1，1，z)，则使 a和 b的夹角(ab)达到最小的 z为 1（分数：2.00）填空项 1:_28.已知ABC 的顶点坐标为 A(1，2，1)，B(1，0，1)，C(0，1，z)，则当 z= 1时，ABC 的面积最小（分数：2.00）填空项 1:_29.设 a，b，c 的模a=b=c=2，且满足 a+b+c=0，则 a.b+b.c+c.a= 1（分数：2.00）填空项 1:_30.过直线 且和点(2，2，2)的距离为 （分数：2.00）填空项 1:_31.曲面 z一 e z +2xy=
7、3在点(1，2，0)处的切平面方程为 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：26.00)32.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_33.求直线 （分数：2.00）_34.求直线 （分数：2.00）_设曲线 L是抛物柱面 x=2y 2 与平面 x+z=1的交线（分数：4.00）(1).求曲线 L在各个坐标平面上的投影曲线；（分数：2.00）_(2).求曲线 L分别绕各个坐标轴旋转一周的曲面方程（分数：2.00）_设有曲面 S：2x 2 +4y 2 +z 2 =4与平面 ：2x+2y+z+5=0，试求（分数：4.00）(1).曲面 S上的点及其上的切平面与法线
8、方程，使该切平面与平面 平行；（分数：2.00）_(2).曲面 S与平面 的最短距离（分数：2.00）_35.设 A(a ij ) nn 是非零矩阵，且A中每个元素 a ij 与其代数余子式 A ij 相等证明：A0（分数：2.00）_36. （分数：2.00）_37. （分数：2.00）_（分数：8.00）_(2). （分数：2.00）_(3). （分数：2.00）_(4). （分数：2.00）_考研数学一（向量代数与空间解析几何）-试卷 1答案解析(总分：88.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：17，分数：34.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要
9、求。（分数：2.00）_解析：2.已知曲面 z=x 2 +y 2 上点 P处的切平面平行于平面 2x+2y+z一 1=0，则点 P的坐标是 ( )（分数：2.00）A.(1，一 1，2)B.(一 1，1，2)C.(1，1，2)D.(一 1，一 1，2) 解析：解析：切平面平行于平面 2x+2y+z一 1=0，可知切平面的法向量为(2，2，1)又由 z=x 2 +y 2 可得曲线切平面的法向量(z y “ ，z y “ ，一 1)=(2x，2y，一 1)令(2x，2y，一 1)(2，2，1)，解得 x=一 1，y=一 1，代入 z=x 2 +y 2 ，解得 x=2所以，P 点坐标为(一 1，一
10、1，2)3.设平面方程为 Ax+Cz+D=0，其中 A，C，D 均不为零，则平面 ( )（分数：2.00）A.平行于 x轴B.平行于 y轴 C.经过 x轴D.经过 y轴解析：解析：平面 Ax+Cz+D=0的法向量 n=(A，0，C)，易见 nj而 j是 xOz平面的法向量，故该平面与=xOz平面垂直又因为 D0，它不过原点，从而与 y轴平行(但不经过 y轴)应选 B4.已知向量 的始点 A(4，0，5)， 的方向余弦为 （分数：2.00）A.(10，一 2，1)B.(一 10，一 2，1)C.(10，2，1) D.(10，一 2，一 1)解析：解析：设 B(x，y，z)，则5.双曲线 （分数：
11、2.00）A. B.C.D.解析：解析：xOz 面上曲线 C：f(x，z)=0 绕 z轴旋转而成的旋转曲面方程为6.已知等边三角形ABC 的边长为 1，目 （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：a.b=abcos(ab)，而a=1，b=1， 类似地可得， ，所以应选 D7.过点 P(2，0，3)且与直线 （分数：2.00）A.(x一 2)一 2(y0)+4(z一 3)=0B.3(x一 2)+5(y0)一 2(z一 3)=0C.一 16(x一 2)+14(y0)+11(z一 3)=0 D.一 16(x+2)+14(y一 0)+11(z一 3)=0解析：解析：所求平面 的法向量 n可取为
12、已知直线的方向向量 s=(1，一 2，4)(3，5，一 2)=(一16，14，11)故 的方程为一 16(x一 2)+14(y0)+11(z一 3)=08.已知 （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：由向量加法运算的几何意义，以 a、b 为邻边的平行四边形对应的对角线向量为 a+b，故它的单位向量为9.已知 （分数：2.00）A.1B.C.2D. 解析：解析：10.曲线 x 2 +y 2 +z 2 =a 2 与 x 2 +y 2 =2ax(a0)的交线是 ( )（分数：2.00）A.抛物线B.双曲线C.圆 D.椭圆解析：解析：x 2 +y 2 +z 2 =a 2 表示球心在原点、半径
13、为 a的球面，而 x 2 +y 2 =2az表示顶点在原点、开口向上的旋转抛物面，即可知它们的交线是圆应选 C11.设直线 L为 （分数：2.00）A.L平行于 B.L在 上C.L垂直于 D.L与 相交但不垂直解析：解析：直线 L的方向向量为12.曲面 （分数：2.00）A.48B.64 C.36D.16解析：解析：曲面 上任一点 P(x，y，z)处的法向量为 在点 P(x，y，z)处的切平面方程为13.设 a，b，c 为非零向量，则与 a不垂直的向量是 ( )（分数：2.00）A.(a.c)b一(a.b)cB.C.abD.a+(ab)a 解析：解析：因 对于 A，a(a.c)b 一(a.b)
14、c=0；对于 B，a. 14.与直线 及直线 （分数：2.00）A.x+y+z=0B.x一 y+z=0 C.x+yz=0D.xy+z+2=0解析：解析：设 L 1 的方向向量为 s 1 ，L 2 的方向向量为 s 2 ，平面 的法向量为 n，则 ns 1 ， 15.直线 （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：由题设知直线 L的方向向量为 s=(2，1，1)，平面 的法向量为 n=(1，一 1，2)设直线L与平面丌的夹角为 ，则16.曲线 （分数：2.00）A.x 2 +20y 2 -24x-116=0 B.4y 2 +4z 2 一 12z-7=0C.D.解析：解析：投影柱面方程是一个
15、关于 x，y 的二元方程，仅 A入选事实上，B 中方程中含 z不可能是L在平面 xOy上的投影的柱面方程，而 C，D 中方程表示曲线17.曲面 （分数：2.00）A.a B.C.0D.解析：解析： 曲面上任意一点 P 0 (x 0 ，y 0 ，z 0 )处的切平面方程为 二、填空题(总题数：14，分数：28.00)18.设 A=2a+b，B=ka+b，其中a=1，b=2，且 ab若 AB，则 k= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 2）解析：解析：由于 AB，故有(2a+b).(ka+b)=0，又因 ab，所以即可得 2ka 2 +b 2 =0，2k+4=0k=一
16、219.点(-1，2，0)在平面 x+2y-z+1=0上的投影为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：过点(-1，2，0)且与平面 x+2yz+1=0垂直的直线为 它和平面的交点应满足方程组20.点(1，2，1)到平面x+2y+2z-13=0 的距离是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：点(1，2，1)到平面 x+2y+2z-13=0的距离21.已知 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：u 2 =u.u=(2a3b)=4a 2 6b.a6a.b+9b 2 =4a 2 12a.b+9
17、b 2 =4412ab +94=161222 +36=28,所以 22.过三点 A(1，1，一 1)，B(-2，一 2，2)和 C(1，一 1，2)的平面方程是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：x 一 3y-2z=0）解析：解析：所求平面法向量可取为23.三平面 x+3y+z=1，2xy-z=0，一 x+2y+2z=3的交点是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(1，一 1，3)）解析：解析：只需求解三元一次方程组24.xOz坐标面上的抛物线 z 2 =x一 2绕 x轴旋转而成的旋转抛物面的方程是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案
18、：正确答案：y 2 +z 2 =x一 2）解析：解析：xOz 面上曲线 f(x，z)=0 绕 z轴旋转而得的旋转曲面方程为25.设 a=(3，一 5，8)，b=(-1，1，z)，a+b=a-b，则 z= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析： 26.向量 a=(4，一 3，4)在向量 b=(2，2，1)上的投影为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：27.已知向量 a=(2，一 1，一 2)，b=(1，1，z)，则使 a和 b的夹角(ab)达到最小的 z为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 4
19、）解析：解析： 要使(a,b)达到最小，则应 28.已知ABC 的顶点坐标为 A(1，2，1)，B(1，0，1)，C(0，1，z)，则当 z= 1时，ABC 的面积最小（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：29.设 a，b，c 的模a=b=c=2，且满足 a+b+c=0，则 a.b+b.c+c.a= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 6）解析：解析：(a+b+c).(a+b+c)=a 2 +b 2 +c 2 +2a.b+2b.c+2a.c，因为 a+b+c=0，故有a 2 +b 2 +c 2 +2(a.b+b.c+a)=0， 30.
20、过直线 且和点(2，2，2)的距离为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：5xyz 一 3=0或 x+yz一 1=0）解析：解析：已知直线 ，的一般式方程为 显然平面 3x-z一 2=0不符合题意，可设过该直线的平面束方程为 ：(2+3A)x 一 yz(1+2)=0，由点(2，2，2)到 的距离为 31.曲面 z一 e z +2xy=3在点(1，2，0)处的切平面方程为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2x+y-4=0）解析：解析：令 F(x，y，z)=ze z +2xy3，则 三、解答题(总题数：9，分数：26.00)32.解答题解答应写出文字说
21、明、证明过程或演算步骤。_解析：33.求直线 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先求出一平面 1 ，使它过直线 L垂直于平面 设直线 L的方向向量为 s，平面 1 的法向量为 n 1 ，平面 的法向量为 n，则 n 1 s，n 1 n，而 下面再求出 L上的某点坐标，为此，在方程 中令 x=0，得 y=4，z=一 1，则平面 1 过点(0，4，一 1)于是其方程 1 为 x0一 2(y一 4)一(z+1)=0，即 x一 2yz+7=0因直线 L在平面 上的投影既在平面 上，又在平面 1 上，因而其方程为 )解析：34.求直线 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设点 M 0 (x
22、 0 ，y 0 ，z 0 )为直线 L上一点，当直线 L绕 L 1 旋转时，点 M 0 旋转到点 M(x，y，z)，此时有 )解析：设曲线 L是抛物柱面 x=2y 2 与平面 x+z=1的交线（分数：4.00）(1).求曲线 L在各个坐标平面上的投影曲线；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因抛物柱面 x=2y 2 的母线平行于 z轴，故 x=2y 2 就是该交线 L关于 xOy坐标平面的投影柱面，因此，交线 L在 xOy平面上的投影是一条抛物线 平面 x+z=1可以看成母线平行于y轴的柱面，故 x+z=1就是该交线 L关于 xOz坐标平面的投影柱面，因此，交线 L在 xOz平面上的投影
23、是一条射线 .从方程 x=2y 2 与 x+z=1中消去变量 x，得 2y 2 +z=1，它就是该交线 L关于 yOz平面的投影柱面，因此，交线 L在 yOz平面上的投影是一条抛物线 )解析：(2).求曲线 L分别绕各个坐标轴旋转一周的曲面方程（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因曲线 的以 x为参数的参数方程为 则曲线 L绕 x轴旋转一周的旋转曲面方程为 因曲线 L的以 y为参数的参数方程为*3，则曲线 L绕 y轴旋转一周的旋转曲面方程为x 2 +z 2 =4y 4 +(12y 2 ) 2 因曲线 L的以 z为参数的参数方程为 则曲线 L绕 z轴旋转一周的旋转曲面方程为 )解析：设有曲
24、面 S：2x 2 +4y 2 +z 2 =4与平面 ：2x+2y+z+5=0，试求（分数：4.00）(1).曲面 S上的点及其上的切平面与法线方程，使该切平面与平面 平行；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：在曲面 S上任取一点 P(，)，记 F(x，y，z)=2x 2 +4y 2 +z 2 一 4，则 于是，曲面 S在点 P处的切平面为 4(x 一 )+8(y 一 )+2(z)=0，即 2x+4y+z一 4=0,因该切平面与平面 平行，即其法向量 n=2l+4+k 与 n=2i+2j+k平行， 把它们代入曲面 S的方程得 2 =1，=1，于是，所求的点为 且它们所对应的切平面方程分别为
25、 2x+2y+z一 4=0与 2x+2y+z+4=0，它们所对应的法线方程分别为 )解析：(2).曲面 S与平面 的最短距离（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：曲面 S上点(x，y，z)到平面 的距离 现欲求曲面 S与平面 的最短距离，它等价于求函数 f(x，y，z)=(2x+2y+z+5) 2 在条件 2x 2 +4y 2 +z 2 =4约束下的最小值的条件极值问题构造辅助函数 F(x，y，z，)=(2x+2y+z+5) 2 +(2x 2 +4y 2 +z 2 一 4)，令 解得其最小值点为 ，最大值点为 故所求的最短距离为 )解析：35.设 A(a ij ) nn 是非零矩阵，且A中
26、每个元素 a ij 与其代数余子式 A ij 相等证明：A0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 A是非零矩阵，所以 A至少有一行不为零，设 A的第 k行是非零行，则 Aa k1 A k1 a k2 A k2 a kn A kn a k1 2 a k2 2 a kn 2 0)解析：36. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：37. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：（分数：8.00）_正确答案：(正确答案： )解析：(2). （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：直线 L的方向向量为 )解析：(3). （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：直
27、线 L的方向向量 s=(1，2，一 3)(一 2，6，0)=(18，6，10)，平面 的法向n=(2，一 1，一 3)，所以 s.n=182+6(一 1)+10(一 3)=0，故 sn，即直线 L平面 ,取直线上一点，令 z=0，则 代入平面方程中，得到： )解析：(4). （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：直线 L的方向向量为 s=(一 1，0，2)，而平面 的法向量 n=(2，一 1，1)，所以s.n=一 12+0(一 1)+21=0，所以 sn，所以直线 L与平面 平行，而直线上一点(1，1，一 2)代入平面方程 2xy+z+1=0中，有：211+(一 2)+1=0，所以直线与平面不仅平行，而且重合，即直线在平面内)解析：
