1、考研数学一（向量代数与空间解析几何）-试卷 2及答案解析(总分：70.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：16，分数：32.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 a与 b为非零向量，则 ab=0是 ( )（分数：2.00）A.a=b的充要条件B.ab 的充要条件C.ab 的充要条件D.ab 的必要但不充分条件3.若非零向量 a，b 满足关系式ab=a+b，则必有 ( )（分数：2.00）A.a一 b=a+bB.a=bC.a.b=0D.ab=04.已知向量 ，且 a与 b不平行，则 （分数：2.00）A.B.C.D.5.两条平
2、行直线 （分数：2.00）A.B.C.D.6.若 ab，a，b 均为非零向量，x 是非零实数，则有 ( )（分数：2.00）A.a+xba+xbB.a一 xbaD.a 一 xba+xbB.a一 xba D.a 一 xba解析：解析：a+xb 2 =(a+xb).(a+xb)=a 2 +2xa.b+x 2 b 2 =a 2 +x 2 b 2 a 2 ，所以a+bxba应选 C7.已知 a0，b0，c0，且 a，b，c 互相垂直，则向量 r=xa+yb+zc的模为 ( )（分数：2.00）A.r=xa+yb+zcB.r=xa+yb+zcC.D. 解析：解析：r 2 =r.r=(xa+yb+zc).
3、(xa+yb+zc)=x 2 a 2 +y 2 b 2 +z 2 c 2 ，所以 8.设 c=a+b，a，b 为非零向量，且 a与 b不平行若这些向量起点相同，且 a，b，c 的终点在同一直线上，则必有 ( )（分数：2.00）A.0B.0C.+=1 D. 2 + 2 =1解析：解析：依题意，a+b 一 b与 a+b 一 a平行，从而有(a+bb)(a+b 一 )=0，即ab+baba 一 aba+ba=0因为 ab=一 ba，所以从上式可得(+)ba=ba又 a与 b不平行，ab0，故得 +=1应选 C9.设 y(x)是微分方程 y“(x 一 1)y“x 2 ye x 满足初始条件 y(0)
4、0，y“(0)1 的解，则 （分数：2.00）A.等于 1 B.等于 2C.等于 0D.不存在解析：解析：微分方程 y“(x 一 1)y“x 2 ye x 中，令 x0，则 y“(0)2， 10.二阶常系数非齐次线性微分方程 y“一 2y“一 3y(2x1)e x 的特解形式为( )（分数：2.00）A.(axb)e xB.x 2 e xC.x 2 (axb)e xD.x(axb)e x 解析：解析：方程 y“一 2y“一 3y(2x1)e x 的特征方程为 2 一 2 一 30，特征值为 1 一1， 2 3，故方程 y“一 2y“一 3y(2x1)e x 的特解形式为 x(axb)e x ，
5、选(D)11.设 1 (x)， 2 (x)， 3 (x)为二阶非齐次线性方程 y“a 1 (x)y“a 2 (x)yf(x)的三个线性无关解，则该方程的通解为( )（分数：2.00）A.C 1 1 (x) 2 (x)C 2 3 (x)B.C 1 1 (x)一 2 (x)C 2 3 (x)C.C 1 1 (x) 2 (x)C 2 1 (x)一 3 (x)D.C 1 1 (x)C 2 2 (x)C 3 3 (x)，其中 C 1 C 2 C 3 1 解析：解析：因为 1 (x)， 2 (x)， 3 (x)为方程 y“a 1 (x)y“a 2 (x)yf(x)的三个线性无关解，所以 1 (x)一 3
6、(x)， 2 (x)一 3 (x)为方程 y“a 1 (x)y“a 2 (x)y0 的两个线性无关解，于是方程 y“a 1 (x)y“a 2 (x)yf(x)的通解为 C 1 1 (x)一 3 (x)C 2 2 (x)一 3 (x) 3 (x) 即 C 1 1 (x)C 2 2 (x)C 3 3 (x)，其中 C 3 1 一 C 1 一 C 2 或 C 1 C 2 C 3 1，选(D)12.曲面 x 2 +4y 2 一 z 2 =4与平面 x+z=a的交线在 yOz平面上的投影方程是 ( )（分数：2.00）A. B.C.D.(a一 z) 2 +4y 2 +z 2 =4解析：解析：根据题意，曲
7、面与平面的交线在 yOz平面上的投影应在 yOz平面上，故 x=0，因而选项 B和D不对又曲面与平面的交线在 yOz平面上的投影柱面方程应不含变量 x，故选项 C也不对应选 A13.在曲线 x=t，y=一 t 2 ，z=t 3 的所有切线中，与平面 x+2y+z=4平行的切线( )（分数：2.00）A.只有 1条B.只有 2条 C.至少有 3条D.不存在解析：解析：对应于 t 0 处曲线切线的方向向量为 =(1，一 2t 0 ，3t 0 2 )，该切线与平面 x+2y+z=4平行 与该平面的法向量 n=(1，2，1)垂直 14.直线 与直线 （分数：2.00）A.垂直B.平行C.相交但不垂直
8、D.为异面直线解析：解析：直线 L 1 与直线 L 2 的方向向量分别为 1 =(2，3，4)， 2 =(1，1，2)，显然既不平行也不垂直直线 L 1 与直线 L 2 分别过点 M 1 (0，一 3，0)和 M 2 (1，一 2，2)混合积 15.两条平行直线*，之间的距离为 ( )（分数：2.00）A.B. C.1D.2解析：解析：连接直线 L 1 上点 M 1 (1，一 1，0)与直线 L 2 上点 M 2 (2，一 1，1)的向量为 (1，0，1)，L 1 的方向向量 =(1，2，1)，则 16.曲线 （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：曲面 x 2 +y 2 +z 2 =
9、2在点(1，一 1，0)处的法向量为 n 1 =(2，一 2，0)，平面 x+y+z=0的法向量为 n 2 =(1，1，1)，于是，曲线 在点(1，一 1，0)处的切向量为 =n 1 n 2 =(一 2，一2，4)，故所求切线方程为 二、填空题(总题数：10，分数：20.00)17.已知直线 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：5x+3y-z-1=0）解析：解析：l 1 ，l 2 的方向向量分别为 s 1 =(1，一 1，2)，s 2 =(-1，2，1)，过直线 l 1 ，l 2 的平面的法向量可取为 18.设 x=2a+b，y=ka+b，其中a=1，b=2，且 ab若以
10、x和 y为邻边的平行四边形面积为 6，则k的值为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 1或 5）解析：解析：以 x，y 为邻边的平行四边形的面积19.若直线 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：L 1 的方向向量 S 1 =(1，2，)，L 2 的方向向量 s 2 =(1，1，1)，L 1 上的点 A(1，一1，1)，L 2 上的点 B(一 1，10)因 L 1 与 L 2 相交，故 s 1 ，s 2 与 =(一 2，2，一 1)三向量共面，(s 1 s 2 ). 因为 20.设 a，b 是非零向量，且b=1 及 （分数：2.00）
11、填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：21.两平面 x一 2y+2z一 4=0与 2xy一 2z一 5=0的交角 = 1，它们的二面角的平分面方程为 2（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：x-2y+2z-4=0 的法向量可写为，n 1 =(1，一 2，2)，2xy-2z-5=0 的法向量，n 2 =(2，一1，一 2) 所以 22.经过点 M 0 (1，一 1，1)并且与两直线 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：L 1 的方向向量取 1 =(1，一 2，1)L 1 上取一点，例如取点 M 1 (0，一 2
12、，3)M 0 与 M 1 连线的方向向量可取 2 =(1，1，一 2)由 M 0 与 L 1 决定的平面 P 1 的法向量既与 2 垂直，又与 2 垂直，所以 P 1 的法向量可取 n 1 = 1 2 =(3，3，3)=3(1，1，1)所以 P 1 的方程为1(x一 1)+1(y+1)+1(z一 1)=0，即 P 1 ：x+y+z 一 1=0 类似地可得由 M 1 与 L 2 决定的平面 P 2 ：2x+z 一 3=0P 1 与 P 2 不平行，它们的交线就是要求的 L： 23.经过点 A(1，0，0)与点 B(0，1，1)的直线绕 z轴旋转一周生成的曲面方程是 1（分数：2.00）填空项 1
13、:_ （正确答案：正确答案：x 2 +y 2 一 2z 2 一 2z一 1=0）解析：解析：由直线方程的两点式得直线 AB的方程： 24.函数 u=e x z+xy在点(2，1，0)处沿曲面 e x 一 z+xy=3的法线方向的方向导数为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：曲面 e z 一 z+xy=3的法线方向为 25.设向量 =(3，一 4，2)，轴 u的正向与三个坐标轴的正向构成相等的锐角，则(1)向量 a在轴 u上的投影为 1；(2)向量 a与轴 u正向的夹角(a,u)= 2（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：
14、设 u轴上的单位向量为 u 0 ，则 u 0 =(cos，cos，cos)由题设知 cos 2 =cos 2 =cos 2 ，且 cos 2 +cos 2 +cos 2 =1，故 3cos 2 =1，又因 为锐角，故 ，则 (2) 26.点(1，2，3)到直线 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：记点 M 0 (1，2，3)，M(0，4，3)，s=(1，一 3，一 2)， 三、解答题(总题数：7，分数：18.00)27.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：28.求过两点 A(0，1，0)，B(一 1，2，1)且与直线 x=一 2+t，y=1
15、4t，z=2+3t 平行的平面方程（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设所求平面的法向量为 n=(a，b，c)，而直线的方向向量为 s=(1，一 4，3)，A，B 两点连线 ，所以有 )解析：求下列曲面的方程：（分数：8.00）(1).以曲线 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：1 一 z=x 2 +y 2 ，即 x 2 +y 2 +z=1，是旋转抛物面，是椭圆抛物面的特例)解析：(2).以曲线 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：绕 z轴曲面方程为 x 2 一 y 2 一 z 2 =3，是旋转双曲面，是双叶双曲面的特例；绕 z轴曲面方程为：x 2 +y 2 一 z 2 =3
16、，是单叶双曲面的特例)解析：(3).以 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：方程为 x 2 一 2y+xy一 x一 2=0)解析：(4).以 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：方程为 y 2 +z 2 一 4z 2 =0，是圆锥面)解析：29.求函数 f(x，y)=x 2 一 xy+y 2 在点 M(1，1)沿与 x轴的正向组成 a角的方向 1上的方向导数，在怎样的方向上此导数有：(1)最大的值；(2)最小的值；(3)等于 0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：30.设有方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：欲证结论等价于 u x “2 +u y “2
17、+u z “2 =2(xu x “+xu x “+yu y “，zu z “)将式对 x求导得 式分别乘以 x，y，z 后相加，结合式，得 )解析：31.记曲面 z=x 2 +y 2 一 2x-y在区域 D：x0，y0，2x+y4 上的最低点 P处的切平面为 ，曲线 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 z x “=2x一 2=0，z y “=2y一 1=0，得驻点为 ，在驻点处 A=z xx “=2，B=z xy “=0，C=z yy “=2，=B 2 一 AC=一 40，且 A0，所以 为极小值，而驻点唯一，故 为曲面的最低点，曲面在 P处的切平面 的方程为 曲面 x 2 +y 2
18、 +z 2 =6在点 Q(1，1，一 2)处的法向量为 n 1 =(2，2，一 4)；平面 x+y+z=0在点 Q(1，1，一 2)处的法向量为 n 2 =(1，1，1)；其交线在点 Q(1，1，一 2)处的切向量为 n=n 1 n 2 =(2，2，一 4)(1，1，1)=6(1，一 1，0)，于是直线 l的方程为 ，其一般式方程为 设过直线 l的平面束方程为(x+y 一 2)+(z+2)=0，法向量n 2 =(1，1，)，而切平面的法向量 n =(0，0，1)，令 垂直 n ，得 =0即直线 l在平面 上的投影 l“的方程为 到直线 l“的距离为 )解析：32.设在平面区域 D上数量场 u(x，y)=50 一 x 2 一 4y 2 ，试问在点 P 0 (1，一 2)D 处沿什么方向时u(x，y)升高最快，并求一条路径，使从点 P 0 (1，一 2)处出发沿这条路径 u(x，y)升高最快（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为方向导数沿其梯度方向取得最大值，则考虑 故 u(x，y)在点 P 0 (1，一 2)处沿 gradu (1,-2) =一 2i+16j方向升高最快设所求的路径为 y=y(x)，其上任一点 P(x，y)处的切向量 =(dx)i+(dy)j，由题意知，它应与它的梯度方向 gradu=一 2xi一 82j一致，则有 )解析：
