1、考研数学一（概率与数理统计）-试卷 18及答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：14，分数：28.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.已知 A，B 为随机事件，0P(A)1，0P(B)1，则 的充要条件是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.3.设随机事件 A与 B互不相容，且 P(A)0，P(B)0，则下列结论中一定成立的有( )（分数：2.00）A.A，B 为对立事件B.互不相容C.A，B 不独立D.A，B 相互独立4.在最简单的全概率公式 P(B)=P(A)P(B|A)+ （分数：2.00）A.0
2、P(A)1，B 为任意随机事件B.A与 B为互不相容事件C.A与 B为对立事件D.A与 B为相互独立事件5.设 A、B 是两个随机事件，且 0P(A)1，P(B)0，P(B|A)=P(B| （分数：2.00）A.P(A|B)=P(B.P(A|B)P(C.P(AB)=P(A)P(B)D.P(AB)P(A)P(B)6.设随机变量 X的分布函数为 F(x)，其密度函数为 （分数：2.00）A.B.C.D.7.设随机变量 XN(， 2 )，0，其分布函数 F(x)的曲线的拐点为(a，b)，则(a，b)为( )（分数：2.00）A.(，)B.C.D.(0，)8.已知随机变量 X 1 与 X 2 相互独立
3、且有相同的分布：PX i =一 1=PX i =1= （分数：2.00）A.X 1 与 X 1 X 2 独立且有相同的分布B.X 1 与 X 1 X 2 独立且有不同的分布C.X 1 与 X 1 X 2 不独立且有相同的分布D.X 1 与 X 1 X 2 不独立且有不同的分布9.设二维随机变量(X 1 ，X 2 )的密度函数为 f 1 (x 1 ，x 2 )，则随机变量(Y 1 ，Y 2 )(其中 Y 1 =2X 1 ，Y 2 = )的概率密度 f 2 (y 1 ，y 2 )等于( ) （分数：2.00）A.B.C.D.10.对任意两个随机变量 X和 y，若 E(XY)=E(X)E(Y)，则(
4、 )（分数：2.00）A.D(XY)=D(X)D(Y)B.D(X+Y)=D(X)+D(Y)C.X与 Y独立D.X与 Y不独立11.设随机变量 X和 Y的方差存在且不等于 0，则 D(X+Y)=D(X)+D(Y)是 X和 Y( )（分数：2.00）A.不相关的充分条件，但不是必要条件B.独立的充分条件，但不是必要条件C.不相关的充分必要条件D.独立的充分必要条件12.设 X 1 ，X 2 ，X n 是取自正态总体 N(， 2 )的简单随机样本，其均值和方差分别为 X，S 2 ，则可以作出服从自由度为 n的 2 分布的随机变量是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.13.已知总体 X服从正态分
5、布 N(， 2 )( 2 已知)，X 1 ，X 2 ，X n 是取自总体 X的简单随机样本，均值为 ，如果记 ，则由 Paub=1 一 ，可以求得 置信度为 1一 的置信区间，其中 a、b 是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.14.某员工以往的记录是：平均每加工 100个零件，有 60个是一等品，今年考核他，在他加工零件中随机抽取 100件，发现有 70个是一等品，这个成绩是否说明该员工的技术水平有了显著的提高(取(=005)?对此问题，假设检验问题就设为( )（分数：2.00）A.H 0 ：p06HH 0 ：p06B.H 0 ：p06HH 0 ：p06C.H 0 ：p=06HH 0
6、：p06D.H 0 ：p06HH 0 ：p=06二、填空题(总题数：10，分数：20.00)15.设每次射击命中概率为 03，连续进行 4次射击，如果 4次均未击中，则目标不会被摧毁；如果击中1次、2 次，则目标被摧毁的概率分别为 04 与 06；如果击中 2次以上，则目标一定被摧毁那么目标被摧毁的概率 p= 1（分数：2.00）填空项 1:_16.统计资料表明，男性患色盲的概率为 5，现有一批男士做体检则事件“发现首例患色盲的男士已检查了 30名男士“的概率 为 1（分数：2.00）填空项 1:_17.设随机变量 X服从参数为 1的指数分布，随机变量函数 y=1e 一 X 的分布函数为 F
7、Y (y)，则 （分数：2.00）填空项 1:_18.设一次试验成功的概率为 p，进行 100次试验当 p= 1时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为 2（分数：2.00）填空项 1:_19.假设随机变量 X在一 1，1上服从均匀分布，a 是区间一 1，1上的一个定点，Y 为点 X到 a的距离，当 a= 1时，随机变量 X与 Y不相关（分数：2.00）填空项 1:_20.已知(X，Y)的联合概率密度为 f(x，y)= （分数：2.00）填空项 1:_21.已知某自动生产线一旦出现不合格产品就立即进行调整，经过调整后生产出的产品为不合格产品的概率是 01，如果用 X表示两次调整之间生产出的产品
8、数量，则 E(X)= 1（分数：2.00）填空项 1:_22.将 10双不同的鞋随意分成 10堆，每堆 2只，以 X表示 10堆中恰好配成一双鞋的堆数，则 E(X)= 1（分数：2.00）填空项 1:_23.设随机试验成功的概率 p=020，现在将试验独立地重复进行 100次，则试验成功的次数介于 16与 32之间的概率 = 1(3)=09987，(1)=08413)（分数：2.00）填空项 1:_24.设随机变量 X服从 n个自由度的 t分布，定义 t 满足 PXt =l一 (001)若已知P|X|x=b(b0)，则 x= 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：8，分数：16
9、.00)25.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_26.设离散型随机变量 X服从参数 p(0p1)的 0一 1分布()求 X的分布函数 F(x)；()令 Y=F(x)，求 Y的分布律及分布函数 G(y)（分数：2.00）_27.设二维随机变量(X，Y)的联合概率密度为 （分数：2.00）_28.设在一高速公路的某一路段，每年发生交通事故的次数 XP(20)对每次交通事故而言，有人死亡的概率为 p=005设各次交通事故的后果是相互独立的，以 Y记一年中发生的引起死亡的交通事故的次数，求 Y的分布律（分数：2.00）_29.设二维离散型随机变量(X，Y)的联合概率分布
10、为 （分数：2.00）_30.设总体 XN(， 2 )， 2 未知，X 1 ，X 2 ，X n 是来自 X的样本，试确定常数 C，使CY=C(X 1 一 X 2 ) 2 +(X 3 一 X 4 ) 2 +(X 5 一 X 6 ) 2 的期望为 2 （分数：2.00）_31.设某种元件的使用寿命 X的概率密度为 f(x；)= （分数：2.00）_32.设 X 1 ，X 2 ，X n 是总体为 N(， 2 )的简单随机样本记 （分数：2.00）_考研数学一（概率与数理统计）-试卷 18答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：14，分数：28.00)1.选择题下列每题给
11、出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.已知 A，B 为随机事件，0P(A)1，0P(B)1，则 的充要条件是( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：已知3.设随机事件 A与 B互不相容，且 P(A)0，P(B)0，则下列结论中一定成立的有( )（分数：2.00）A.A，B 为对立事件B.互不相容C.A，B 不独立 D.A，B 相互独立解析：解析：AB 互不相容，只说明 AB= ，但不一定满足 AB=，即互不相容的两个事件不一定是对立事件，又因 AB= 不一定成立，故 亦不一定成立，因此选项 A、B 都不成立。同时因为 P(AB)=P(4.在最简
12、单的全概率公式 P(B)=P(A)P(B|A)+ （分数：2.00）A.0P(A)1，B 为任意随机事件 B.A与 B为互不相容事件C.A与 B为对立事件D.A与 B为相互独立事件解析：解析：5.设 A、B 是两个随机事件，且 0P(A)1，P(B)0，P(B|A)=P(B| （分数：2.00）A.P(A|B)=P(B.P(A|B)P(C.P(AB)=P(A)P(B) D.P(AB)P(A)P(B)解析：解析：6.设随机变量 X的分布函数为 F(x)，其密度函数为 （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：根据题意得 f(x)关于7.设随机变量 XN(， 2 )，0，其分布函数 F(x)
13、的曲线的拐点为(a，b)，则(a，b)为( )（分数：2.00）A.(，)B.C. D.(0，)解析：解析：X 一 N(， 2 )，其密度函数 F(x)的拐点的 x坐标 a应满足 F“(a)=f“(a)=0，故a= 为 f(x)的驻点，当 x= 时， 故曲线拐点在 8.已知随机变量 X 1 与 X 2 相互独立且有相同的分布：PX i =一 1=PX i =1= （分数：2.00）A.X 1 与 X 1 X 2 独立且有相同的分布 B.X 1 与 X 1 X 2 独立且有不同的分布C.X 1 与 X 1 X 2 不独立且有相同的分布D.X 1 与 X 1 X 2 不独立且有不同的分布解析：解析
14、：根据题设知 X 1 X 2 可取一 1，1，且 PX 1 X 2 =一 1=PX 1 =一 1，X 2 =1+PX 1 =1，X 2 =一 1 =PX 1 =一 1PX 2 =1+PX 1 =1PX 2 =一 1 所以 X 1 与 X 1 X 2 的概率分布为 9.设二维随机变量(X 1 ，X 2 )的密度函数为 f 1 (x 1 ，x 2 )，则随机变量(Y 1 ，Y 2 )(其中 Y 1 =2X 1 ，Y 2 = )的概率密度 f 2 (y 1 ，y 2 )等于( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：设(X 1 ，X 2 )的分布为 F 1 (x 1 ，x 2 )，(Y
15、1 ，Y 2 )的分布为 F 2 (y 1 ，y 2 ) 10.对任意两个随机变量 X和 y，若 E(XY)=E(X)E(Y)，则( )（分数：2.00）A.D(XY)=D(X)D(Y)B.D(X+Y)=D(X)+D(Y) C.X与 Y独立D.X与 Y不独立解析：解析：因为 D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2E(XY)一 E(X)E(Y)， 可见 D(X+Y)=D(X)+D(Y)11.设随机变量 X和 Y的方差存在且不等于 0，则 D(X+Y)=D(X)+D(Y)是 X和 Y( )（分数：2.00）A.不相关的充分条件，但不是必要条件B.独立的充分条件，但不是必要条件C.不相关的充分必要条件
16、 D.独立的充分必要条件解析：解析：12.设 X 1 ，X 2 ，X n 是取自正态总体 N(， 2 )的简单随机样本，其均值和方差分别为 X，S 2 ，则可以作出服从自由度为 n的 2 分布的随机变量是( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：由于总体 XN(， 2 )，故各选项的第二项 独立，根据 2 分布可加性，仅需确定服从 2 (1)分布的随机变量因为 13.已知总体 X服从正态分布 N(， 2 )( 2 已知)，X 1 ，X 2 ，X n 是取自总体 X的简单随机样本，均值为 ，如果记 ，则由 Paub=1 一 ，可以求得 置信度为 1一 的置信区间，其中 a、b 是(
17、 ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：因为 a、b 应使 Pab=1 一 14.某员工以往的记录是：平均每加工 100个零件，有 60个是一等品，今年考核他，在他加工零件中随机抽取 100件，发现有 70个是一等品，这个成绩是否说明该员工的技术水平有了显著的提高(取(=005)?对此问题，假设检验问题就设为( )（分数：2.00）A.H 0 ：p06HH 0 ：p06B.H 0 ：p06HH 0 ：p06 C.H 0 ：p=06HH 0 ：p06D.H 0 ：p06HH 0 ：p=06解析：解析：一般地，选取问题的对立事件为原假设在本题中，需考察员工的技术水平是否有了显著性的提
18、高，故选取原假设为 H 0 ：p06，相应的，对立假设为 H 1 ：p06，故选 B二、填空题(总题数：10，分数：20.00)15.设每次射击命中概率为 03，连续进行 4次射击，如果 4次均未击中，则目标不会被摧毁；如果击中1次、2 次，则目标被摧毁的概率分别为 04 与 06；如果击中 2次以上，则目标一定被摧毁那么目标被摧毁的概率 p= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：04071）解析：解析：设事件 A k =“射击 4次命中 k次”，k=0，1，2，3，4，B=“目标被摧毁”，则根据 4重伯努利试验概型公式，可知 P(A i )=C 4 i 03 i ，07
19、 4一 i ，i=0，1，2，3，4，则 P(A 0 )=074=02401，P(A 1 )=04116，P(A 2 )=02646， P(A 3 )=00756，P(A 4 )=00081 由于 A 0 ，A 1 ，A 2 ，A 3 ，A 4 是一完备事件组，且根据题意得 P(B|A 0 )=0，P(B|A 1 )=04，P(B|A 2 )=06，P(B|A 3 )=P(B|A 4 )=1 应用全概率公式，有 16.统计资料表明，男性患色盲的概率为 5，现有一批男士做体检则事件“发现首例患色盲的男士已检查了 30名男士“的概率 为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0
20、785）解析：解析：设 X表示发现首例色盲患者时已检查过的男士数，则 X服从参数为 005 的几何分布17.设随机变量 X服从参数为 1的指数分布，随机变量函数 y=1e 一 X 的分布函数为 F Y (y)，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：18.设一次试验成功的概率为 p，进行 100次试验当 p= 1时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为 2（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：若设进行 100次试验成功的次数为 X，则 XB(100，p)，X 的标准差为19.假设随机变量 X在一 1，1上服从均匀分布，a 是
21、区间一 1，1上的一个定点，Y 为点 X到 a的距离，当 a= 1时，随机变量 X与 Y不相关（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：已知 E(X)=0，依题意 Y=|Xa|，a 应使 E(XY)=E(X)E(Y)=0其中20.已知(X，Y)的联合概率密度为 f(x，y)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：F(1，1)）解析：解析：根据由题设可知(X，Y)服从二维正态分布且密度函数为 故 XN(0，2 2 )，Y 一N(1，3 2 )，X 与 Y的相关系数 p=0，所以 X与 Y独立， N(0，1)，根据 F分布典型模式知 21.已知某自
22、动生产线一旦出现不合格产品就立即进行调整，经过调整后生产出的产品为不合格产品的概率是 01，如果用 X表示两次调整之间生产出的产品数量，则 E(X)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：10）解析：解析：X 是离散型随机变量，其可能的取值为 1，2，令 调整后生产出的产品前后一 1个为合格品，第 k个为不合格品=PX=k，其中 A i =“第 i个生产出的产品为合格品”，A i 相互独立，P(A i )=09，故 22.将 10双不同的鞋随意分成 10堆，每堆 2只，以 X表示 10堆中恰好配成一双鞋的堆数，则 E(X)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案
23、：正确答案：*）解析：解析： 将第 i堆的第一只鞋固定，第二只鞋要与第一只鞋配对，只有在不同于第一只鞋剩下的 19只中唯一的一只才有可能，故23.设随机试验成功的概率 p=020，现在将试验独立地重复进行 100次，则试验成功的次数介于 16与 32之间的概率 = 1(3)=09987，(1)=08413)（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：084）解析：解析：令 X=“在 100次独立重复试验中成功的次数”，则 X服从参数为(n，p)的二项分布，其中n=100，p=020且 根据棣莫弗一拉普拉斯中心极限定理，可知随机变量 近似服从标准正态分布 N(0，1)因此试验成功的次
24、数介于 16和 32之间的概率24.设随机变量 X服从 n个自由度的 t分布，定义 t 满足 PXt =l一 (001)若已知P|X|x=b(b0)，则 x= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：根据 t分布的对称性以及 b0，可知 x0所以 根据题干“t 满足 PXt =1一 (01)”可知， 三、解答题(总题数：8，分数：16.00)25.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：26.设离散型随机变量 X服从参数 p(0p1)的 0一 1分布()求 X的分布函数 F(x)；()令 Y=F(x)，求 Y的分布律及分布函数
25、G(y)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：27.设二维随机变量(X，Y)的联合概率密度为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()根据分布函数的性质 解得 A=6 ()将 A=6代入得(X，Y)的联合概率密度为 所以当 x0，y0 时， F(x，y)= 0 y 0 x 6e 一(2x+3y) dxdy =6 0 x e 一 2x dx 0 y e 一 3y dy =(1一 e 一 2x )(1一 e 一 3y )， 而当 x和 y取其它值时，F(x，y)=0 综上所述，可得联合概率分布函数为 ()当 x0 时，X 的边缘密度为 f X (x)= 0 + 6e 一(2x+
26、3y) dy=2e 一 2x ， 当x0 时 f Z (x)=0因此 X的边缘概率密度为 同理，可得 Y的边缘概率密度函数为 已知R：x0，y0，2x+3y6，将其转化为二次积分，可表示为 )解析：28.设在一高速公路的某一路段，每年发生交通事故的次数 XP(20)对每次交通事故而言，有人死亡的概率为 p=005设各次交通事故的后果是相互独立的，以 Y记一年中发生的引起死亡的交通事故的次数，求 Y的分布律（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据题意 XP(20)，即有 在 X取特定值 m时，Y 的可能取值为0，1，m因各次交通事故的后果是相互独立的，所以 PY=k|X=m=C m k 0
27、05 k 095 m一 k ，k=0，1，2，m 于是得到 X和 Y的联合分布律为 PX=m，Y=k=PY=k|X=mPX=m )解析：29.设二维离散型随机变量(X，Y)的联合概率分布为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()因为边缘分布律就是联合分布律表格中行或列中诸元素之和，所以 假如随机变量 X与 Y相互独立，就应该对任意的 i，j 都有 p ij =p i p j ，而本题中 p 14 =0，但是 p 1 与 p 4 均不为零，所以 p 14 p 1 p 4 故 X与 Y不是相互独立的 )解析：30.设总体 XN(， 2 )， 2 未知，X 1 ，X 2 ，X n 是来自 X
28、的样本，试确定常数 C，使CY=C(X 1 一 X 2 ) 2 +(X 3 一 X 4 ) 2 +(X 5 一 X 6 ) 2 的期望为 2 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：E(X 1 一 X 2 ) 2 =D(X 1 一 X 2 )+E(X 1 一 X 2 ) 2 =D(X 1 )+D(X 2 )=2 2 (因 X 1 ，X 2 独立) 同理 E(X 3 一 X 4 ) 2 =E(X 5 一 X 6 ) 2 =2 2 ， 于是引 C(X 1 一 X 2 ) 2 +(X 3 一 X 4 ) 2 +(X 5 一 X 6 ) 2 =CE(X 1 一 X 2 ) 2 +E(X 3 一 X
29、4 ) 2 +E(X 5 一 X 6 ) 2 =C(2 2 +2 2 +2 2 )=6C 2 ， 即有 E(CY)=6C 2 根据题设，设 E(CY)=6C 2 = 2 ，即得 )解析：31.设某种元件的使用寿命 X的概率密度为 f(x；)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：似然函数为 由于 0必须满足 x i (i=1，2，n)，因此当 取 x 1 ，x 2 ，x n 中最小值时，L()取最大值，所以 的最大似然估计值为 )解析：32.设 X 1 ，X 2 ，X n 是总体为 N(， 2 )的简单随机样本记 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()首先 T是统计量其次 )解析：
